中考数学复习相似专项综合练含详细答案

中考数学复习相似专项综合练含详细答案一、相1．在ABC中，ABC=90°．（）图，别过A、两作经过点的直线的垂线，垂足分别为M、，证：ABMBCN；（）图2，是边上一点C，PAC=

，求tanC的；（）图3是边CA延长线上一点AE=AB，DEB=90°，，接写出的．【答案】（）：，，AMB=BNC=90°BAM+，，ABM+CBN=90°BAM=CBN，AMB=NBC，ABM△（）：如图，点作AP交AC于M，AM于

，直1=1=90°，，MP=MC设m,

，

根据勾股定理得tanC=

,（）：在eq\o\ac(△,)中，BAC==，过点作AGBE于，点C作BE交EB的延长线于，，CHDE

=同（）方得eq\o\ac(△,)

，设，，，，BE，EG=BG=4m，，

，，，在eq\o\ac(△,)CEH中，tanBEC==【解析】【分】（）根据垂直的定义得出∠AMB=BNC=90°，根据同角的余角相等得出BAM=，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出eq\o\ac(△,)△BCN；（2）过点P作PF交AC于F，在eq\o\ac(△,)AFP中根据正切函数的定义，由tan

,同）方法得，△，

,AB=，PQ=2a，BP=

，（＞，＞0）然后判断出ABP△，从而表示出，根据线段的和差表示出

，判断出ABP△，出

再得出BC，而列出方程，表示出BC,AB，在eq\o\ac(△,)ABC中根据正切函数的定义得出tanC的；（）eq\o\ac(△,)ABC中利用正弦函数的定义出：sin,点A作AGBE于G，点C作交EB的延长线于，平线分线段成比例定理得出，同（）方法得eq\o\ac(△,)ABG△，，设，，，BH=3n，根据等腰三角形的三线合一得，故，根据比例列出方程，求解得出n与的关，而得，在eq\o\ac(△,)CEH中根正切函数的定义得出tan的。2．如图，已知A﹣，）B（，）抛物线y=ax2+bx﹣过A、两，并与过A点的直线y=﹣x﹣交点C（）抛物线析式及对称轴；（）抛物线对称轴上是否存在一点，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（）为轴侧抛物线上一点，过作线AC的线，垂足为N．：是否存在这样的点N，使以点、、为点的三角形eq\o\ac(△,)相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（）：把（0，（，）入抛物线2，解得抛线解析式为x2−x−1

抛线对称轴为线x=-

＝（）：存在使四边形的长最小，只需PC+PO最取C（，）关于直线x=1的称点C′（，）连′O与直线的交点即为点．设过点C、直解析式为：k=-y=-x则点坐标为1，）（）：eq\o\ac(△,)MNC时，如图，延长MN交y轴于点D，点作轴于点ACO=NCD，CND=90°CDN=由相似，CAO=CMNCDN=CMNMNM、关AN对，则N为DM中设点坐标为，a-1）eq\o\ac(△,)ED=2a

点D坐标为0，a）为DM中点点M坐为，）把代y=−x−1解得a=4则点标为（，）eq\o\ac(△,)△CNM时，NCMCMAB则点C关直线x=1的称点C即点由（）（，）点标为4）或（，）【解析】【分析】（）据点、的标，可求出物线的解析式，再求出它的对称轴即可解答。（）四边形ACPO的长最小，只需PC+PO最，取点（，）于直线x=1的对称点C′（，-1）连C与直线的点即为P点利用待定系数法求出直线′O的解析式，再求出点的标。（）情况讨：eq\o\ac(△,)△MNC时延长MN交轴点，过点N作NEy轴点E，ACO=NCD，CND=90°得，证明CDN=CMN根据MNAC，可得出M、关于AN对，N为DM中，设点坐为（，-a-1），根eq\o\ac(△,)OAC，得出点、的坐标，然后将点的标代入抛物的解析式求出a的，即可得出点N的坐标；eq\o\ac(△,)△CNM时，，得出CM则点C关直线x=1的对称点C即点，可求出点的坐标。3．如图所示，将二次函数y=x+2x+1的象沿轴翻折，然后向右平移1个位，再向上平移4个位，得到二次函数2的象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数2+bx+c的象的顶为点B，轴交点为点C，（点位点C的侧）．

（）函数y=ax2+bx+c的解析式；（）点，，三点中任两个点和点构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（）点M是线段BC上动点，点Neq\o\ac(△,)ABC三上的动点，是否存在以AM为边的eq\o\ac(△,)AMNeq\o\ac(△,)的面积eq\o\ac(△,)ABC面的？存在，求tanMAN的；若不存在，请说明理由．【答案】（）：（）

的图象沿x轴翻折，得y=﹣（）

，把y=﹣（x+1）

向右平移1个单位再向上平移个位，得y=﹣2+4，所的函数+bx+c的解析式为y=﹣x2+4（）：y=x（x+1）

，A﹣，）当时，﹣+4=0解得x=±2，D（﹣，）C（，）；当时，﹣2，（，）从点A，三点中任取两个点和点B构三角形的有eq\o\ac(△,)，ADBeq\o\ac(△,)，AC=3，AD=1，，

，

，

，BCD为等腰三角形，构的三角形是腰三角形的概=（）：存在易得BC的析是为﹣2x+4，eq\o\ac(△,)=AC•OB=×3×4=6，M点坐标为，）（0≤m），①当N点AC上如图1，AMN的积eq\o\ac(△,)ABC面积的，

1212

（）﹣）=2，得=0m=1当m=0时M点的坐标为0，）N（，）则，MN=4，=4当m=1时M点的坐标为1，）N（，）则，MN=2，=1②当N点BC上，如图2，BC==2

，

BC•AN=•BC，解得AN=

，

eq\o\ac(△,S)

=•MN=2，MN=

，

；③当N点AB上如图3，作AHBC于H，设AN=t，BN=

﹣，

由得AH=，BH=，BNM，

，

，即

，MN=

，

•MN=2即（﹣）=2，整理得3t﹣3，=（3

）﹣﹣＜，程没有实数解，点N在AB上符合条件，综上所述，MAN的值为或或【解析】【分析】（）y=x+2x+1配成顶点式，根据轴对称的性质，可得出翻折后的函数解析式，再根据函数图像平移的规律：上加下减，左加右减，可得出答案。（）求出抛线+2x+1的点坐标，轴y轴的交点C、B的坐标，可出从点A，三点中任取两个点和点B构三角形有eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)，再求出它们的各边的长，得出构造的三角形是等腰三角形可能数，利用概率公式求解即可。（）用待定数法求出直线BC的数解析式eq\o\ac(△,)ABC的面积、点M的坐标，再分情况讨论：当N点AC上如图；当N点BC上，如图2；当点在上，如图3。利eq\o\ac(△,)AMN的面积eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)ABC面的，直角三角形、相三角形的判定和性质等相关的知识，就可求出MAN的。4．已知：如图，在矩形ABCD中，，角线AC，BD交于点．P从点A出，沿方匀速运动，速度为1cm/s；时，点Q从点出发，沿DC方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连PO并长，交于点E，点作QF，BD于点．运动时间为（）0＜＜）解下问题：（）为值时eq\o\ac(△,)是腰三角形？

：：（）五边形OECQF的积为S（2），试确定与的数关系式；（）运过中，是否存在某一时刻t，使S五形S

五边

eq\o\ac(△,)ACD

=9：若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（）运动过中，是否存在某一时刻，OD平分？存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（）：在形中，Ab=6cmBC=8cm，AC=10，①当，图，过作PM，AM=AO=，ADC=90°，CAD，△，

，，②当当为

或5时eq\o\ac(△,)是等腰三角形（）：作EHAC于，于，DNAC于，交QF于，eq\o\ac(△,)与CEO中，AO=OC，AOP=COECOECE=AP=t，△，

==

，，

=

，QMDN，△，

，即

，，QM=AC，△DOC，，，

=

，S

=SOECQF

OEC

+S

OCQF

=，S与的函数关系式为（）：存在

eq\o\ac(△,)ACD

=，S

：OECQF

eq\o\ac(△,)ACD

=（

）：24=916，得t=，，不合题意，舍去），t=时，S五形

：OECQF

eq\o\ac(△,)ACD

=9：（）：如图，作DMAC于M，AC于，

：：POD=COD，

，ON=OM=，

=，OP=

，，

，

，解得：（合题意，舍去）t≈2.88，当时平分COP．【解析】【分析】（）据矩形的性质可得，BC=AD=8，以AC=10而P、两点分别从A点和点时出发且以相同的速度为1cm/s运，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，所以点P不可能运动到点D；eq\o\ac(△,)AOP是腰三角形分两种情况讨论：当AP=PO=t时过P作PM，eq\o\ac(△,)△，可得比例式即可求解当AP=AO=t=5时eq\o\ac(△,)AOP是腰三角形；（）EH于H，AC于，AC于N，于G，将五边形转化成一个三角形和一个直角梯形，则五边形OECQF的积三形OCE的面积直角梯形OCQF的面积；（）为三角ACD的面积CD=24，将（）中的结论代入已知条件五形S五

eq\o\ac(△,)ACD

=9：中可得关于的程，若有解且符合题意，则存在，反之，不存在；（）设存在由题意，过D作于M，AC于N根据角平分线的性质可得DM=DN由面积法可得;三形ODP的积=OP

DM=PDCD=3PD,所可得，则用含的数式可将OP和表示出来，在直角三角形中用勾股定理可得关于t的方程，解这个方程即可求解。

5．抛物线y=ax2（）经过点（﹣，）B（，）且与y轴相交于点．（）这条抛线的表达式；（）求的数；（）点D是求抛物线第象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上且AC，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)相似时，求点D的坐标．【答案】（）：当，所以（）设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-).将（0,3代入-，解得a=-2所以抛物线的解析式为2+x+3（）：过点B作BM，垂足为，过点M作MN，足为，图1，OC=3AO=1，CAO=3.直AC的解析式为y=3x+3.BM，BM的次项系数为.

设BM的解析式为y=-将点的标代入×+b=0,解b=.BM的析式为y=-x+.将y=3x+3与y=-x+联解得：x=-，y=.MC=BM=

=.为腰三角.ACB=45°.（）：如图所示，延长，轴点F.ACB=45°,D是一象限抛物线上一点，ECD＞又∆DCE与AOC相，AOC=CAO=ECD.CF=AF.设点的标为a0）则（a+1），得a=4.（）设的析式为y=kx+3，将F（）入得：，得k=-.的析式为y=-x+3.将y=-x+3与y=-2x2+x+3联立，解得x=0（舍去）.将x=代入x+3得y=（，）【解析】【分析】（）合已知抛物线与轴交点AB设抛物线的解析式为顶点式，代入点C的标求出系数，在回代化成抛物线解析式的一般形式。

（）垂线转到直角三角形中利用锐角函数关系解出直线南的解析式，再利用待定系数法求出系数得出直线BC的解析式，联立方程得出点M的标，根据勾股定求出的长判断出等腰直角三角形，得出角的度数.（）据似角形的性质的出两角相等，再利用待定系数法求出系数得出直线CF的析式，再联立方程得出点D的标。6．如图在个长40m、30的形小操场上王从点出发沿→B→C的线以3m/s的速度跑向C地当他出发s后,华有东西需要交给他就地出发沿王刚走的路线追赶当华跑到距地2m的处时他王刚在光下的影子恰好落在一条直线.（）时两人距多少DE的长?（）华追赶刚的速度是多?【答案】（）：在eq\o\ac(△,)中AB=40BC=30，由题意可得，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)，

=

，即

=.解得m.答：此时两人相距

m.（）：在eq\o\ac(△,)BDE中：，，BE=2m.王走的总路程AB+BE=42m.王走这段路程的时间为张用的时间为14-4=10(s)

=14(s).

张走的总路程AD=AB-BD=40-2=37（）张追赶王刚的度是37÷10（）答：张华追赶王刚的速度约是【解析】【分析】（）eq\o\ac(△,)中根勾股定理得AC=50，利用平行投影的性质得，利用相似三角形的性质得出对应边的比相等可求得长（）eq\o\ac(△,),据勾股定理得BE=2，据题意王刚走的总路程为42，根据时间路÷速度求得王刚的时间，减去即张华用的时间，再根据速度路÷时间之即可得出答.7．如图1，过原点O的抛物线（）x轴交于另一点（，）在第一象限内与直线y=x交点（，）（）这条抛线的表达式；（）第四象内的抛物线上有一点C，足以B，，为顶点的三角形的面积为2，点的标；（）图2，点在这条抛物线上，，在）的条件下，是否存在点P，eq\o\ac(△,)△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

1212【答案】（）：（，）直线y=x上，t=2，B2，）把、两坐标代入抛物线解析式可得

，解得，抛线解析式为2﹣3x（）：如图，过C作y轴，交轴点，OB于点，作BFCD于F，点是抛物线上第四象限的点，可C（，2﹣3t），则（，），（，）OE=t，﹣，CD=t﹣（2t﹣）﹣2，

eq\o\ac(△,)OBC

=CD•OE+CD•BF=（﹣

+4t）t+2﹣）﹣2t，OBC的面积为2﹣2+4t=2，得=1C1，1）（）：存在设交y轴于点N，图2，B（，），AOB=，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)NOB中

（），（，）可直线解析式为，点标代入可得2=2k+，得k=，直的析式为y=x+，立直线和物线解析式可得，得或，M﹣，），C1，1）COA=，且B（2），

，OC=

，△，

==2POC=BOM，当点P在第一象限时，如图，M作y轴点，作PHx轴点，COA=BOG=45°，，且PHO=MGO，MOG△POH，M﹣，），

==2，

MG=，MG=

，，

，（，）；当点P在第三象限时，如图，M作y轴点，作PHy轴于点，同理可求得PH=MG=

，

，（﹣，）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标（，）或（﹣，）【解析】【分析】（）据已知抛物线在第一象限内与直线y=x交于点B（，）可求出点的坐标，再将点、的坐标分别代入2，建立二元一次方程组，求出、的值，即可求得答案。（）作CDy轴交x轴于点E，交于点D，作BFCD于F，知点、、、F的横坐标相等，因此设设（，2﹣）则E（0）（，）（2,再表示出OE、、的，然后根据

eq\o\ac(△,)OBC

=2，建立关的方程，求出的值，即可得出点的坐标。（）据已知件易eq\o\ac(△,)AOB，可出的长，得出点N的标，再根据点B、的坐标求出直线BN的函数解析式，再将二次函数和直线BN联立方程组，求出点M的坐标，求出、的长，再根eq\o\ac(△,)△MOB，得出，POC=BOM，然后分情况讨论：当点在一象限时，如图，过M作y轴于点，过P作x轴于点，eq\o\ac(△,)MOGPOH，出对应边成比例，即可求出点P的坐标；当点P在第三象限时，如图4，M作MG轴于点G，P作PHy轴点，理可得出点P的坐标，即可得出答案。

12128．在平面直角坐标系中为坐标原点，抛物线y=ax2（x+3（＜从左到右依次交轴于、B两，交y轴点．（）点AC的标；（）图，D在第一象限抛物线上交y轴于点E当DE=3AE，OB=4CE时，求a的值；（）图，在2）条件下，点在C、之的抛物线上，连接PC、，Q在B、D之间的抛物线上，QFPC，交x轴于F，连接CF、，当PC=PD，CFQ=2，BQ的．【答案】（）：当x=0时，C（，）当时，+（）（）x+1=0，解得x=-，x．＜，-＞0A（，0）（）：如图，点D作DMAB于．

OEDM

，OM=3D点坐标为．

=3a+3，OE=3a+3，）．，-=-12a，＜，a=-（）：如图，点D作y轴点T，过点作y轴点G，接TP．

a=-，抛线的解析式y=-+，（，）DT=3，CT=3=DT，又PC=PD，，TCPTDP，DTP=45°，TG=PG．设（，+），+，，（2t+3）-t+3，-t+3=t，得或，点在、之间，t=1．过点F作y轴BC于，过点作QNx轴于点，KFC=OCF，CON=90°．PC，PCF+，PCF+PCG+，CFQ=PCG+，CFK+PCG+OCFPCG（5），

，

，PCG=，．CFQ=2ABC，CFQ=2KFQ，KFC=，OCF=

，．设FN=m则QN=2m，（2m）在抛物线上，-（m+）

+×），解得或（舍去），Q（，）B（，），BQ=

．【解析】【分析】（）x=0，求出y的，得到C点坐标；令y=0，出x的，根据a＜得A点坐标；）如图，点作于．根据平行线分线段成比例定理求出，到D点坐标为12a+12．求出OE=3a+3，么CE=OC-OE=-3a根据，出，解方程求出a=-；（）图2过点D作轴于点T，点P作PGy轴点G，接TP．用SSS证eq\o\ac(△,明)TDP得出DTP=45°，那么TG=PG．设P（，+t+3），列出方程t-t+3=t，方程求得t=1或，根据点P在C、之，得到t=1过点作FK轴于，点Q作QNx轴于点，据平行线的性质以及已知条件得出KFQ=，进而证明KFQ=KFC=，tanOCF==tan，求出．设，，（，2m，根据Q在物线上列出方程（）+（m+），解方程求出满足条件的值，得到点坐标，然后根两点间的距离公式求出．9．如图，在矩形ABCD中交于点F．

，，E是边的点，，连接，

（）证：（）接CF，

；的值；（）接AC交DF于点G，

的值．【答案】（）明：四形是形，BAD=ADC=B=90°，AE，AFD=90°，BAE+EAD=，BAE=，在eq\o\ac(△,)ABE中，BE=3，，eq\o\ac(△,)和DFA中，，（）（）：连结DE交于点H，，，，CE=EF=2，DE，HDC=DEC+HDC=90°，，在eq\o\ac(△,)DCE中，CD=4，，

DE=2

，sinDEC=

.（）点C作CKAE交的长线于点，AE，CKDF，

，在eq\o\ac(△,)CEK中AEB=2×=,FK=FE+EK=2+,

=.【解析】【分】（1）矩形的性质，垂直的性质，同角的余角相等可得BAE=ADF在eq\o\ac(△,)中，根据勾股定理可得AE=5，全等三角形的判定可DFA.（）结交CF于H，（中全等三角形的性质可知DF=DC=4，AF=BE=3由同角的余角相等得DEC，eq\o\ac(△,)DCE中根据勾股定理可得DE=2,根锐角三函数定义可得答案.（）点C作CK交的长线于点，平行线的推论知CKDF，根据平行线所截线段成比例可得，eq\o\ac(△,)CEK中，根据锐角三角函数定义可得EK=,从求出FK代入数值即可得出答案10．知AB两点在直线l的一侧，线段BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO=2BM，BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持不，BP边与直线相于点．

（）P与O重时（如图所），设点是AO的中点，连接．求证：四边形OCBM是方形；（）利用如所的情形，求证：

=

；（）

，且当MO=2PO时请直接写出AB和PB的．【答案】（）：2BM=AO，2CO=AO，BM=CO，AOBM四形OCBM是行边形，，OCBM是形，ABP=90°，C是AO的点，，矩OCBM是方（）：连接AP、，ABP=AOP=90°，A、B、、四点共圆，由圆周角定理可知：APB=AOB，AOBMAOB=，APB=OBM，APB△OBM，（）：当点P在O的侧时，如图所示，

过点作BD于，易eq\o\ac(△,)PEO，

，易证：四边形DBMO是矩形，BD=MO，，，，，BM=，

，

，易eq\o\ac(△,)ADB△ABE，AB

=AD，AE=AD+DE=

，AB=

，由勾股定理可知BE=易证eq\o\ac(△,)PEO

，

，

；当点P在的侧时，如图所示，

过点作BD于，，点是OM的中点，设PM=x，BD=2x，AOM=，AO、、四共圆，四形是内接四边形，A，△，

，又易证四边形ODBM是矩形，，解得：BD=2x=2

，，，由勾股定理可知AB=3

，BM=3【解析】【分析】（）据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出OCBM是形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据有一组邻边相等的矩形正方形得出结论；（）接AP、，据ABP=AOP=90°，断出、、、四共圆，由圆周角定理可知：APB=，据二直线平行内错角相等得出OBM，据等量代换得出APB=OBM，从而判断出OBM，据相似三角形对应边成比例得

;（）点在O的左侧时，如图所示，过点作BD于D，eq\o\ac(△,)△，根据相似三角形对应边成比例得出

,易：四边形DBMO是矩形，根据矩形的性质得出，OD=BM，，进而得出BM,OE,DE的长，易eq\o\ac(△,)△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出，从而得出AE,AB的长，由勾股定理可得BF的长，易证：△PBM，根据相似三角形对应边成比例得出BE3，根据比例式得出PB的长；当点P在O的侧时，如图所示，过点B作于D设PM=x，BD=2x，ABP=90°得出四边形AOPB是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质得出，而判断出ABD△PBM，根据相似三角形对应边成比例得出BM，据比例式得出x的，进而得出，BP的。11．图，在矩形中，．，两点分别从，B同时出发，

P沿线ABBC运，在AB上的速度是，BC上的速度是2cm/s点在上以2cm/s的度终点D运，点P作AD，足为点．接，，为邻边PQMN．运动的时间为（）PQMN与矩形ABCD重部分的图形面积为（2）（）PQAB时，x=________；（）关于的数解析式，并写出x的取值范围；（）线AM将形的积分成：两部分时，接写出x的．【答案】（）（）：如图中，当＜≤时重叠部分是四边形PQMN．y=2x×x=2x2

．②如②中当＜≤1时重叠部分是四边形．y=（﹣x=x+x

③如3中，当＜＜时，重叠部分是四边形PNEQ．y=（﹣）x﹣

（﹣）x3x+4

；综上所述，（）：如图中，当直线经BC中点时满足条件．则有：EAB=tanQPB

=

，解得x=．②如5中，当直线AM经CD的点E时，满足条件．

此时DEA=tanQPB

=

，解得x=，综上所述，当x=s或时直线AM将形的面积分成1：两部分【解析】【解答】解：（）当AB时，BQ=2PB，2x=2（﹣）