控制工程基础课后答案

控制工程基础课后答案_文档视界第二章

2.1求下列函数的拉氏变换

（1）s

sssF232)(23++=（2）4310)(2+-=sssF（3）1)(!)(+-=

nasnsF（4）36)2(6)(2++=ssF（5）22222)

()(asassF+-=（6）)14(21)(2ssssF++=（7）52

1)(+-=ssF2.2（1）由终值定理：10)(lim)(lim)(0===∞→∞

→stssFtff（2）1

1010)1(10)(+-=+=sssssF由拉斯反变换：tesFLtf---==1010)]([)(1

所以10)(lim=∞

→tft2.3（1）0)

2()(lim)(lim)0(20=+===∞→→ssssFtffst)0()0()()()](['2''0''fsfsFsdtetftfLst--==-+∞?

)0()0()(lim)(lim'2''0fsfsFsdtetfssts--=+∞→-+∞+∞→?

1)2()(lim)0(2

2

2'=+==+∞→sssFsfs(2)2)2(1)(+=

ssF,ttesFLtf21)]([)(--==∴,0)0(2)(22'=-=--fteetftt又，1)0('=∴f

2.4解：dtetfe

tfLsFsts--?-==202)(11)]([)(??------+-=2121021111dtee

dteestssts

)11(11)11(11

222sssss

eseseesse-------+--=22)1(111sses

e---?-=2.5求下列函数的拉氏反变换

（1）ttf2sin2

1)(=（2）tettf-=36

1

)(（3）tteetf32321)(+-=-（4）tteetf235

352)(+=-（5）tetetftt3sin313cos2)(22--+=（6）ttteetetf222)(----+-=2.6（1）0)()()(22=--dt

tydmtkytf（2）0)()()(222121=-+-dt

tydmtykkkktf2.7（1）1

4312)(23++++=sssssG（2）2

10)(22++=-ssesGs2.8解水的流量Q1由调节控制阀的开度控制，流出量Q2则根据需要可通过负载阀来改变，被调量H反映了。水的流入与流出之间的平衡关系。

设1Q为输入水流量的稳态值，1Q?为其增量;2Q输出水流量的稳态值，2Q?为其增量;A

为水槽底面积；2R为负载阀的阻力(即液阻)。在正常运行时处于平衡状态，即21QQ=，

0=?h。当调节控制阀的开度时，1Q?使液位随之变化。在流出端负载阀开度不变的情况

下，液位的变化将是流出量改变流出量与液位高度的关系。

dt

hd?=?-?AQQ21，(2-1)22RQh??=

，(2-2)将式(2-1)代入式(2-2)，得

1222ARQQdt

Qd?=?+?，(2-3)

所以1

Ts11sAR1(s)Q(s)Q)(G2121+=+=??=s。其中，2ART=.由式(2-1)也可得

1QT?=?+?hdt

hd,1Ts1(s)Qh(s)(s)G12+=??=

。水流量dt)t(dHAdt)t(dV)t(Q==

(式子中，v为水的体积；H为水位高度；A为容器底面

积)由上式有H(t)=?dt)t(QA1对上式进行拉氏变换并整理得

As1)s(Q)s(H=2.9（a）)1)(1()1)(1()(1122211122+++++==sCRsCRCsRsCRsCRUUsGr

c(b))1)(1()1)(1()(2211212211+++++==s

kcskcskcskcskcXXsGrc2.10解，系统框图如图所示：G4+R(s)+G6G5-

--+G7G1G2G3G8-

+传递函数为5

434321876324321)(1)()(GGGGGGGGGGGGGGGGsRsC+-++=2.11当只有R(s)作用，且N(s)=0时

3

2122211)()(HGGHGGGsRsC+-=

当只有N(s)作用，且R(s)=0时

3

21221121)1()()(HGGHGHGGsCsN+-+=

2.12(1)以R(s)为输入，当N(s)=0时，

当以C(s)为输出时，有HGGGGsRsCsGc21211)()()(+==

当以Y(s)为输出时，有HGGGsRsYsGY2111)()()(+==

当以B(s)为输出时，有HGGHGGsRsBsGB21211)()()(+==

当以E(s)为输出时，有H

GGsRsEsGE2111)()()(+==(2)以N(s)为输入，当R(s)=0时

当以C(s)为输出时，有HGGGsNsCsGC2121)()()(+==

当以Y(s)为输出时，有HGGHGGsNsYsGY21211)()()(+-==

当以B(s)为输出时，有HGGHGsNsBsGB2121)()()(+==

当以E(s)为输出时，有HGGHGsNsEsGE2121)()()(+-==

2.1344313223213432143211)()()(HGGHGGHGGGHGGGGGGGGsRsCsGB+-+-==

2.1421321343214321)(1)()()(HHGGGHGGGGGGGGsRsCsGB-+++==

2.151

325214312154321521)1(1)()()(HGGGGGGGHGGGGGGGGGGsRsCsGB-++++==

2.16（a）)1(221+=ssKt,)1(221+-=ssKL,)1(252+-=sL,)

1(123+-=ssL)(1,13211LLL++-=?=?

2

72)()()(2311-++=??==KssKtsRsCsG(b)543211GGGGGt=,

4个单独回路：121HGL-=,232HGL-=,343HGL-=,6434GGGL=

4对回路互不接触：213221HHGGLL=;314231HHGGLL=;234332HHGGLL=

1643241HGGGGLL-=;

一对三个互不接触回路：321432321HHHGGGLLL-=

321413*********)()(1LLLLLLLLLLLLLLL-+++++++-=?，11=?，G(s)=?

?11t2.17解:由于()()()()()2s1s2s3sRsCsG+++==

在单位阶跃输入时,有()依题意,1ssR=()()()1

s12s2s1s1.1s2s2s3sC+++-=+++=

所以t

teeSssLsCLtc+21=)1+1+2+21(=)]([=)(211

第三章

3.1略

3.2略

3.3略

3.4解：该系统的微分方程为：)()(tuiRtucr+=，?

=idtc

tuc1)(。传递函数为11

)(

)()(+==TssUsUsGrc

（1）单位阶跃响应，)0(1)(≥-=-tetcTt

（2）单位脉冲响应：T

t

eTtc-=1)(

（3）单位斜坡响应：Tt

TeTttc-+-=)(

3.5由拉斯变换得:)(20)()(5.2sXsYssY=+

4.08

)(+=ssG单位脉冲响应为：tetc4.08)(-=

单位阶跃响应为：)1(20)(4.0teth--=

比较c(t)和h(t)可得)()('thtc=，dttctht

?=0)()(

3.6解：闭环传递函数函数为：11

)(2++=sssG

得12

=nω，5.0=ξ，

s

tnr418.212=--=ξωβ

π

stnp628

.312=-=ξωπ

%3.16%1002

1=?=--ξξπ

eMp

stns84

02.0===?ξω，当，stns6305.0===?ξω，当

3.7解：%5%10021=?=--επε

e

Mp，69.0=ξ当02.0=?时，n

stξω4

=，则889.2=nω，当05.0=?时，nstξω3=

，则174.2=nω，将nω代入21ξξω-=?-snte验算，

得，889.2=nω

3.8解(1)由二阶系统的极点30102,1js±-=,可以得到

3010122,1jjsnn±-=-±-=εωεω。

由上述公式，可得到10-=-nεω,3012=-εωn,

因而有316.0=ε，sradn/10106.31==ω。

系统闭环传递函数可写为()1000201000

2++=

sssM。(2)上述系统对应的动态响应指标为

stnr063.0316.0116.3316.0cos1cos2121=--=--=--πεωε

π，

stnp105.012=-=ε

ωπ

，%35%10021=?=--επε

eMp，

stns3.06

.31316.033%5=?=≈εω，stns4.06.31316.044%2=?=

≈εω3.9解(1)对系统输出作拉普拉斯变换，可得到系统输出为

)

10)(60(600102.1602.01)(++=+-++=sssssssY。

系统输入为单位阶跃输入，则

s

sR1)(=

因而，系统闭环传递函数表达式为600

70600)10)(60(600)()()(2++=++==

sssssRsYsM。(2)二阶系统标准形式为2222)(n

nnsssMωξωω++=,特征多项式为600702++ss。

因而?????==

6007022,nnωξω.系统阻尼比ξ和无阻尼自然振荡频率nω分别为

sradn5.24,43.1==ωξ

3.10K

sKKsKsKsKsKGffB+?+=++?=

222)1(11则，Kn=ω2KKf=

ξ又，%2521==--ξξπ

eMp所以，24.0)ln(11

2KKMfp==+=π

ξ

而，stp2=21ξωπ-=

npt所以Ktpn==-=93.2)1(222

2ξπω

47.0/2==KKpξ

3.11解：系统闭环传递函数为：k

sssksG+++=

23)(23令02323=+++ksss

3s12

2s3k

1s323k-?

0sk由于系统处于稳定状态，则有：

036>-k，得0>-.0,02.22KK解上述不等式方程，可以得到系统闭环稳定的条件为91.00>-.

0,01.01KK解上述不等式方程，可以得到系统闭环稳定的条件为100;这是一个I型3阶最小相位系统，开环系统稳定。

开环频率特性为)

1)(1()1()(213+++=TjTjjTjKjwGωωωω幅频特性为注：|Z|....|Z||Z||.....ZZZ|N21N21=1)(1)(1

)()(222123+?+?+=TTTKAωωωωω

相频特性为()213arctanarctanarcta

n90TTTωωωω?--+-=首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。

①当+→0ω时，有()2π

ωωωjeKjKjG-==即()∞=+0A，()900-=+?。

图4-13系统奈氏曲线图

当∞→ω时，()0=∞A，()()18090-=?--=∞mn?。

②因为213TTT+>,所以开环幅相频率特性从第四到第三象限变化。开环幅相频率特性与

负实轴无焦点。开环幅相频率特性如图5.20所示，ω由0到+0的增补特性如图中虚线所示。

可以看出，当ω由0到∞时，开环幅相频率特性不包围()0,1j-点，所以，闭环系统是稳定

的。

③()2()()()

10120++=ssssG这也是一个I型3阶最小相位系统，开环系统稳定。开环频率特性为()()()

11.012++=ωωωωjjjjG幅频特性为注：|Z|....|Z||Z||.....ZZZ|N21N21=

()()1

1.01222+?+?=

ωωωωA相频特性为

()()ωωω?1.0arctanarctan90---=首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。

①当+→0ω时，()∞=+0A,()900-=+?。

②当∞→ω时，()0=∞A，()()27090-=?--=∞mn?。

③开环幅相频率特性与负实轴的交点。

开环幅相频率特性与负实轴的交点满足()180-=jω?，即

()

1801.0arctanarctan90-=---jjωω

或()jjωωarctan901.0arctan-=

两边取正切()[][]

jjωωarctan90tan1.0arctantan-=

图4-14系统的开环特性图

其中[])

tan(1)cot(arctan90tanjjjωωω==-则有()[]))

tan(tan(11.0arctantanjjωω=jjωω1

1.0=

解得10=jω

代入幅频特性，得134.0220211110102)(==++=

jwA开环幅相频率特性与负实轴的交点坐标为(—0.134，j0)。

开环幅相频率特性如图4-14所示，ω由0到+0的增补特性如图中虚线所示。

可以看出，当ω由0到∞时，开环幅相频率特性不包括(-1，j0)点，所以，闭环系统是稳定

的。

(3))

2()100()G++=ssss（因为分母有(s-1)项，所以这是一个非常最小相位系统，开环右极点数目P=1,开环频率特

性为)

15.0()101.0(50)G(j-+=ωωωωjjj幅频特性为1)5.0(1

)01.0(50)A(j22+?+=ωωωω

相频特性为)01.0arctan()5.0arctan(18090)(0

0ww++--=ω?首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。

图4-15开环幅相频率特征

①当+→0ω时，0270)0(,)0(-∞=+?A。

②当∞→ω时，090)(,0)(-=∞=∞?A。

③开环幅相频率特性与负实轴的交点。

开环幅相频率特性与负轴的交点满足,180)(0-=jω?即

()18001.0arctan.50arctan180900-=++--jjωω）（

或

)01.0arctan(90)5.0arctan(0jjωω-=两边取正切()[][]jj

ωω)01..0arctan90tan5.0arctantan（-=有j

jωω01.015.0=解得200=jω代入幅频特性，得5.05120002

.150A==

）（ω,开环幅相频率特性与负实轴的交点坐标为(-0.5，j0)

开环幅相频率特性如图4-23所示，ω由0到+

0的增补特性如图中虚线所示。

由图看出，当ω由0到∞时，开环幅相频率特性不包围(-1，j0)点，所以，闭环系统是

不稳定的。

下接（4）

4.5解：()(1)(1)0.110K

Gssss=++

20lg20lg20lg20lg0.160KKdBω-=-=

100K=100()(0.1)(10)

Gssss=

++

4.6（1）Re

Im

(-1,j0)

奈奎斯特曲线不包围（-1，j0）点，所以系统稳定

（2）奈奎斯特曲线为：Re

Im

(-1,j0)-0.18

奈奎斯特曲线不包围（-1，j0）点，所以系统稳定

（3）

Re

Im

(-1,j0)-0.5

奈奎斯特曲线不包围（-1，j0）点，所以系统稳定

4.7解：(1)()()()

108.012.025G++=ssss系统开环频率特性为()()()108.012.025++=

ωωωωjjjjG幅频特性为()()()108.012.025

22+?+?

=ωωωωA相频特性为()ωωω?08.0arctan2.0arctan90---=

首先绘制开环对数频率特性。

①对数幅频特性

()()()()1

08.012.025

lg20lg2022+?+?==ωωωωωAL其中20lg25=28dB,转折频率5.1208

.01,52.0121====

ωω。对数频率特性如图5.23。②求相位裕量

令()()

()108.012.025

22+?+?=ccccAωωωω108.02.025=??≈c

ccωωω6.1108

.02.0253=?=cω

相位。图4-16对数频率特性?-=?-?-?-=?-?-?-=54.19986.4268.6690)

6.1108.0arctan()6.112.0arctan(90)(cω?

相位裕量。

?-=?-?=+?=54.1954.199180)(180)(ccω?ωγ

②求增益裕量

令

jjjjjωωωωω?08.0arctan2.0arctan9018008.0arctan2.0arctan90)(=-??

-=--?-=

两边取正切]08.0tan[arctan]2.0arctan90tan[jjωω=-?

有jj

ωω08.02.01=解之，得9.7=jω。代入幅频特性，得

43.11

)9.708.0(1)9.72.0(9.725

)(22=+??+??=jAω则增益裕量699.043.11==

GM。④判断闭环系统的稳定性

因为相位裕量??=086.13)(cωγ，增益裕量194.1>=GM，故闭环系统稳定，(3))

15.0)(11.0(2)(++=ssssG系统开环频率特性为

)15.0)(11.0(2)(++=

ωωωωjjjjG幅频特性为

1

)5.0(1)1.0(2)(22+?+?=

ωωωωA相频特性为

ωωω?5.0arctan1.0arctan90)(--?-=

首先绘制开环对数频率特性

①对数幅频特性1)5.0(1)1.0(2

lg20)(lg20)(22+?+?==ωωωωAaL

图4-18系统的开环特性图

其中dB62lg20=，转折频率.101

.01,25.0121====

ωω对数频率特性如图4-18所示。②求相位裕量

令15.021)5.0(1)1.0(2

)(22=?≈+?+?=c

ccctAωωωωωω

相位000003.146453.1190)25.0arctan()21.0arctan(90)(-=---=?-?--=cω?相位裕量

00007.333.146180)(180)(=-=+=ccω?ωγ

③求增益裕量

令

001805.0arctan1.0arctan90)(-=---=jjjωωω?

jjωω5.0arctan1.0arctan900=-

两边取正切

]5.0tan[arctan]1.0arctan90tan[0jjωω=-

有jj

ωω5.01.01=解之得.47.4=jω带入幅频特性，得2.05.021

)5.0(1)1.0(2)(22=?≈+?+?=jjjjjjAωωωωωω则增益裕量.52.01==

GM④判断闭环系统的稳定性

因为相位裕量0007.33)(>=cωγ，增益裕量12>=GM，故闭环系统稳定

4.8

)

j0.51(j20)j()j(ωωωω+=HG幅频特性：225.0120)j(ωωω+=KG

相频特性：∠ωωω5.0arctan90)j()j(-?-=HG

24==

cω

令15.0120

)j(2

2=+=cccGωωω，计算得1685.6=cω

∴?=?-?-?=-?-?=9.171.72901805.0arctan90180cωγ令∠?-=-?-==1805.0arctan90)j()j(ggHGωωωωω

则∞=gω；故∞=gK

该系统是稳定的。

4.9解：系统开环传递函数为：1

2)(+ssG12

)(2+=ωωjG

ωωarctan)(-=∠jG

令180)(-=∠ωjG，则∞=gω，∞=gK令1)(=∠ωjG，则3=cω，120)(180=∠+=ωjGr

因为1>gK，0>r所以系统稳定

4.10解：1)1.0(1)0

5.0(10

)(22++=ωωjG

ωωω1.0arctan05.0arctan90)(---=∠jG；令1)(=ωjG，则，5.7=cω，147)(-=∠ωjG33=r

有公式可得r

Mrsin1==1.84该系统可近似为二阶系统，84.1121

2=-=ξξrM，则28.0=ξ

sradr/3.3212=-=

ξξω

第五章

5.3解：（1）162

60/3602-=?=sK)

15.0)(12.0(6)(++=ssssG))5.0(1)(1)2.0((6

)(22ωωωω++=jG

ωωω5.0arctan2.0arctan90)(---=∠jG令1)(=ωjG，则，sradc/3.9=ω，6.229)(-=∠ωjG6.49=y

令180)(-=∠ωjG，则，10=gω，86.0)(=ωjGdBkg16.1=

(2))

108.0)(15.0)(12.0(14.06)(++++=ssssssG）（校1)8.0()1)5.0()(1)2.0((14.06)(2222++++=ωωωωωω）（校jG

08.0arctan5.0arctan2.0arctan904.0arctan)(----=∠ωωωωjG校令1)(=ωjG校，则，sradc/8.3=ω，7.149)(-=∠ωjG校2.30=校y

令180)(-=∠ωjG校，则，sradg/4.7=ω，86.0)(=ωjGdBkg14.3=

超前系统的稳定性得到明显改善，同时r增大，gk增大。

5.4解：由于该系统为Ⅰ型，所以sse=15

11<k，15min=∴K；未校正系统的开环频率特性为：)1(15)(+=

ωωjjsG1115)(2

=+=ωωωccA,8.3=cω,165arctan90-=--=cω?

15180=+=?r

则根据相位裕度的要求校正网络的相位超前角：

3551545=+-=m?

27.0sin1sin1=+-=m

m??α相位超前校正环节在Tm21=

ω处的幅值为：dBTjjTm

m7.5lg1011lg20=-=++αωαωmω为校正后的系统的剪切频率'cω，校正后系统开环对数幅值比为0dB,

dBmm7.5115

lg202-=+ωω

32.5'≈=mcωω

T=0.36s校