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文档简介
(整理)函授高数专升本大纲及复习题._文档视界高等数学教学大纲
(函授专升本)
由于在专科阶段已经学习过高等数学,虽然各校、各专业的要求会有所差异,但是必定学习了一元函数微积分,故在本科阶段主要学习:微分方程;向量代数与空间解析几何;多元函数微积分及级数。具体要求如下:
一.一元函数微积分概要
掌握一元函数微积分中的极限、导数、积分等基本概念与基本运算。
二.微分方程
内容
微分方程及其阶、解、通解、特解与初始条件的概念变量可分离的方程齐次方程一阶线性方程可降阶的高阶方程线性微分方程解的结构二阶常系数齐次与非齐次线性微分方程微分方程的简单应用
要求
⑴理解微分方程及其阶、解、通解、特解、初始条件等概念。
⑵掌握变量可分离与一阶线性方程的解法
⑶会解齐次方程。
⑷会解三类可降阶的高阶微分方程。
⑸了解二阶线性微分方程解的结构。
⑹掌握二阶常系数齐次与非齐次线性微分方程的解法。
⑺会用微分方程解某些简单的应用问题。
三.向量代数与空间解析几何
内容
空间直角坐标系空间点直角坐标两点间距离公式向量定义模单位向量向量的坐标方向角方向余弦向量的线性运算向量的数量积向量的向量积平面的点法式方程、一般式方程、截距式方程直线的点向式方程、一般式方程、参数式方程点到平面的距离平面与平面的夹角直线与直线的夹角直线与平面的夹角曲面方程的概念旋转曲面母线平行于坐标轴的柱面方程空间曲线的一般式与参数式
方程空间曲线在坐标面上的投影常见的二次曲面
要求
⑴掌握空间直角坐标系;空间点的直角坐标及两点间距离公式。
⑵理解向量定义、模、单位向量、向量坐标、方向角及方向余弦的概念。
⑶掌握向量的线性运算;向量的数量积、向量积。
⑷会判定两向量的平行与垂直。
⑸会求平面方程与直线方程。
⑹会求点到平面的距离;会求平面与平面、直线与直线、平面与直线间的夹角。
⑺掌握求旋转曲面方程;认识母线平行于坐标轴的柱面方程的特征。
⑻认识空间曲线的一般式与参数式方程。
⑼会求空间曲线在坐标面上的投影。
⑽掌握椭球面、椭圆锥面及椭圆抛物面。
四.多元函数微分学
内容
多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限和连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质偏导数与全微分的概念全微分存在的必要条件与充分条件多元复合函数、隐函数的的求导法二阶偏导数空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线极值与条件极值的概念多元函数极值的必要条件二元函数极值的充分条件极值的求法拉格朗日乘数法最大值、最小值及其简单应用
要求
⑴理解二元函数、极限、连续的概念。
⑵理解偏导数概念;掌握复合函数与隐函数偏导数的求法。
⑶理解全微分的概念;了解全微分存在的必要条件与充分条件;了解全微分形式的不变性;会求全微分。
⑷了解连续、可偏导、可全微分的关系。
⑸理解空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并会求它们的方程。
⑹理解极值存在的必要条件;二元函数极值存在的充分条件,掌握求二元函数的极值。
⑺了解条件极值的概念,会用拉格朗日乘数法求简单的应用问题。
五.多元函数积分学
内容
二重积分的概念及性质二重积分的计算及应用三重积分的概念及性质三重积分的计算及应用两类曲线积分的概念、性质、关系及计算格林公式平面曲线积分与
路径无关的条件已知全微分求原函数对面积曲面积分的概念
要求
⑴理解二重积分的概念,性质及几何意义。
⑵掌握二重积分的计算法(直角坐标、极坐标)。
⑶了解三重积分的概念,性质。
⑷会求三重积分(直角坐标,柱面坐标,球面坐标)。
⑸理解两类曲线积分的概念、性质、物理意义及关系。
⑹掌握计算两类曲线积分的方法。
⑺掌握格林公式,并会用它求曲线积分。
⑻会判定平面曲线积分与路径无关,并会求全微分的原函数。
⑼会用重积分、曲线积分求一些几何量(平面图形的面积、空间立体的体积、曲面的面积及曲线的弧长)与物理量(质量、重心及转动惯量)。
六.无穷级数
内容
常数项级数收敛与发散的概念级数的基本性质级数收敛的必要条件几何级数与p—级数的收敛性正项级数的比值、比较及根值审敛法交错级数与莱布尼兹定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛幂级数及其收敛半径和收敛区间幂级数的运算幂级数的和函数函数的幂级数展开式
要求
⑴理解常数项级数收敛、发散的概念;收敛级数的和的概念。
⑵理解级数的基本性质,掌握级数收敛的必要条件。
⑶掌握正项级数的比较、比值与根值判定法。
⑷掌握交错级数的莱布尼兹判定法。
⑸理解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念,会判定任意项级数的绝对收敛与条件收敛。
⑹掌握几何级数、p—级数收敛与发散的条件。
⑺理解幂级数及其收敛半径的概念,掌握求幂级数收敛半径与收敛区间的方法。
⑻了解泰勒级数的形式,会用间接法将函数展开成幂级数。
⑼会求简单的幂级数的和函数。
学时分配
高等数学的总学时为130,其中自学学时为80,面授学时为50,具体内容的学时数分配如下,供任课老师参考。
参考教材:
《高等数学》(专升本)李永琪、许红娅、薛秀谦编著浙江大学出版社
高等数学复习题
(函授专升本)
第一章一元函数微积分概要
1、求下列各极限
①3limn
nnn→∞+??
???
②
limx→+∞
③0limsinxxxeex
-→-
④0
11limsin
sinxxxxx→??+??
?
⑤0
limx
xx+
→⑥2
20
6
sinlim
xxtdtx→?
2、试解下列各题
①设()
arctan,xye=求,,.yydy'''②设()
2,yfx=求,.yy'''
③设()2ln1arctanxxytx?=+??=-??,求
22,.dydydxdx④设1,y
yxe=-求dydx
及在点()0,1处的切线与法线方程。
⑤设
()0
cos,x
ftdtxx=?求().fx
⑥求函数3
2
26187yxxx=---的单调区间与极值。3、求下列各积分①
32sin2xxedx??-??
??②
?③
④
()10
sinxxdxπ?
⑤
210
?
⑥
11lne
xdxx??-???
?⑦
20
sinxdxπ?
⑧
4
1
?
⑨
2
5221sin3xxdxx-??+?+??
?⑩()20
fxdx?
,其中()2
2
2131
xxexfxx
x-?≤?=?>??
第二章微分方程
1、求下列一阶微分方程的通解或特解
①yxy'=;②2yx
ye-'=,()1
02
y=-
;③x
yye
-'+=;④sin0,1xxyyxy
π
='+-==;
⑤ln
y
xyyx
'=;⑥
xyy'+=2、求下列二阶微分方程的通解或特解
①2x
yxe
''=+;
②()
212xyxy'''+=,()01y=,()03y'=;③250yy''+=,()02y=;()05y'=;
④2
2yyxx'''+=+;
⑤2x
yyxe''-=;⑥42sinyyx''+=;
3、求初值问题()()2300,01
x
yyye
yy-'''?--=??'==??。
4、设()fx为连续函数,且满足方程()()20
2
1x
ftdtfxx=--?
,求()fx。
5、设某曲线上各点的法线都通过点(),ab,求此曲线方程。
6、设某曲线()yfx=经过点()0,1且在此点与直线12
x
y=
+相切,
并满足方程yx''=,切此曲线的方程。
7、设质量为m的质点从液面由静止开始在液体中下降,假定液体的阻力与速度v成正比,试求质点下降时的位移x与时间t的函数关系。
第三章空间解析几何与向量代数
1、试解下列各题
①设向量22aijk=-+,34bik=-,求ab?、ab?、()
cos,ab、及a的方向余弦;
②已知三点()1,2,3A,()3,4,4B,()1,0,4C,求同时垂直于,ABAC的单位向量,及三角形ABC?的面积;
③已知向量1,2,aba==与b之间的夹角为3
π
,求以a,b为邻边的平行四边形的对角线的长;
④已知向量()(),1,2,2,2,3akb==-相互垂直,求k的值。2、试解下列各题
①求yoz面上曲线2
20
zyx?=?=?绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程,并画出旋转曲面的
图形。
②画出由曲面2
2
6zxy=--,z=面的交线在xoy面上投影曲线的方程。
③求球心在点()1,2,3,并与xoy面相切的球面方程。3、求下列各平面的方程
①过点()1,2,3-,且与平面239xyz+-=平行;
②过点()0,2,3-,且与直线31
215
xyz-+==
-垂直;③过x轴和点()3,2,1;④过点()2,1,3-和直线113
231
xyz+-+==
-。4、求下列直线方程
①用点向式与参数式方程表示直线27
27xyzxyz+-=??-++=?
;
②求过点()0,2,4,且与两平面21xz+=和32yz-=均平行;③求过点()01,1,0M-,且和直线012:
011
xyz
l-+==垂直相交。5、求点()1,2,1到平面22100xyz++-=的距离。6、求点()1,2,0-在平面210xyz+-+=上投影点的坐标。
第四章多元函数微分学
1、已知()2
2
,fuvuv=-,求(),fxyxy+-;
2、求函数()
lnzyx=-+
3、求下列函数的一阶偏导数
①()3
cos2zxyxy=++;②()lnzxxy=;
③()z
uxy=-;④
z=
;
⑤(
)22
zfxy
=-;⑥()2
2,xyzfxye=+
4、求下列函数的全微分
①设xy
ze
=,求dz;②设yz
wx
=,求dw
5、求下列函数的二阶偏导数
①设arctan,y
zx=求22222,,zzzxyxy???????;②设()21,,zfyxy=+求2222
2,,zzz
xyxy
???????。6、求下列隐函数的偏导数或全微分
①设由方程23z
xyze+-=确定z是,xy的函数,求
,.zzxy
????②设由3
3xyzz=确定(),zxy,求
,.zzxy
????③设(),zxyz?=+-求.dz7、设(),zyu?=+其中
()u?可微,22,uxy=-
证明:zz
y
xxxy
??+=??。8、多元函数微分学的在几何上的应用
①求曲面3z
ezxy-+=在点()2,1,0处的切平面与法线方程。
②求曲线cos,sin,xayazbθθθ===在点0θ=处的切线与法平面方程。
③求曲线22
xy
zx
?=??=??在点()1,1,1处的切线与法平面方程。④求曲面zxy=平行与平面390xyz+++=的切平面方程。9、求函数3
3
3zxyxy=+-的极值。
10、要造一个容积为V的长方形无盖水池,应如何选择水池的尺寸,方可使表面积最
小。
11=数。
第五章多元函数积分学
1、画出下列各积分区域,并改变积分次序
①()100
,y
dyfxydx??。
②()ln1
,e
xdxfxydy?
?
。
③
()()123
30
1
,,y
y
dyfxydxdyfxydx-+??
??
2、求下列二重积分
①()2,D
xydσ+??D:1,0,0.xyxy+≤≥≥
②
D
σ??
,其中D是由两条抛物线
2
yyx==所围成闭区域。③2
2,D
xdyσ??D:由曲线1,,2xyyxx===围成。
④
1
x
y
dxdyy
?
。⑤()22
cosD
xydσ+??
,D:22224,0.xyyππ≤+≤≥⑥
()2
2D
x
ydσ+??,D:222xyax+≤
3、求由旋转抛物面2
2
6zxy=--与锥面
z=所围成立体的体积。
4、求下列各曲面的面积
①球面2224xyz++=含在圆柱面22
1xy+=内的那部分曲面。②锥面
z=
被柱面22zx=所割下部分的曲面。
5、求下列各三重积分
①,ydxdydzΩ
???Ω:由平面1,0,0,0xyzxyz++====所围成。
②()2
2x
ydvΩ
+???,Ω:由抛物面222xyz+=与平面2z=围成。
③
Ω
,Ω:2222xyzz++≤。
6、将三重积分
()2
2fx
ydvΩ
+???Ω:
z≤≤分别表示成柱面
坐标与球面坐标系下的三次积分。7、求下列各曲线积分
①
()22
n
L
xyds+?
,L:222xya+=。②
,L
L?:从点()0,0到点()1,1的直线段。
③,L
xdsL?
:由2
,yxyx==所围成区域的整个边界。④
2
2,
L
ydxxdyL+?:曲线2yx=上从点()0,0到点()2,4的弧段。
8、用格林公式求下列曲线积分
①()()3
223,Lx
xydxxyydy-+-?L:224xy+=正向一周。
②
()()2
2
2L
xyxdxxydy-++?,其中L是由抛物线2
2
,yxyx==所围成闭
区域的正向边界曲线。③
()()sin2cosx
xL
e
yyxdxeyydy-+++?,L:从点(),0a到点(),0a-的上
半圆周
)0ya=
>。
9、试确定,ab的值,使得()()
3222cossin3axyyxdxybyxxydy-+++为某函数的全微分,并求出一个这样的函数。10、设曲线积分
()()()2
2B
A
x
xydxxxdy??++?与路径无关,其中()x?可导,且
()10,?=求()x?及当()()1,0,2,2AB时的积分值。
第六章无穷级数
1、判定下列级数的敛散性
①
n∞
=②()
1
213n
n
n∞
=+-∑;
③1
ln1nn
n∞
=+∑
④
nnπ
∞
=
⑤2
12
nnn∞=∑⑥
1
3!nnn
n∞
=?∑2、判定下列级数的绝对与条件收敛性
①()31
11n
nnn∞
=-+∑②
1
1n
n∞
=-
③
1111ln2ln3ln4ln5
-+-+3、求下列幂级数的收敛半径与收敛区间①
()
2
11n
n
nxn
∞
=-∑
②
11n
nx∞
=-
③
()
2
121n
nxn
∞
=+∑
④
()
12!
n
nxn∞
=+∑
4、求下列幂级数的和函数
①()1222n
n
nxx∞
=-<<∑②()1333
n
n
nxxn∞
=-<<?∑
5、求下列函数的麦克劳林级数
①3x
;②()ln2x+;
③arctanxx?;④20
cosxtdt?
;
6、将()21
32
fxxx=
++展开成1x-的幂级数。
7、将()sinfxx=展开成4
xπ
+
的幂级数。
模拟试卷
一.填空题(共21分,每小题3分)1.()[]=-+∞
→nnnnln1lnlim;
2.设
()20
sinx
ftdtxx=?
,则()=xf;
3.设(
)2
2y
xfz-=,则=??+??x
z
yyzx;
4.改变积分次序
()?
?-2
32
x
x
dyyxfdx,=;
5.将三重积分
()2
22fx
yzdVΩ
++???,22222yxazyx--≤≤+Ω:表
示成球面坐标系下的三次积分;6.设L是圆周2
2
2
ayx=+,则()
=+?L
n
dsyx
22
;
7.将
x
1
展开成2-x的幂级数为。
二.选择题(共9分,每小题3分)
1.曲线?????==2
2
x
zy
x上点()111,,处的法平面方程为()()A0342=+--zyx;()B0542=-+-
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