中考数学专题复习试卷分类汇编-解直角三角形专题

eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)C′

欢迎下载解直角三形一选择题．（山东省菏泽市）如图eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)B都等腰三角形，且=AC，ABAC，∠+∠′=90°，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)ABC′的面积比为（）A．259B．5：3．：

D．

：3【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】先根据等腰三角形的性质得∠B∠C，′=∠，据三角函数的定义得到AD=ABADA′sinB，BCBD•cosB，CD′cosB，后根据三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，过A作D⊥BC于D，∵△eq\o\ac(△,)ABC都等腰三角形，∴∠B∠，∠B∠，=2BDBCBD，∴AD=•sinBDB，•，D′=2BcosB，∵∠B∠B，∴cosB，sinBcosB，∵ADBCAB•2•cosBS∴

=ADBC′•′BsinB′=9sinB，：=25：9故选A．【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式．

2学习必2

欢迎下载（2016·重市卷4分某学兴趣小组同学进行测量大树CD高的综合实践活动，如图，在点A测得直立于地面的大树顶端的角为，然后沿在同一剖面的斜坡行走米至坡顶B处后沿水平方向行走6米大脚底点处面的或坡比=12.4么大树CD的高度约参数据36°36°≈0.8136°）（）A．米

B．米

C．19.7米

D．米【分析⊥于FFE米=BFx米=2.4米eq\o\ac(△,)中勾股定理得出方程方程求出DEBF=5米AF米AE的度eq\o\ac(△,)ACE中，由三角函数求出CE即可得出结果．【解答】解：作BFAE于F，如图所示：则FE米DEBF，∵面的度i：2.4，∴=2.4BF，设BFx米则AF米在eq\o\ac(△,)ABF中由勾股理得+2.4x）=13，解得：，∴DE=米AF米∴+FE米，在eq\o\ac(△,)ACE中，CE=18×0.73=13.14米∴CD﹣DE米﹣5米8.1米；故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数股定理得出方程是解决问题的关键．

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欢迎下载（2016·浙省绍兴市分如图，在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)中∠=90°=30°以点A为心，BC长半径画弧交于D，别以点AD为心AB长为半径画弧，弧交于点，连接，，则的弦是（）A

B

C．

D【考点】解直角三角形．【分析BC=由含角的直角三角形的性质得出ACx出=

=x，根据题意得出AD=BC，AE=AB=

x，作EMADM由等腰三角形的性质得出AM=AD=，在eq\o\ac(△,)，由三角函数的定义即可得出结果．【解答】解：如图所示：设=x，∵eq\o\ac(△,)ABC中，∠B=90°，∠=30°∴AC=2x，=BC，根据题意得=，DE=作⊥AD于M则=AD=，

x，在eq\o\ac(△,)AEM中cos=故选：．

==

；（2016·重市卷4分如所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米旗杆，从办公楼顶端A得旗杆顶端的俯角45°杆底端D到楼前梯坎底边的距离DC

222学习必备222是米，梯坎坡长BC是，梯坎坡度i：

欢迎下载，则大楼的度约为（）（精确到0.1米参考数据：

≈1.41，

，

≈2.45）A．B．D【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题．【分析延交DC于H，⊥于，GH=DE米=DH设BH=x米则CHx米在eq\o\ac(△,)中，BC=12米由勾股定理出方程，解方程求出BH=6米CH米EG的度eq\o\ac(△,)是腰直角三角形==6即可得出大楼AB的高度．【解答】解：延长交DCH，⊥AB于，如图所示：则==15米，EG=，

米∵坎坡度i=1：∴BHCH：

，，设BH=x米则=

x米在eq\o\ac(△,)中=12米由勾股定理得：（

x），解得：，米，CH=6

米，∴=GH﹣﹣（米）EGDHCH+=6∵∠=45°，∴∠=90°﹣，∴△是腰直角三角形，∴=EG=6+20米），

+20（米），∴+=6故选：D

+20+9米）；

学习必备

欢迎下载【点评本题考查了解直角三角的应用﹣坡度角问题通过作辅助线运用勾股定理求出BH得出EG是解决问题的关键．二填空题．（山东省菏泽市）如图，在正方形ABCD外等腰直eq\o\ac(△,)CDE，接BE，则tan∠=

．【考点】正方形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形．【专题】计算题．【分析】作⊥于，图，设=a根据等腰直角三角形的性质得CD==∠，再利用正方形的性质得CBCD=

aBCD，着判eq\o\ac(△,)CEF为腰直角三角形得到=

=

a然后在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)中据正切的定义求解．【解答】解：作EFBC于F如图，设DE=CE=a∵△为等腰直角三角形，∴CDCEa，DCE，∵边形为方形，∴CBCD=a，∠，∴∠ECF，∴△CEF为腰直角三角形，∴=EF=CEa

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欢迎下载在eq\o\ac(△,Rt)BEF中∠EBF===，即∠EBC．故答案为．【点评】本题考查了正方形的性质方形的四条边都相等四个角都是直角；正方形的两条对角线相等互垂直平分并每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了等腰直角三角形的性质．2016·北荆州分全球最大的关公像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上处得塑像底部B处俯角为18°48测塑像顶部A处仰角为45°点D在测点C正方城墙底的地面上，若=10米则此塑像的高约为米参考数据：78°12【分析】直接利用锐角三角函数系得出的，进而得出AE的长，进而得出答案．【解答】解：如图所示：由题意得：CEAB于，=DC∵∠ECB=18°48，∴∠EBC=78°12，则tan78°12

==4.8，解得：EC=48（∵∠AEC=45°，则=EC，且DC，∴此塑像的高AB约为AE=58米

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欢迎下载故答案为：．【点评】此题主要考查了解直角角形的应用，根据题意得出的是解题关键．三解答题（2016·湖随8）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°山高尺，组员从山脚D沿山坡向着雕像方向前进尺到达E点在点E处得雕像顶端的仰角为60°，求雕像AB的高度．【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题．【分析】构造直角三角形，利用角三角函数，进行简单计算即可．【解答】解：如图，过点E作EF⊥，⊥CD在eq\o\ac(△,Rt)DEG中，∵DE，D=30°，∴=∠=1620×，∵BC，=，

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欢迎下载∴﹣，在eq\o\ac(△,)BEF中∠=

，∴=，在eq\o\ac(△,)AEF中，∠=60°，设=，∵tan∠AEF=

，∴×tan∠AEF∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，答：雕像的度为尺．（2016·吉7）如图，某飞机于空中处测到目标C此时飞行高度ACm从飞机上看地平面指挥台的俯角=43°求飞机与指挥台的离（结果取整数）（参考数据sin43°=0.68，43°=0.73，tan）【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题．【分析】先利用平行线的性质得∠==43°，然后利用∠B正弦计算AB的．【解答】解：如图，∠Bα=43°，在eq\o\ac(△,)ABC中，∵sinB

，∴=

（m答：飞机A与挥台B的距离为1765m（2016·江8）如图1是副创意卡通圆规，图2是平面示意图，OA是撑臂，OB是转，使用时，以点为撑点，铅笔芯端点可点A旋作出圆．已知OA=．（1当∠=18°时，求所作圆的半径果确到）

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欢迎下载（2保∠=18°不变，在旋转臂端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度精确到0.01cm）（参考数据sin9°，9°，18°≈0.3090cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）【考点】解直角三角形的应用．【分析）据题意作辅助线⊥AB于C，根据OAOB，OCB=90°，∠AOB，以求得∠BOC的数，从而可以求AB的长；（2由题意可知，作出的圆与）中所作圆的大小相等，则AE=，然后作出相应的辅助线，画出图形，从而可以求得BE的，本题得以解决．【解答】解）作⊥AB于点C，如图所，由题意可得OB，∠=90°，∠AOB，∴∠=9°∴OB9°≈2×10×0.1564cm，即所作圆的半径约为3.13；（2作⊥OB于D作AE=，如下图3所，∵持∠=18°不变，在旋转臂端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与1中所作圆的大小相等，∴断的部分为BE，∵∠=18°，=OB，∠ODA，∴∠=81°，∠=72°，

学习必备∴∠BAD=9°∴•sin≈2×3.13×0.1564cm即铅笔芯折断部分的长度是cm．

欢迎下载（2016·辽丹东分某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物B的度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物方向前进6到达D处，测得仰角为64°，求建筑的高度角的高度忽略不计，结果精确到米（参考数据sin≈

，48°≈

，sin64°≈

，tan）【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题．【分析】eq\o\ac(△,)中用AB表出、eq\o\ac(△,)用表出BC根据CD=﹣得关于AB的程，解方程可得．【解答】解：根据题意，得∠ADB，∠ACB在eq\o\ac(△,)中tan64°=

，则BD=

≈AB，在eq\o\ac(△,)ACB中=

，则CB∴CD﹣

≈

AB，

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欢迎下载即6=﹣解得：=

米∴建筑物的高度约为14.7米（四川宜宾）如图，CD是一高为米台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶点的仰角=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E在处测得树顶A点的仰角=60°求树高（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-角角问题．【分析】作CF⊥AB于点，设AF=x米，在直角中利用三角函数用x表示出CF的长，在直角中表示出BE的长，然后根据CF﹣DE即可列方程求得的值，进而求得的长．【解答】解：作CF⊥于点，设AFx米，在ACF中，∠ACF=

，则CF==

=x，在直角ABE中，AB=x（米在直角ABF中，∠AEB=

，则===

（x+4）米．，∵﹣BE=DE即解得：x=

x﹣

（x．则AB=

（米答：树高AB是

米．

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欢迎下载（2016·湖黄石8分如图，为测量一座山峰CF的度，将此山的某山坡划分为和两每一段山坡近似是直的得长AB米=200米角∠=30°，∠CBE．（1求段山坡的高度EF；（2求山峰的高度CF

1.414，结精确到）【分析）⊥AF于H如图，在eq\o\ac(△,)中据正弦的定义可计算出BH的，从而得到长；（2先在eq\o\ac(△,)CBE利用正弦计算出CE然后计算CEEF的即可．【解答】解）作BH于H，图，在eq\o\ac(△,)ABF中∵sinBAH∴BHsin30°=400∴m；

，（2在eq\o\ac(△,)，∠CBE

，∴CE•sin

≈141.4，∴=+EF≈541（m答：段坡高度为400，山的度为米．

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欢迎下载【点评题查了解直角三角的应用﹣坡度与坡角问题度是坡面的铅直高度h和平宽度l的，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表，常写成i=1的式面与水平面的夹角α叫坡角i与角α之的关系为．．湖北荆分如，天星山山脚下西端A与东端B处相距（1+

）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶匀行走知的西端的坡角是45°端的坡角是30°，小军的行走速度为速度是多少？

米秒．若小明与小军同时到达山顶处，则小明的行走【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题．【分析】过点C作⊥于D，AD米，小的行走速度是/，根据直角三角形的性质用表出与BC的据明与小军同时到达山顶C处可得出结论．【解答】解：过点作⊥AB点D，AD米小明的行走速度是a米/秒，∵∠A=45°，CD⊥AB∴AD=CD米∴AC=．在eq\o\ac(△,Rt)BCD中∵∠B=30°，∴BC==2x，∵军的行走速度为

米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，∴

=

，解得a=1米/．答：小明的行走速度是1米秒．

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欢迎下载8.（四内）分如图8禁渔期间，我渔政船在处现正北方向B有一艘可疑船只，测得，两处距离为200海，可疑船只正沿南偏东方向航行．我渔政船迅速沿北偏东方向前去拦截经历小时刚好在处可疑船只拦截求该可疑船只航行的平均速度结果保留根号)北

北B

B45

°

45

°C

H

C30

°

30

°A

A图

答案图[考点三角函数、解决实际问题。解：如图，过点作⊥AB于Heq\o\ac(△,则)BCH是腰直角角形．设CH，则BH＝，＝tan30°＝3x．······························································2分∵＝200∴＋3x＝200．∴x＝＝100(．·········································································1∴BCx＝100(6－2)．······································································6分∵两船行驶时相遇，∴可疑船只航行的平均速度＝6－＝

2．························8分答：可疑船只航行的平均速度是每小时45(

海里．·······························四川泸州如图为了测量出楼AC的高度从离楼底C处60米的点（点D与楼底在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：

的斜坡DB前进米到达点B，点B处测得楼顶A的仰角为53°，楼房AC的高度（参考数据：53°≈0.8，53°≈0.6，53°示，不取近似值

，计算结果用根号表

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欢迎下载【考点解直角三角形的应用-

仰角俯角问题；直角三角形的应用-

坡度坡角问题．【分析如图作BNCD于NBM⊥于先在RTBDN中求出线段，在RT中求出AM，再证明四边形是矩形，得BN即可解决问题．【解答】解：如图作⊥CD于，BM⊥AC于．在RTBDN中，BD，：ND：

，，∴BN，DN=15∵∠C=∠CMB∠CNB=90°，∴四边形是矩形，∴CMBM，BM=CN=60，在RT中，tan∠=∴AM=27．∴ACAM+

﹣15=，

，10.（2016·云南省昆明）如图，大楼AB侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端处得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端的角为（点BCE同一水平直线上知，障碍物B两间的距离（结果精确到0.1考据：

≈1.414，

≈1.732）

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欢迎下载【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题．【分析】如图，过点DDFAB于，点C作⊥于．过解直eq\o\ac(△,)AFD得到DF的度；通过解直eq\o\ac(△,)DCE得到CE的长度，则BC﹣CE【解答】解：如图，过点作DF⊥AB于，过点C作CH⊥DF于点H则DE=BFCH=10m在直eq\o\ac(△,)ADF中，∵=80﹣，，∴DF=AF=70m．在直eq\o\ac(△,)CDE中，∵=10m，∠=30°∴CE==10∴BCBE﹣=70﹣

（≈70﹣m答：障碍物，两间的距离约为．11.（浙省绍兴）如图1某会实践活动小组实地测量岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点在北偏东45°方向，然向西走60m到达C点测得点在的偏东方向，如图2（1求∠度数．（2求出这段河的宽（结果精确到1m备数据

≈1.41，

≈1.73

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欢迎下载【考点】解直角三角形的应用方向角问题．【分析）据三角形的外角的性质、结合题意计算即可；（2作⊥交CA的长线于D，设BD=xm，根据正切的定义用表出、AD根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解）由题意得，∠BAD，BCA=30°∴∠CBA=∠BAD﹣∠=15°；（2作⊥交CA的长线于D，设BD=xm，∵∠BCA=30°，∴CD∵∠BAD，∴AD=BD=，

=x则

x﹣x，解得x=

，答：这段河的宽约为82m12海南）如图，在大楼的前方有一斜CD米坡∠DCE=30°，小红在斜坡下的点处得楼顶仰角为坡上的点D处测得楼顶的仰角为，其中点A、C、E在一直线上．（1求斜坡高度DE（2求大楼AB的度（结果保留根号）

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欢迎下载【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题；解直角三角形的应坡度坡问题．【专题】应用题；解直角三角形及其应用．【分析）直角三角形中利用锐角三角函数定义求出DE的即；（2过D作DF垂于AB，交AB点，得出三角形BDF为腰直角三角形，设DF，表示出BCBD，由题意得到三角形为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的程，求方程的解得到x的，即可确定出AB的．【解答】解）在eq\o\ac(△,)中，DC=4米，∠DCE=30°∠DEC=90°∴DEDC=2米（2过D作DFAB交AB于，∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，∴∠BFD=45°，eq\o\ac(△,)为腰角三角形，设BFDF=x米∵四边形DEAF矩形，∴米即=+2米，在eq\o\ac(△,)ABC中∠=30°，∴BC====x米DC，BD=∵∠=30°∠ACB，∴∠=90°在eq\o\ac(△,)中，根据勾股定理得2x=

米，

+16解得：则AB（6+

或x=4﹣，）米或（6

）米．

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欢迎下载【点评此题考查了解直角三角﹣仰角俯角问题度坡角问题熟练掌握勾股定理是解本题的关键．13（2016河）如图，小东在教学楼距地面米的窗口C处测得正前方杆顶部A点的仰角为，旗杆底部点俯角为，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少/秒的速度匀速上升？（参考数据37°≈0.60，37°，37°≈0.75）【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题．【分析】通过解直eq\o\ac(△,)BCD和eq\o\ac(△,)分求得BD、及AD的长度，则易得的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度，速度

”行解答即可．【解答】解：在eq\o\ac(△,)中，米∠，BD=CD=9米在eq\o\ac(△,)中=9，∠=37°，则AD=•tan37°≈9×0.75=6.75（）．所以，=+米整个过程中旗子上升高度是：﹣（米），因为耗时45，所以上升速度v==0.3米/秒）．答：国旗应以0.3米/的速度匀速上升．【点评题查了解直角三角的应用﹣仰角俯角问题决此类问题要了解角之间的关系找与已知和未知相关联的直角三角形图形中没有直角三角形时通过作高或垂线构造直角三角形另问题以个实际问题的形式给出时善于读懂题意把际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．2016·山省泽市分）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业渔船航行至B处得该岛位于正北方向（1+

海里的C处，为了防止某国还巡警干扰，就请求我A处鱼监船前往C处航，已知位处北偏东45°向上A位的北偏西30°的方上，求A之的距离．

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欢迎下载【考点】解直角三角形的应用方向角问题．【分析】作ADBC垂足为D，设CD=，利用解直角三角形的知识，可得出AD继而可得出BD结合题意BCCD+BD可出程，解出的后即可得出答案．【解答】解：如图，作AD，垂足为，由题意得，∠，ABD=30°设CD，在eq\o\ac(△,)中可得=，在eq\o\ac(△,)中可得BD

x，又∵BC=20（1+即xx=20（1+解得：，

），CD+BD，），∴AC==20

（海里）．答：A、之间的距离为

海里．【点评此题考查了解直角三角的应用答本