平面向量的线性运算提高

量－b的和的运算ab的差λλ>0时，λa的方向与aλ<0时，λaa的方向相λ＝0b|ab|2|ab|22(|a|2|b|2b3、向量a(a0与向量b共线的充要条件为存在唯一一个实数A、B、CABACAB=ACAB与AC共线即可。NCD＝3CN,

OM=OB+BM1a5

.MN=ON-OM1a1 OM=OB+BM1a5b CN1CD,ON4CD2 MN=ON-OM1a1 【难度】

→ 【答案】【解析】由

2OA＋OB＋OC＝0可知，OBCAD的中点，故【难度系数】DABCBCP满足→＋→

→＝→则实数λ的值 【答案】-

【解析】如图所示，由→＝，且→＋→＝0PAB、AC第四个顶点，因此→＝－【难度系数】【题目】如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么→等于 1→1 1→1 1→1 1→2【答案】【解析】在△CEF中，有→＝

EDC的中点，所以→1FBC的一个三等分点，所以→2所以→1→2→1→21→2【难度系数】ab(1)若＝a＋b＝2a＋8b＝3(a－b)，求证：A、B、D(2)kka＋ba＋kb ∵→＝a＋b，→＝2a＋8b，→ ∴ ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝∴→

∴A、B、D(2) ∵→＝a＋b，→＝2a＋8b，→ ∴ ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝∴→

∴A、B、D(2)解∵ka＋ba＋kb∴λka＋b＝λ(a＋kb)，∵a、b【难度系数】

1→，

1，ADBCM，设＝a＝b.ab

【答案】 OM＝7【解析 设→则 →1 [3分又∵A、M、D三点共线，与 ∴t，使得＝ 1即

[5分1

t即 ①[7分又＝

1又∵C、M、B三点共线，∴→与→共线 [10分 t∴t1，使得＝1t

∴ ∴

得 由①②得 ＝7，＝7，∴OM＝7【难度系数】(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如→ABCDAB∥CD；若→AB、C

【题目】已知→＝a＋2b，→＝－5a＋6b，→＝7a－2b，则下列一定共线的三点是 B．A、B、C．B、C、 【答案】【解析】

BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB⇒BD∥AB⇒A、B、D【难度系数】

→

【解析 由已知条件得→＋→＝－ AMBCDDBCBMACECMABF点，同E、FAC、ABM为△ABC的重心．→2→1

【难度系数】【题目】已知点O为△ABC外接圆的圆心，且→＋→＋→＝0，则△ABC的内角A等于 【答案】【解析】由＝0O为△ABCO为△ABC∴△ABC【难度系数】e1，e2→＝3(e1＋e2)＝e2－e1＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号

→ b＝λa(a≠0)A，C，Dλ【难度系数】

→，M为BC的中点，则→ .(用a，b表示

【答案】【解析】由＝得

3→

1 ＝4(a＋b)－【难度系数】【题目】在△ABCDAB边上一点，若＝

1→

→，则

【答案】3【解析】由图知＝ 且 ①＋②×2

→＝→＋→ ∴→1→2 【难度系数】【题目】如图所示，在△ABC中，D、FBC、AC→2→＝a (1)a、b表示向量→→→→；(2)求证：B，E，F【答案】→1→→2→ →1→→→→ →→→ (2)证明由(1)可知→2→，BB，E，F 延长AD到G，使→＝1→ →1→→2→ →1→→→→ →→→ (2)证明由(1)可知→2→，BB，E，F【难度系数】 1

2

λ

1＝－

2＝，636

2＝2【难度系数】 【答案】【解析】选 由题图可得a－b＝BA【难度系数】1

3

表示向量 【答案 3【解析】OC＝OBBC＝OB＋2BA＝OB＋2(OAOB3＝2OA－OB3＝OC－OD＝OC3

5【难度系数】【题目】O是平面上一定点，A，B，CP满足＝

→＋→＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的 外 B．垂

→BC

→PBC边的中线上，∴P的轨迹一定通过【难度系数】a，bOA＝aOB＝bOC＝cOD＝dOE＝et∈R＝t(a＋b)tC，D，Et【答案】

k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得a，b不共线，所以有6故存在实数 C，D，E三点在一条直线上【难度系数】N、C三点共线 在△ABD中因为＝a,＝b，所以又∵C，∴M、N、C 在△ABD中因为＝a,＝b，所以又∵C，∴M、N、C【难度系数】i，jOx，Oy正方向上的单位向量，且OA＝－2i＋mjOB＝ni＋j＝5i－jA，B，Cm＝2nm，n

【答案】

或

→ AB＝OBOABC＝OC－OBA，B，CABBCAB＝λBC

解得

或

【难度系数】【题目】如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点， xAB

x·yAC， 的值为AC， 的值为 12 2【答案】【解析】选 (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面BC的直线，易得x·y yx＋y【难度系数】【题目】若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为 【答案】【解析】CABD，5AM＝AB＋3AC，得3AM－3AC＝2AD－2 即3CM＝2MD，如图所示，故C，M，D三点共线，且

，也就是△ABM与△ABC对于边 ABM与5ABC的面积比为5【难度系数】【题目】在ΔABCAD2ABDEBC交AC于E,BC边上的中线AM交DE于N3

BCACBCACABba.DE2BC2(ba)DN1DE1(bAMABAMABBMa1BCa1(ba)1(a

2AB2ABAD,DB1AB1BD1AB1a.DEBCADE∽ΔABC，ΔADN∽ΔABM BCACABba.ΔADE∽ΔABCDE2BC2(baAMΔABCDE//BC DEN，DN1DE1(ba).AMABBMa1BCa1(ba1(a 【难度系数】【题目】在ΔOAB

。

BACBACAC=