有理数的基本概念

有理数的基本概念一、考点突破正数、负数的概念；能应用正数、负数表示实际生活中具有相反意义的量。掌握有理数的分类方法，建立初步的分类讨论的思想。数轴上的点与有理数的关系。掌握求一个数的相反数的方法，根据相反数的概念进行多重符号的化简。利用绝对值比较两个负数的大小，绝对值的求法以及利用绝对值的非负性进行解题。二、重点、难点提示重点：正确理解负数的概念，会判断一个数是正数还是负数；两个负数的大小的比较难点：有理数按一定的标准进行分类；两个负数大小的比较；多重符号的化简；绝对值的非负性的应用。能力提升类例1若a为最小正整数，b为a的相反数的倒数，c为绝对值最小的数，求代数式2010(a+b)+2011c的值.一点通：最小的正整数为1，1的相反数为-1，-1的倒数为-1，绝对值最小的数为0.解：Ta为最小正整数，・・・a=1,Vb为a的相反数的倒数，.:b=-1,・.a+b=0,Tc为绝对值最小的数，・c=0，A2010(a+b)+2011c=0点评：明确最小正整数的值，互为相反数、互为倒数的关系，绝对值最小的数的值。例2比较一8与一9的大小。89一点通：比较两个数的大小，应考虑：①作差法;解：解法一：作差比较。8 78一点通：比较两个数的大小，应考虑：①作差法;解：解法一：作差比较。8 78———(——)=— 1 =\o"CurrentDocument"9 89②作商法；③绝对值大小的比较.1>07278——>——8 9解法二：把分母化为相同7 7 63«i解法二：把分母化为相同7 7 63«i |=—=一8' 8 72，\o"CurrentDocument"63 64 7又V—V—，\o"CurrentDocument"72 7298-->--8一6472?解法三：把分子化为相同。7. 7 5664解法三：把分子化为相同。7. 7 5664，7-->--一78 56885656又V—v—，.:64 637解法四：丨一§丨：8\o"CurrentDocument"8 63V =—VI\o"CurrentDocument"9 649978v—，8 963点评：：匕较几个负数的大小，一般先求它们的绝对值，再把这几个数用小数或同分母(或同分子)的数来表示，用小数或分数比较大小的方法进行比较，最后用“两个负数相比较,绝对值大的反而小”作出结论。

综合运用类例3已知有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列选项正确的是（）A.ab>0B.IaI>IbIC.a—b>0 D.a+b>0b-1 0a1一点通：由图上a,b的位置不难看出Ovavl,b<—1,且丨aI<IbI，可推出以上结论中正确的只有a－b>0.答案：C点评：采用数形结合的思想，根据有理数a、b在数轴上的位置，从而确定代数式的符号是解决本题的关键。例4a、b、c三数在数轴上的位置如图所示，其中lal=lcl.化简式子：辺+£+□+lal-lclabc一点通：此题一方面考查学生的识图能力，另一方面考查学生对数轴、绝对值的理解，旨在考查知识的综合应用。解：由图可知：a，bvO，c>0，则由绝对值定义可得：原式='+迪+C+lal-lcl=-1-1+1=-1abc点评：釆用数形结合的思想，根据有理数a、b在数轴上的位置，从而确定其去绝对值后的符号是解决本题的关键。lallbllcl变式题：求——+ +的值。abc一点通：分类讨论.①a、b、c同为正数时；②a、b、c同为负数时；③a、b、c两正一负数时；④a、b、c两负一正数时。（另a、b、c作为分母，不能等于0）c>0时，c>0时，！allblblcl+cabc=+—+—abca■+lallbllcl-a-b-c++++一-abcabc②aVO、bVO、cVO时,解：讨论①a>0、b>0、3；③a③a、b、c两正一负数时;=1+1+(-1)=1；c④a、b、c两负一正数时;W+型+□=1+(-1)+④a、b、c两负一正数时;点评：采用分类讨论的思想，当a、b、c是未知的正负数时，应分类讨论。例5已知IxI=2,|y|=3，且xvy,求x、y的值.一点通：IxI=2,x的值有两个数：+2或一2；IyI=3,y的值有两个数：+3或一3；由xvy确定x、y的值.解：因为IxI=2，IyI=3,所以x=2或—2，y=3或—3，因为xvy所以x=2,y=3或x=—2,y=3。点评：利用绝对值的定义求x、y的值。思维拓展类例6a、b、c三数在数轴上的位置如图所示，其中lal=lcl,化简式子：lb-al+lc-al-lb+cl

一点通：此题是例4的变形，旨在进一步学习绝对值的化简，进一步熟悉运用相反数的概念去括号。解：原式=-(b-a)+(c-a)-[-(b+c)]=-b+a+c-a+b+c=2c点评：含绝对值式子的化简1^1='0(^=0)或仪卜例7已知la+2l+lb-3l=0,求a和b的值。一点通：由绝对值的非负性可知，la+2|^0,lb-3|30,而且只有当la+21和lb-3l都等于0时，la+2l+lb-3l=0才成立，因为只有0的绝对值等于0,所以a=-2,b=3。解：•・Ta+2l+lb-3l=0,又Vla+2|>0,lb-3|>0,・•・la+2l=0,lb-3l=0。a+2=0,b-3=0。a=-2,b=3o点评：利用绝对值的非负性，两个非负数之和为零，那么这两个非负数分别为零，求a、b的值。m例8已知m,n均不为零且互为相反数,a,b+2互为倒数,求值：2m+2n+a(b+2)-•n一点通：此题旨在考查相反数的概念及其运用,要学会数学化的思维转换,如条件中给出的“m,n均不为零且互为相反数”就说明“m+n=0”；“a,b+2互为倒数”说明“a(b+2)=1”。m解：原式=2(m+n)+a(b+2)- =0+1-(-1)=2解：n点评：互为相反数和互为倒数的关系。方法总结正确理解正数和负数的概念,不能简单地理解成带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数；特别是含有字母的数a,它可以表示不同的数。容易因对绝对值的性质不理解而出错，特别是：当a<0时，丨a丨=-a，这里的-a是正数而不是负数；正数和0的绝对值等于它的本身。正确掌握两个负数的大小比较,可以先化为绝对值再比较大小。建立分类讨论的思想、数形结合的思想解题.易错题问题：2a一定大于-2a?一点通：采用分类讨论的思想，分别讨论a>0,a=0,a<0三种情况.解：当a>0时，2a>-2a;当a=0时，2a=-2a;当a<0时，2aV-2a;点评：由于a可能是正数，也可能是负数或0,所以分三种情况进行讨论。练习(答题时间：45分钟)、选择题已知la+bl=lal+lbl，此时 ()A.异号或ab=0B.必为异号 C.同号或至少有一个为零D.必须同号当a<0时，3a+4lal等于()A.7a B.aC.－7a D.－a

3.如果是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是最小的自然数，那么a+b+c等于（）A.-24.如果于()A.9B.-1C.0D.1表示有理数，且 满足条件lxl_5，Iy=2，Ix-y=y-x，那么等B.－1 C.－1或－9 D.－9、填空题TOC\o"1-5"\h\z如果收入15・元记作+・15・元，•那么支出20・元记作 元。-a的相反数是 ，p-3的相反数是 。已知|m|=6,|n|=2，|m-n|=n-m,贝Vm+n= 。在数轴上，与表示-5的点距离3个单位长度的点所表示的数是 。a2-b2 b已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，那么 cd+—= a2+b2 a10.某摩托车厂本周计划每日生产250辆摩托车.由于2人实行轮休，每日上班的人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的辆数为正数，•减少的辆数为负数： 星期-一一二三四五六日增减-5+7-3+4+10-9-25根据记录可知，本周星期六生产了 辆摩托车；本周总生产量与计划生产量相比增减数为 辆；产量最多的一天比产量最少的一天多生产了 辆。三、简答题某商店一周的收入、支出情况如下表日期-一一二三四五六日支出（万元）1.80.82.5收入（万元）21.512运用你学过的知识，给商店简单低地记一笔账。一种商品的标准价格是200元，但随着季节