热工控制系统第四章第三讲

热工控制系统第四章第三讲第一页，共三十页，2022年，8月28日第四节用根轨迹分析控制系统我们知道，闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布，其它性能取决于其零极点分布。因此，可以用系统的零极点分布来间接地研究控制系统的性能。W.R.伊文思提出了一种在复平面上由开环零极点确定闭环零极点的图解方法—根轨迹法。将系统的某一个参数（比如开环放大系数）的全部值与闭环特征根的关系表示在一张图上。利用根轨迹法，可以：分析系统的性能确定系统的结构和参数校正装置的综合4.1概述第二页，共三十页，2022年，8月28日4.2根轨迹概念所谓根轨迹，是指当系统中一个或几个参量变化时，闭环特征根在S平面上运动形成的轨迹。例：如图所示二阶系统，-系统开环传递函数为：

闭环传递函数：特征方程为：特征根为：第三页，共三十页，2022年，8月28日[讨论]：①当K=0时，s1=0,s2=-2,是开环传递函数的极点②当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6③当K=0.5时，s1=-1,s2=-1④当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j⑤当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j⑥当K=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j第四页，共三十页，2022年，8月28日系统的结构图如下：-将写成以下标准型，得：式中：kg为传递函数，或称为根轨迹增益；Zi，Pj为开环零极点。闭环传递函数为:开环传递函数为：第五页，共三十页，2022年，8月28日闭环传递函数的极点就是闭环特征方程：的根。换句话说，满足或的点就是闭环系统的极点，就是闭环特征方程的根

称或为根轨迹方程。第六页，共三十页，2022年，8月28日上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。[一些约定]：在根轨迹图中，“”表示开环极点，“”表示开环有限值零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的方向。“”表示根轨迹上的点。我们先以根轨迹增益（当然也可以用其它变量）作为变化量来讨论根轨迹。由于是复数，上式可写成或=±(2q+1)π

q=0,1,2,…第七页，共三十页，2022年，8月28日[例4-1]如图二阶系统，当Kg从0→∞时绘制系统的根轨迹。-[解]闭环传递函数：特征方程和特征根：[讨论]：2341第八页，共三十页，2022年，8月28日[总结]当从0变化到时，系统的根轨迹是连续的。的点称为起点， 的点称为终点。本例中有两个分支，终点都在无穷远处。这里是用解析法画出的根轨迹，但对于高阶系统，求根困难，需用图解法画图。复平面上满足相角条件的点应在根轨迹上。上例中，A点在根轨迹上吗？向量s和s+1的相角分别为根据相角条件(试探法)：显然，只有三角形OAB是等腰三角形时，，A点在根轨迹上。点显然不在根轨迹上。第九页，共三十页，2022年，8月28日[定义]：满足相角条件的点连成的曲线称为180度等相角根轨迹。同样，满足幅值条件的点连成的曲线称为等增益根轨迹（它是在某一增益的情况下绘制的）。180度等相角根轨迹和等增益根轨迹是正交的，其交点满足根轨迹方程，每一点对应一个。由于180度等相角根轨迹上的任意一点都可通过幅值条件计算出相应的值，所以直接称180度等相角根轨迹为根轨迹。在根轨迹上的已知点求该点的值的例子。上例中，若A点的坐标是0.5+j2，则根据幅值条件：第十页，共三十页，2022年，8月28日4.3绘制根轨迹的基本规则

（伊万斯）提出了一套绘制根轨迹的规则。该规则以根轨迹增益K1为变量。规则1：根轨迹的分支数和对称性。根轨迹的分支数等于特征方程的阶数n；根轨迹对称于实轴。

规则2：根轨迹的起点与终点。

起始点：K1=0时的闭环极点，即系统的开环极点。起始点与终止点个数相等，均为n；终止点：（1）有限值终止点：当K1时，有m条分支趋向开环零点；（2）无限远终止点：n-m条分支趋向无穷远处,需要确定其方位和走向。

第十一页，共三十页，2022年，8月28日规则3:实轴上的根轨迹。实轴上某线段右边的实零点和实极点总数为奇数时，这些线段就是根轨迹的一部分。如图5-5所示。规则4:根轨迹的渐近线。当系统的根轨迹增益K1时，趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，它们趋向无穷远处的方位可由渐近线决定。（1）渐近线与实轴的倾角为：

（2）渐近线与实轴的交点坐标为：第十二页，共三十页，2022年，8月28日【例5-2】设闭环系统的特征方程为：S(S-1)(S＋2)＋K1＝0,当K1由0变化到时，试按一般步骤与规则绘制其根轨迹图。

解（1）本系统为3阶系统，有3条根轨迹；（2）求出系统开环传递函数的零、极点形式，得到：

（3）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环极点，分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。第十三页，共三十页，2022年，8月28日（4）渐近线：K1时，有3条根轨迹趋向无穷远处，其渐近线的倾角为

渐近线与实轴的交点坐标为

（5）实轴上的根轨迹：在S平面实轴上[0，-1]和[-，-2]

线段上存在根轨迹，根轨迹草图如图5-6所示

第十四页，共三十页，2022年，8月28日其中一条从p3=-2出发,随着K1的增加,沿着负实轴趋向无穷远处。另两条分支分别从p1=0和p2=-1出发,沿着负实轴向b点移动。当K1值达到某一数值时,这两条分支相交于实轴上的b点,这时系统处于临界阻尼状态。当K1继续增大时,这两条分支离开负实轴分别趋近-60o和-60o的渐近线,向无穷远处延伸。在Kb＜K1＜Kc时,系统处于欠阻尼状态,出现衰减振荡。而当K1＞Kc时,，系统成为不稳定状态。图5-6根轨迹图第十五页，共三十页，2022年，8月28日规则5：根轨迹的分离点、会合点和分离角。

上述方程是求取分离点或会合点的必要条件，是否确实为分离点或回合点，需要用相角条件进行判断。分离点或会合点可能在s平面上任何一点。【例5-3】求例5-2中分离点的坐标。解系统的特征方程为几条根轨迹在s平面上相遇后又分开的点称为根轨迹的分离点（或会合点）。分离点与会合点必须满足方程:

由此得：第十六页，共三十页，2022年，8月28日因分离点必定位于O-1之间的线段上,故可确定S1=-0.423为分离点。对高阶系统,一般不便求出分离点或会合点,此时可用图解法等求解。分离角：根轨迹离开重根点处的切线与实轴正方向的夹角被称为分离角,其计算公式为：求得两个解分别为s1=-0.423,s2=-1.577式中r为分离点处根轨迹的分支数。第十七页，共三十页，2022年，8月28日规则6：根轨迹的出射角和入射角。根轨迹从开环复数极点出发的角度称为出射角；进入开环复数零点的角度称为入射角。

如图5-8所示为已知系统开环零、极点分布，可说明出射角的求取。在根轨迹上靠近起点P1较远处取一点S1,显然满足相角条件，有

第十八页，共三十页，2022年，8月28日根据同样方法可求开环复数零点zk的入射角。当S1无限趋近于P1点时，(s1-p1)即为出射角。一般情况下，开环复数极点Pk的出射角为：规则7：根轨迹与虚轴的交点。在根轨迹与虚轴的交点处，存在系统的纯虚根。通常用以下两种根轨迹与虚轴交点。（1）劳斯判据法；（2）复数相等方法。第十九页，共三十页，2022年，8月28日【例5-4】已知系统开环传递函数为：试求系统根轨迹与虚轴的交点解求出系统闭环特征方程为（1）劳斯判据法；列出劳斯表若阵列中的S1和S0行等于零，则系统就处于稳定边界上，特征方程具有纯虚根，由此可得：K1=6时，s=j1.414;K1=0时，s=j0。

（2）复数相等方法

令系统特征方程中的s=j,令整理得到方程的实部和虚部分别为零，可得到相同的结果：即由第二十页，共三十页，2022年，8月28日得到：

K1=6时，s=j1.414;K1=0时，s=j0。规则8：闭环极点的和与积。根据代数方程的根与系数关系，当n>m时，有闭环极点之积：闭环极点之和：当n-m2时，有:

即闭环极点之和等于开环极点之和。第二十一页，共三十页，2022年，8月28日这表明在开环极点确定的情况下，随着K1的变化，若有一些闭环特征根增大，则另一些特征根必然减小。即一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行。【例5-5】已知反馈控制系统的开环传递函数为解按照以下步骤绘制系统的根轨迹：（1）开环极点为p1=0，p2=-3，p1=-1j,无开环零点；（2）根轨迹分支数n=4条；（3）在实轴上[-3，0]之间为根轨迹段；（4）渐近线,n-m=4条：，试绘制K1变化时的根轨迹。

第二十二页，共三十页，2022年，8月28日

（5）由特征方程求分离点解得s1=-2.3，s2,3=0.725j0.365。s1为分离点。分离角为90o。利用根轨迹的幅值条件可求得对应于分离点s1=-2.3的K1值为4.33。第二十三页，共三十页，2022年，8月28日

（6）求出射角根据对称性可知：p4=71.6令劳斯表中S1行的首项为零，求得K1=8.16。根据表令s=j，K1=8.16代入上式，求得=1.1。根轨迹的两条分支与虚轴交于=1.1j处，中S2行的系数写出辅助方程对应的K1=8.16，系统根轨迹如图5-9所示由特征方程并列出劳斯表：

（7）求根轨迹与虚轴的交点。第二十四页，共三十页，2022年，8月28日根轨迹绘制步骤：1确定根轨迹的分支数和对称性2确定根轨迹的起点与终点3确定实轴上的根轨迹4确定根轨迹的渐近线5确定根轨迹的分离点、会合点和分离角6确定根轨迹的出射角和入射角。7确定根轨迹与虚轴的交点第二十五页，共三十页，2022年，8月28日【例5-6】已知系统的开环传递函数如下，试绘制闭环系统的根轨迹。

根据上述规则，可以简便地绘制系统根轨迹的大致图形。当需要比较准确地确定某些局部图形时，可用相角条件逐点绘出。当K1值满足幅值条件时，对应的根轨迹上的点，就是闭环极点。解：从开环传递函数公式中求出开环极点：

p1=0，p2=-4，

p3,4=-2j4

（1）根轨迹分支数n=4条。第二十六页，共三十页，2022年，8月28日（4）出射角为

由对称性知p4=90

度（5）求分离点。由特征方程图5-10系统根轨迹图（2）实轴上［-4，0］区间为根轨迹段。（3）渐近线