特殊函数的应用及证明题

特殊函数的应用及证明题第一页，共二十三页，2022年，8月28日（2011•盐城）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？

（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）第二页，共二十三页，2022年，8月28日∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，∵CM⊥MB，即三角形CMB为直角三角形，∴sin30°==，在直角三角形ABF中，sin60°=，∴=，解得：BF=20，又∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，∴四边形BFDM为矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20+2≈51.6cm．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm第三页，共二十三页，2022年，8月28日一幢房屋的侧面外墙壁的形状如图所示，它由等腰三角形OCD和矩形ABCD组成，∠OCD=25°，外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块的形状是四边形EFGH，测得FG∥EH，GH=2.6m，∠FGB=65°。

（1）求证：GF⊥OC；

（2）求EF的长（结果精确到0.1m）。

（参考数据：sin25°=cos65°≈0.42，cos25°=sin65°≈0.91）第四页，共二十三页，2022年，8月28日（1）在四边形BCFG中，∠GFC=360°-90°-65°-（90°+25°）=90°则GF⊥OC（2）如图，作FM∥GH交EH与M，则有平行四边形FGHM,∴FM=GH=2.6m，∠EFM=25°∵FG∥EH，GF⊥OC∴EH⊥OC在Rt△EFM中：EF=FM·cos25°≈2.6×0.91=2.4m第五页，共二十三页，2022年，8月28日（2011•淮安）图1为平地上一幢建筑物与铁塔图，图2为其示意图．建筑物AB与铁塔CD都垂直于地面，BD=30m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为60°．求铁塔CD的高度．第六页，共二十三页，2022年，8月28日∵BD=30m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为60°，∴AB=BD=DE=AE=30，∴tan60°==，∴CE=30，∴铁塔CD的高度为：30+30≈82米，答：铁塔CD的高度为82米．第七页，共二十三页，2022年，8月28日如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．

（1）若AC=6，AB=10，求⊙O的半径；

（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．第八页，共二十三页，2022年，8月28日（1）连接OD．设⊙O的半径为r．∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC．∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC．∴=，即10r=6（10﹣r）．解得r=，∴⊙O的半径为．（2）四边形OFDE是菱形．∵四边形BDEF是平行四边形，∴∠DEF=∠B．∵∠DEF=∠DOB，∴∠B=∠DOB．∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB=60°．∵DE∥AB，∴∠ODE=60°∵OD=OE∴OD=DE．∵OD=OF，∴DE=OF．∴四边形OFDE是平行四边形．∵OE=OF，∴平行四边形OFDE是菱形．第九页，共二十三页，2022年，8月28日如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F。（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由。第十页，共二十三页，2022年，8月28日（1）△ABC∽△FOA，理由如下：

在矩形ABCD中：∠BAC+∠BCA=90°

∵直线l垂直平分线段AC

∴∠OFC+∠BCA=90°

∴∠BAC=∠OFC

又∵∠ABC=∠FOC=90°

∴△ABC∽△FOA

（2）四边形AFCE为菱形，理由如下：

∵AE∥FC

∴△AOE∽△COF

则OE:OF=OA:OC=1:1

∴OE=OF

∴AC与EF互相垂直平分

则四边形AFCE为菱形。第十一页，共二十三页，2022年，8月28日如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N。

（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？

（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径。第十二页，共二十三页，2022年，8月28日（1）点N是线段BC的中点，理由如下：

∵AD与小圆相切于点M

∴ON⊥AD

又∵AD∥BC

∴ON⊥BC

∴点N是线段BC的中点

（2）连接OB,设小圆的半径为r，

则ON=r+5,OB=r+6,且BN=5

在Rt△OBN中：

5²+(r+5)²=(r+6)²

解得：r=7cm第十三页，共二十三页，2022年，8月28日在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。

（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；

（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；yBAOCDPx（第28题图）

（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由。yBAOCDPx（第28题图）第十四页，共二十三页，2022年，8月28日（1）当∠BAO=45°时，四边形OAPB为正方形

OA=OB=a·cos45°=a

∴P点坐标为（a，a）

（2）作DE⊥x轴于E,PF⊥x轴于F,

设A点坐标为（m,0）,B点坐标为（0,n）

∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°

∴∠DAE=∠ABO

在△AOB和△DEA中：

∴△AOB≌和△DEA（AAS）

∴AE=0B=n,DE=OA=m,

则D点坐标为（m+n,m）

∵点P为BD的中点，且B点坐标为（0,n）

∴P点坐标为（,）∴PF=OF=∴∠POF=45°,

∴OP平分∠AOB。即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

（3）当A,B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上运动时，设PF与PA的夹角为α，

则0°≤α＜45°

h=PF=PA·cosα=a·cosα

∵0°≤α＜45°∴＜cosα≤1

∴a＜h≤a第十五页，共二十三页，2022年，8月28日如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为ts．

⑴当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；

⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值

ABCPQO(第26题)第十六页，共二十三页，2022年，8月28日⑴直线与⊙P相切．

如图，过点P作PD⊥AB,垂足为D．

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵AC=6cm，BC=8cm，

∴．∵P为BC的中点，∴PB=4cm．

∵∠PDB＝∠ACB＝90°，∠PBD＝∠ABC．∴△PBD∽△ABC．

∴,即，∴PD=2.4(cm)．

当时，(cm)

∴，即圆心到直线的距离等于⊙P的半径．

∴直线与⊙P相切．

⑵∠ACB＝90°，∴AB为△ABC的外切圆的直径．∴．

连接OP．∵P为BC的中点，∴．

∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切．

∴或，∴=1或4．

∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．

第十七页，共二十三页，2022年，8月28日如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．

⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．

⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；

②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．BBBCCCAAADPE①②③(第27题)第十八页，共二十三页，2022年，8月28日⑴在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴，∴CD=BD．

∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．

∴E是△ABC的自相似点．

第十九页，共二十三页，2022年，8月28日⑵①作图略．作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．则P为△ABC的自相似点．②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴，．∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．∴．∴该