2023年高考一轮复习讲练宝典第8练 函数模型及其应用（解析版）（新高考）

2023年高考一轮复习讲练宝典

第8练函数模型及其应用

一、单选题

1.下列函数中，随着x（x>l）的增大，函数值的增长速度最快的是（）

A.y=81gxB.y=xsC.y=—D.y=9x8v

8

【答案】D

【详解】

当X>1时，指数函数增长最快，幕函数其次，对数函数最慢，故函数>=9x8,的增长速度最快.

故选：D.

2.声强级L（单位：dB）与声强/的函数关系式为：若女高音的声强级是75dB,普通

女性的声强级为45dB,则女高音声强是普通女性声强的（）

A.10倍B.100倍C.1000倍D.10000倍

【答案】c

【详解】

设女高音声强为乙，普通女性声强为八，则101g（虫）=75,所以缶=1。7,5①，1（）1g（余）=45,所

以备=1°”②，则①?②得：夕=100°，故女高音声强是普通女性声强的1000倍-

10，2

故选：c

3.新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定

点医院并开展检测工作的第〃天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t（n）（单位：小时:

大致服从的关系为《〃）=:

«），N。为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第

64天5）和第81天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时大致为

()

A.12小时B.11小时C.10小时D.9小时

【答案】B

【详解】

由第64天和第81天检测过程平均耗时均为8小时知，16<乂，

所以r-T=16,得，

64

=8得乂=64,

6464

所以当"=36时，^（36）=-^==—all,

故选：B.

4.药物在体内的转运及转化形成了药物的体内过程，从而产生了药物在不同器官、组织、体液间的浓度

随时间变化的动态过程，根据这种动态变化过程建立两者之间的函数关系，可以定量反映药物在体内的

动态变化，为临床制定和调整给药方案提供理论依据.经研究表明，大部分注射药物的血药浓度CQ）

（单位：〃g/ml）随时间，（单位：h）的变化规律可近似表示为C"尸「二”，其中C。表示第一次静脉

注射后人体内的初始血药浓度，&表示该药物在人体内的消除速率常数.已知某麻醉药的消除速率常数

々=0.5（单位：h-1）1某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进人麻醉状态，测得其血药浓度为4.5〃g/ml,

当患者清醒时测得其血药浓度为则该患者的麻醉时间约为Qn5=1.609）（）

A.3.5hB.3.2hC.2.2hD.0.8h

【答案】B

【详解】

由题意得，0.9=4.5摩“，即e""=g,

则0.5t=ln5,解得f=21n5k3.2.

故选：B

5.2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球中国

征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式小丁匕姑盟，

仍

其中△v为火箭的速度增量，匕为喷流相对于火箭的速度，人和町分别代表发动机开启和关闭时火箭的

质量，在未来，假设人类设计的某火箭匕达到5公里/秒蕾，从100提高到600,则速度增量△口增加的

百分比约为（）（参考数据：In2ao.7,In3al.1,In5al.6

A.15%B.30%C.35%D.39%

【答案】D

【详解】

由题意，当个-100时，速度的增量为钻=51nl00；

当£=200时，速度的增量为A%=51n600=51nl00+51n6,

A%351nl00+51n6-51nl00In6In2+ln3…

所以―1——L=--------------------=-----=-----------x39%

“'人AV,51nl00In1002（ln2+ln5）

故选：D.

6.2021年11月24日，贵阳市修文县发生了4.6级地震，所幸的是没有人员伤亡和较大财产损失，在抗

震分析中，某结构工程师提出：由于实测地震记录的缺乏，且考虑到强震记录数量的有限性和地震动的

不可重复性，在抗震分析中还需要人工合成符合某些指定统计特征的非平稳地震波时程，其中地震动时

7Y

—,o</„/）

程强度包络函数/（，）={1,tt,t2（单位：秒）分别为控制强震平稳段的首末时刻；〃（单

1

位：秒）表示地震动总持时；。是衰减因子，控制下降段衰减的快慢.在一次抗震分析中，地震动总持时

是20秒，控制强震平稳段的首末时刻分别是5秒和10秒，衰减因子是0.2,则当，=15秒时，地震动时程

强度包络函数值是（）

A.e-1B.1C.9D.e'2

【答案】A

【详解】

由题可知4=52=10,"20,c=0.2,

...当10</420时，忌而，

当f=15秒时，地震动时程强度包络函数值是f（15）=7缶y=-.

ce

故选：A.

7.中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各

种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数/CRF对计算度电成本具有重要影

响.等年值系数，CRF和设备寿命周期N具有如下函数关系/CRF=""D-,r为折现率，寿命周期为

（1+，）T

10年的设备的等年值系数约为0.13,则对于寿命周期约为20年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约

为（）

A.0.03B.0.05C.0.07D.0.08

【答案】D

【详解】

0.05(1+4°,13

由已知可得/I。。'=0/3,解得

(1+r)-1o

1

0.05(1+r)2(>20X

当N=20时，则X0+：工黑

故选：D.

8.医学上用基于SE/R流行病传播模型测算基本传染数凡(也叫基本再生数)来衡量传染性的强弱，基

本传染数可表示为凡=1+27；+2(1-0(/17；『.计算基本传染数凡需要确定的参数有：(1)参数入

0!1(")),即需要知道第一例病例发生的时间(确定起点以便计算力，以及之后某一时刻的累计病例

t

数y«),时间，的单位为天数；(2)参数T,和"：只要确定了潜伏期TE和传染期77,4和P就都确定了.

已知2022年2月15日某地发现首例A型传染性病例，到2022年3月28日累计A型传染性病例数达到

425例.取(=10,2=0.6,根据上面的公式计算这41天A型传染性基本传染数凡约为(注：参考数据:

In425a41x0.15)()

A.2.63B.2.78C.2.82D.3.04

【答案】D

【详解】

lnr41

由丫(41)=425,2=(())=Jn425a015(

4141

代入到凡的计算公式可以得到凡产1+0.15x10+0.6x(1—0.6)x(0.15x10)2=3.04.

故选：D.

9.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的

能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为1gE=4.8+l.5M,则下列说法正确的是()

A.地震释放的能量为104焦耳时，地震里氏震级约为七级

B.八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍

C.八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍

D.记地震里氏震级为〃"=1,2,9,10),地震释放的能量为劭，则数列伍〃)是等比数列

【答案】ACD

【详解】

对于A：当E=10⑸3时,由题意得lglC)g=4.8+1.5M,

解得M=7,即地震里氏震级约为七级，故A正确：

对于B：八级地震即M=8时，lgE,=4.8+1.5x8=16.8,解得骂=10不，

P1f)168

所以刍=—^=1(/5>10x6.3,

EIO'"

所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的102倍，故B错误；

对于C：六级地震即M=6时，1g£,=4.8+1.5x6=13.8,解得马=10’叫

即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C正确:

对于D：由题意得1g4=4.8+1.5〃(n=l,2,•••,9,10),

所以《=10"+5,所以”,1.8+1,55+1)_]06.3+1.5〃

〃+1

[06.3+1.5〃

所以*=潟而=10"，即数列｛a"｝是等比数列，故D正确；

anIU

故选：ACD

10.某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升

血液中的含药量y（微克）与时间，（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当每

毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（）

B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时

C.注射该药物9小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克

8

31

D.注射一次治疗该病的有效时间长度为5二时

32

【答案】AD

【详解】

4f（0,"<1）

由函数图象可知y=旧0丫-、（E，、，

当f=l时，y=4,即g尸=4,解得a=3,

•••y=\（1Y-3,,、，故A正确，

药物刚好起效的时间，当4r=0.125,即

药物刚好失效的时间（：尸=°」25,解得f=6,

131

故药物有效时长为6-记=5记小时，

药物的有效时间不到6个小时，故B错误，。正确；

注射该药物:小时后每毫升血液含药量为4xJ=0.5微克，故C错误,

OO

故选：AD.

11.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km

但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次

乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是（）

A.出租车行驶2km,乘客需付费8元

B.出租车行驶4km,乘客需付费9.6元

C.出租车行驶10km,乘客需付费25.45元

D.某人两次乘出租车均行驶5km的费用之和超过他乘出租车行驶10km一次的费用

【答案】CD

【详解】

对于A：出租车行驶2km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，故A错误；

对于B：出租车行驶4km,乘客需付费8+2.15+1=11.15元，故B错误；

对于C：出租车行驶10km,乘客需付费8+2.15x5+2.85x2+1=25.45元，故C正确；

对于D：某人两次乘出租车均行驶5km的费用之和为2x（8+2.15x2+1）=266元，

一次行驶10km的费用为25.45元，26.6>25.45,故D正确.

故选：CD

12.如图，某池塘里浮萍的面积V（单位：m2）与时间f（单位：月）的关系为y=",关于下列说法正

确的是（）

O|~1234*

A.浮萍每月的增长率为2

B1.浮萍每月增加的面积都相等

C.第4个月时，浮萍面积超过80m?

D.若浮萍蔓延到2m2、4m2、8m2所经过的时间分别是小小D则也f+4

【答案】ACD

【详解】

由图可知，过。,3）,所以。=3,），=丁，

对A,由y=3,为指数函数，为爆炸式增长，

每月增长率为婴二=2,

3,

故每月增长率为2,故A正确；

对B,第一个月为3m，第二个月为9mL第三个月为27m?，

浮萍每月增加的面积不相等，

对C,f=4,y=34=81m*故C正确；

对D,%=log,2冉=log,4,々=log,8,

所以2,2=2喝4,4+=log32+log38=log316=21og34,

所以2与=4+/3，故D正确，

故选：ACD

13.某地在20年间经济高质量增长，GQP的值户（单位，亿元）与时间/（单位：年）之间的关系为

P（f）=7?）（l+10%y,其中兄为r=0时的P值.假定心=2,那么在t=10时，GAP增长的速度大约是

.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：1.严。2.59,当x取很小的正数时，

ln（l+x）ax

【答案】0.52

【详解】

由题可知P（f）=2（l+10%）'=2xl『，

所以产（f）=2xl.l'lnl.l,

所以尸（10）=2x11°lnl.1%2x2.59x0.1=0.518*0.52,

即GOP增长的速度大约是0.52.

故答案为：0.52.

14.交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，绿灯表示准许通行，黄灯表示警示，黄

灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关.经过安全数据统计，驾驶员反应距离，（单位：m：

关于车速v（单位：m/s）的函数模型为E=（）.7584v；刹车距离S?（单位：m）关于车速v（单位：m/s：

的函数模型为邑=0・。72/,反应距离与刹车距离之和称为停车距离，在某个十字路口标示小汽车最大限

速丫=50km/h（约14m/s）,路口宽度为30m,如果只考虑小车通行安全，黄灯亮的时间是允许最大限速

的车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，那么信号灯的黄灯至少要亮s（保

留两位有效数字）.

【答案】3.9

【详解】

解：依题意当小汽车最大限速u=50km/h（约14m/s）时，

反应距离，=0.7584x14=10.6176m,刹车距离邑=0.072x142=14.112m,

所以停车距离为10.6176+14.112=24.7296m,

又路口宽度为30m，所以s=24.7296+30=54.7296m,

c547?96

所以时间r=2=玉山空a3.9s；

v14

故答案为：3.9

15.如图，某荷塘里浮萍的面积y(单位：m?)与时间f(单位：月)满足关系式：y=a'lna(a为常

数)，记y=/(r)(r>0).给出下列四个结论：

①设%="〃)(“€N*),则数列｛叫是等比数列；

②存在唯一的实数之41,2),使得〃2)—/(1)=/'(/0)成立，其中/'(/)是/⑺的导函数；

③常数ae(l,2)；

④记浮萍蔓延到2m2,3m2,6m?所经过的时间分别为％*G，则

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【详解】

解：依题意/Q)=a'lna,因为/(0)=a°lna<l,所以0<a<eR/Hl,

又/⑶=a"na=6,所以lna>0,所以leave,即aw(l,e),

令/?(a)=a3|na,ne(l,e),则=3/Ina+a?>0,

则MCHilna在ae(l,e)上单调递增，又力(2)=2"n2<6,所以ae(2,e),故③错误；

+l

由已知可得a“=/(")="'Ina,JjliJan+i-f(n+l)^a"Ina,a,=/(l)=alna,

所以&1.=丝萼=。，所以｛4｝是以“ma为首项，4为公比的等比数列，故①正确；

2

令/(z)="ln。，则/'«)="(Ina)?,f(2)=a\naff(l)=alna,

令g&)=d。(Ina)2-a2\na+a\na,则g，&)=d。(inaf,“(1,2),

因为。w(2,e),所以g«°)=卅(lna)3>0,即g&)=庚(Ina)?Ina+alna,在e(1,2)上单调递增,

因为ow(2,e),所以lna-a<0,ln«-l<0,alna>0,

令8（4）=lna-a+l,aw（2,e）,]/liJ^（67）=--l=-!—^<0,所以8（a）=ki4-a+l,在a«2,e）上单调递

aa

减，

且夕（2）=ln2-2+l=ln2—l<0,即°（a）=lna-a+l<0,

令"（Q）=alna-4+1,6fe（2,e）,则H'（Q）=InQ>0,所以”（々）=〃1!14一4+1在〃£（2,可上单调递增，

XW（2）=21n2-2+l=21n2-l>0,所以H（Q）=alnQ-a+l>0,

所以g（l）=a（lna）--a?Ina+alna=alna（lna-a）+aln〃=alna（lna-a+l）vO,

^（2）=4Z2（]naY-a2\na+a\na=a2\na（\na-}）+a\na=a}na（a]na-a+