高中数学人教a版选修2-2学案2-1-2演绎推理

演绎推理1.理解演绎推理的意义.，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.1.演绎推理含义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理特点由一般到特殊的推理2.三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是Peq\a\vs4\al()（1）演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实.（2）在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的.2.为了方便，在运用“三段论”推理时，，总是采用一连串的“三段论”，把前一个“三段论”的结论作为下一个“三段论”的前提.3.“三段论”推理的结论正确与否，取决于两个前提以及推理形式是否正确.在大前提、小前提及推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）“三段论”就是演绎推理.（）（2）演绎推理的结论一定是正确的.（）（3）演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.（）（4）演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.（）答案：（1）×（2）×（3）×（4）√“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于（）A.演绎推理 B.类比推理C.合情推理 D.归纳推理解析：选A.“所有金属都能导电”及“铁是金属”均为前提条件，得出“铁能导电”的结论，满足演绎推理的定义.“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，该推理的大前提是（）A.矩形都是四边形B.四边形的对角线都相等C.矩形的对角线相等D.对角线都相等的四边形是矩形解析：选C.该推理是省略大前提的演绎推理，因为相关的内容是“矩形”“对角线相等”，所以易得该推理的大前提是矩形的对角线相等.正弦函数是奇函数，f（x）＝sinx2是正弦函数，所以f（x）＝sinx2是奇函数，以上“三段论”中的是错误的.答案：小前提

探究点1用三段论的形式表示演绎推理将下列演绎推理写成三段论的形式.（1）等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B.（2）通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列.【解】（1）等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的底角，小前提∠A＝∠B.结论（2）数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，则an－an－1＝2n＋3－[2（n－1）＋3]＝2（常数），小前提通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列.结论eq\a\vs4\al()将演绎推理写成三段论的方法（1）用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提.（2）用三段论写推理过程中，有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提与小前提都省略.（3）在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理（）A.小前提错 B.结论错C.正确 D.大前提错解析：选C.在上述推理中，大前提、小前提都是正确的，推理的形式也符合三段论模式，因此结论也是正确的，这个推理是正确的.2.将下列演绎推理写成“三段论”的形式：（1）一切偶数都能被2整除，0是偶数，所以0能被2整除；（2）三角形的内角和是180°，等边三角形是三角形，故等边三角形的内角和是180°；（3）循环小数是有理数，2·,是循环小数，2·,是有理数.解：（1）一切偶数都能被2整除， 大前提0是偶数， 小前提所以0能被2整除. 结论（2）三角形的内角和是180°， 大前提等边三角形是三角形， 小前提故等边三角形的内角和是180°. 结论（3）循环小数是有理数， 大前提·,是循环小数， 小前提所以0.332·,是有理数. 结论探究点2演绎推理在证明代数中的应用已知函数f（x）＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)（a＞1），求证：函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数.【证明】如果在（－1，＋∞）上f′（x）＞0，那么函数f（x）在（－1，＋∞）上是增函数，大前提因为a＞1，所以f′（x）＝axlna＋eq\f(3,（x＋1）2)＞0，小前提所以函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数.结论（1）数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.（2）在代数证明问题中，尤其是不等关系的证明，首先找到论证不等关系的一般性原理（如基本不等式等），这是大前提，然后利用“三段论”进行推理.此时应注意不等式性质及定理成立的条件.eq\a\vs4\al()在锐角三角形ABC中，求证sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.证明：因为在锐角三角形中，A＋B＞eq\f(π,2)，所以A＞eq\f(π,2)－B，所以0＜eq\f(π,2)－B＜A＜eq\f(π,2).又因为在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内，正弦函数是单调递增函数，所以sinA＞sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))＝cosB，即sinA＞cosB，①同理，sinB＞cosC，②sinC＞cosA.③以上①②③两端分别相加，有sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.探究点3演绎推理在证明几何中的应用如图，D，E，F分别是△ABC中BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理.【证明】因为同位角相等，两条直线平行， 大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A， 小前提所以FD∥AE. 结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 大前提DE∥BA，且FD∥AE， 小前提所以四边形AFDE为平行四边形. 结论因为平行四边形的对边相等， 大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边， 小前提所以ED＝AF. 结论若本例中增加条件“∠C＝∠A”，证明：∠BFD＝∠BDF.证明：因为同位角相等，两直线平行， 大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A， 小前提所以FD∥AE. 结论因为两直线平行，同位角相等， 大前提FD∥AE，且∠BDF与∠C是同位角， 小前提所以∠BDF＝∠C. 结论又因为∠C＝∠A，∠BFD＝∠A 小前提所以∠BFD＝∠BDF. 结论eq\a\vs4\al()用三段论证明几何问题的一般步骤（1）理清楚证明命题的一般思路.（2）找出每一个结论得出的原因.（3）把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.即在几何证明问题中，每一步实际都含着一般性原理，，从而得到结论.在梯形ABCD中，AB＝DC＝DA，AC和BD是梯形的对角线.求证：CA平分∠BCD，BD平分∠ABC.证明：如图，因为等腰三角形两底角相等， 大前提△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角， 小前提所以∠1＝∠2. 结论因为两条平行线被第三条直线截得的内错角相等， 大前提∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截得的内错角， 小前提所以∠1＝∠3. 结论因为等于同一个角的两个角相等， 大前提∠2＝∠1，∠3＝∠1， 小前提所以∠2＝∠3，即CA平分∠BCD. 结论同理可证BD平分∠ABC.————————————————————————————————————————————————1.命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（）A.使用了“三段论”，但大前提错误B.使用了“三段论”，但小前提错误C.使用了归纳推理D.使用了类比推理解析：选A.大前提是全称命题，“由一般到特殊”，是演绎推理，且是“三段论”的形式.有理数包括有限小数，无限循环小数，以及整数，所以命题中大前提是错误的，从而导致推理错误.2.下列四种推理是合情推理的是（）①已知两条直线平行同旁内角互补，如果α和β是两条平行直线被第三条直线截得的同旁内角，那么α＋β＝180°；②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；③数列{an}中，由an＝2n－1（n∈N*）推出a10＝19；④由数列1，0，1，0，…，推测出通项公式an＝eq\f(1,2)＋（－1）n＋1·eq\f(1,2)（n∈N*）.A.①② B.②④C.②③ D.③④解析：选B.①③是由一般到特殊的推理，是演绎推理；②是由特殊（平面三角形的性质）到特殊（空间四面体的性质）的推理，是类比推理；④是由数列前几项猜测通项an，是由个别到一般的推理，是归纳推理.故②④是合情推理.3.下列三句话按“三段论”模式排列顺序为Ｗ.①y＝cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cosx（x∈R）是周期函数.答案：②①③4.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an（n∈N*）.（1）证明：数列{an＋1－an}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.解：（1）证明：因为an＋2＝3an＋1－2an，所以an＋2－an＋1＝2an＋1－2an＝2（an＋1－an），所以eq\f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝2（n∈N*）而a2－a1＝2.所以数列{an＋1－an}是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得an＋1－an＝2n（n∈N*）.所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1（n∈N*）.

知识结构深化拓展[A基础达标]1.下面几种推理过程是演绎推理的是（）A.两条直线平行，同位角相等，因为∠A和∠B是两条平行直线被同一条直线所截形成的同位角，所以∠A＝∠BB.我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽地区也蕴藏着丰富的石油C.由6＝3＋3，8＝3＋5，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个素数的和D.在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))（n≥2），由此归纳出数列{an}的通项公式解析：选中，由一般结论“两条直线平行，同位角相等”推出特例“∠A＝∠B”是演绎推理；B、C、D中，均是由特殊到一般或特殊的推理，是合情推理.2.“对于三条直线a，b，c，可由a∥b，a∥c推得b∥c”，则以下说法正确的是（）A.三条直线a，b，c是大前提B.a∥b是大前提C.a∥b，a∥c是小前提D.以上说法都不正确解析：选C.推理的大前提是：若两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行；小前提是：三条直线a，b，c，a∥b，a∥c；结论是：b∥c.3.“三角函数是周期函数，y＝tanx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))是三角函数，所以y＝tanx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))是周期函数.”在以上演绎推理中，下列说法正确的是（）A.推理完全正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.推理形式不正确解析：选C.y＝tanx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))只是三角函数的一部分，并不能代表一般的三角函数，所以小前提错误，导致整个推理结论错误.4.（2017·高考全国卷Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，，则（）绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D.依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择D.5.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈eq\r(3,\f(16,3)V)，人们还用过一些类似的近似公式，根据π59…判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A.d≈eq\r(3,\f(60,31)V) B.d≈eq\r(3,2V)C.d≈eq\r(3,\f(15,8)V) D.d≈eq\r(3,\f(21,11)V)解析：选D.由V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))eq\s\up12(3)，解得d＝eq\r(3,\f(6V,π))①，①代入选项A得π≈eq\f(31×6,60)＝3.1；①代入选项B得π≈eq\f(6,2)＝3；①代入选项C得π≈eq\f(6×8,15)＝3.2；①代入选项D得π≈eq\f(11×6,21)D中的值最接近π的真实值，故选D.6.求函数y＝eq\r(log2x－2)的定义域时，第一步推理中大前提是eq\r(a)有意义，即a≥0，小前提是eq\r(log2x－2)有意义，结论是.解析：由三段论的形式可知，结论是log2x－2≥0.答案：log2x－2≥07.以下推理过程省略的大前提为：.因为a2＋b2≥2ab，所以2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab.解析：由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.答案：若a≥b，则a＋c≥b＋c8.已知函数f（x）＝a－eq\f(1,2x＋1)，若f（x）为奇函数，则a＝.解析：因为奇函数f（x）在x＝0处有意义，则f（0）＝0，而奇函数f（x）＝a－eq\f(1,2x＋1)的定义域为R，所以f（0）＝a－eq\f(1,20＋1)＝0，所以a＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9.把下列演绎推理写成三段论的形式.（1）一切奇数都不能被2整除，（22017＋1）是奇数，所以（22017＋1）不能被2整除.（2）因为△ABC三边的长依次为3，4，5，所以△ABC是直角三角形.解：（1）一切奇数都不能被2整除，大前提22017＋1是奇数，小前提22017论（2）一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提△ABC三边的长依次为3，4，5，且32＋42＝52，小前提△ABC10.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.（1）证明：数列{an－n}是等比数列.（2）求数列{an}的前n项和Sn.解：（1）证明：因为an＋1＝4an－3n＋1，所以an＋1－（n＋1）＝4（an－n），n∈N*.又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列.（2）由第一问可知an－n＝4n－1，所以an＝4n－1＋n.所以数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(4n－1,3)＋eq\f(n（n＋1）,2).[B能力提升]11.袋中装有偶数个球，，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析：选B.若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则一个放在甲盒，另一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C.12.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两人获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是Ｗ.解析：若乙和丁的猜测同时正确，则甲和丙的猜测是错误的，可得乙没有获奖，丙获奖，则甲和丁