圆锥曲线中的焦点三角形

专业知识分享专业知识分享焦点三角形焦点三角形问题是重要考点，考到的内容有：椭圆或双曲线定义和正余弦定理以及面积公式等。常与曲线的离心率相结合，注意平面几何知识的应用。一：椭圆的焦点三角形椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点FF2与椭圆上任意一点夕为顶点组成的三角形。x2y2一+二二1(a>b>0)a2b22a

2a

sina+sinp，/F2PF=B，则有离心P在椭圆上()4c2=|PF|2+|PF|2—2IPFIIPFIcos/FPFTOC\o"1-5"\h\z121212(3)椭圆上的点与两焦点连线的夹角以椭圆短轴顶点与两焦点连线的夹角最大x2y2证明：设是椭圆—+~-=1(a>b>0，c为半焦距)上的一点，为原点，、是a2b2椭圆的两焦点，PE=m,PF|=n/m2+n2—4c24b2—2mn2b242b24则cos/EPF===-1>-1,由余弦函数图象性质知2mn2mnmna2/EPF有最大值，当且仅当在短轴端点时取到该最大值。设P为椭圆上的任意一点，角/F1F2P=a，/F2FP=Psin(a+P)sin90e=—,S=b2-=b2tan—sina+sinp叩F21+cos02FFPFPF：由正弦定理得：12=2=1sin(180o—a—p)sinasinpFFPF+PF等比定理得：12=12sin(a+p)sina+sinpFF2cPF+PF12=,12sin(a+p)sin(a+p)sina+sinpcsin(a+p)e=—=—。asina+sinp题：x2y2、椭圆—+--=1(a,b>0)的两个焦点F,F，a2b212414x2y2PF1PF，IPFI=-,IPFI=求椭圆的方程+y=11213231」94，如果/PFF=75。，12/PFF21,二2=15。，则椭圆的离心33、F、

1^AFF122了2是椭圆~9~十2的面积为y2．77)74=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且NAFF=45o，则1275

~T了，如果/PFF=75。，12/PFF21,二2=15。，则椭圆的离心33、F、

1^AFF122了2是椭圆~9~十2的面积为y2．77)74=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且NAFF=45o，则1275

~T了2、F、F是椭圆—y2+=1的两个焦点，A为椭圆上一点16，且/FAF=90,，则A到12了轴的距离为16,16

y1616,—or—35•非上述答案、设F1，了2y2分别是椭圆行+而=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，F，1F,P是直角2三角形的一16T个顶点，则P点到了轴的距离是1651616一或一53非上述答案、设F1，了2y2分别是椭圆—+^=1的左、右焦点，4Jy2P为椭圆上一点，F，1F,P是是直2角三9.角形的三个顶点，则P点到了轴的距离是99—或一、过椭圆左焦点F，倾斜角为.兀—的直线交椭圆于非上述答案，B两点，|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为（构造焦点三角形，两次应用余弦定理，整体处理余弦定理的结果）已知RtAABC，了2y2AB=AC=1,点C为椭圆—+--=1(a>b>0)的右焦点，且AB为a2b2经过椭圆左焦点的弦，求椭圆的离心了2y2知椭圆—+--=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F(—c,0),F(c,0)，

a2b212a椭圆上存在一点P使点sin/PFF12--，则该，则该椭圆的离心的取值范围为sin/PFF21(2-1,1)(3-1,1)(3C-.2,1)了2y2、设为椭圆—।=1(a>b>0)上一点，、设a2b2二：双曲线的焦点三角形双曲线的焦点三角形是指以双曲线的两个焦点FF2与双曲线上任意一点P为顶点组成的4c2=1PF|2+IPF|2-21PFIIPFIcos/FPF12121了2y2三角形。——乙=1(a>0,b>0)a2b2设P为椭圆上的任意一点，/FFP=a122，/FFP=P，/FPF=6，则有离sin(a+P)e=5-a>Psina-sinPS△PF1F2=b221sin6b21—cos66tan-221、设P为双曲线12—y2一线12=1上的一点F，F2是该双曲线的两个焦点，IPFI:IPFI=3:2，则］△PFF的面积为(1_212_.6v3.12.12v；3．241

cos/FPF

121.4双曲线C:了2—y2=2的左右焦点，点P在C上，IPFI=2IPFI，则］、双曲线了2—y—=1的焦点为F、F，点212在双曲线上且MF.MF12=0，则点M到了轴的距离为4.知F、F为12

轴的距离为2)53双曲:了2-y2=1的左、右焦点，点，乙FPF60o，则12、设”6

)<3分别是双曲了2线——

a2y2=-=1(a>0,b>0)的左、右焦点，b2双曲线右支上存在一点，使O+OF)•FP=0率为为坐标原点，上IPFI=33IPFI，则该双曲线的离心x2y2、设点是双曲线一---=1(a>,b>0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，a2b2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF|分别是双曲线的左、右焦点，且|PF|=3|PF|，则双曲线的离心.亘22-<10v10-~1~，圆)2+y2，圆)2+y2=a2的线，点、过双曲线一--=1a>0,b>0的左焦点Fa2b2为E，延长FE交双曲线二点P，O为原点，OE=1(OF+OP)，则双曲线的离心2、F分别为双曲线C：x2-号=1(a>b>0)的左、右焦点，点P为双曲线右2a2b2支上一点，的离心率为满足IPFI=IFFI，且F到直线PF的距离等于双2122153曲线的实轴长，则该双曲线、右焦点，若双曲线上存在、右焦点，若双曲线上存在、F分别为双曲线C:x2-r=1(a>b>0)的左2a2b2一点P，满足IPF11=2IPF21，则该双曲线的离，心率范围为(1,3]1

cos/PFF=

211•—4为2的双曲线的左右焦点，点P在C上，IPF1=21PFI，则设F,F分别是双曲12y2线x2—y=1的左、右焦点-点P在双曲线上且PF•PF=0，12则PF+PF2I=(-<10)-2<10__xx2、设F,F分别是双曲线——12线左支的两个交点a2且AABF2y2--=1的左、右焦点，A,B是圆x2+y2=a2+b2与双曲b2等边三角形，则该双曲线的离心率•2已知P是双曲x2线——

a2y2

b21(a>0,b>0)右支上一点，F、F分别是双曲线的左、12右焦点，I为卜PFF2的内S=SAIPF1AIPF2、：2+—52AIF1F2，则该双曲线的离心率为，，F1、勺分别是双曲线的左、右焦点，1PFi1=5<2x2y2、已知p是双曲线-4——3=1上一点则IPF1=21or9x2y2、已知p是双曲线———=1上一点IJL乙，F、F分别是双曲

12线的左、右焦点，若|PF1|=5则IPF1=2x2y2练习：已知双曲线——--=1(a2b2sin/PFF线上存在一点P满足T点满足sin/pff21a0，〉)的两个焦点为a=一,则该双曲线的离心c(1,1+2)知双曲x2y2第a一五二1(a〉)的两个焦点为限的图象上，△AF1『2的面积"1且tan/AFF=—122方程为12x25x2123F(—c,0)、F(c,0)，双曲的取值范围&F1、F2，点A在双曲,tan/AFF=—2,12y2•3x2—=15x2线第一象则双曲线312、设F1，F2是双x2线--

a2y2=-(=1(a>0,b>0)的左右焦点，过点F的直线与双曲线的右b22支交于A,B两点AFAB是以A为直角顶点的等腰三角形，则e2=为为右支交*1(a>o,b>0、如图设X2线--a21的直线与双曲线的左1一4:5，则双曲线的离心是F,F是双曲1222I=3=1(a>0ABI:IBFI:I0)的左右焦点，IFF1=4，P为双曲线12右支上一点，F2P与y轴交于点A，AAPF的内圆在边PF1上的点为Q,IPQI=1则双曲线的离心X2椭圆+1mX2椭圆+1my2=1(m\n>0)和双曲线nX2sy2t=1（s,t>0）有相同的焦点〈和F2，椭圆与双曲线的焦点三角形A.m-A.m-s(m-s)m2-s2m.-s而P是这两条曲线的一个交点,则PF,PF2的值是C2在第题：如图F1,F2是椭圆C1:AC2在第题：如图F1,F2是椭圆C1:A.2B.3C.32题：已知点p是以勺，F2为别为椭圆和双曲线的离心率A.ee>2B.e2+e2>41212D.62公共焦点的椭圆和双曲线的一则交点，且PF1PFe,e分12…点P是以FF2C.ee>2212D.1e21十e2

2公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且椭圆X2+y2=1（m>1）与双曲线X2-y2=1（n>0）有相同的焦点，点P是两曲mnTOC\o"1-5"\h\z线的一个公共点，则””的面积是1X2y2题：设勺与F2是曲线C1:6+2=1的两个焦点，点M是曲线C1与曲线X2C:C-y2=1的一个交点，求AMFF的面积．2312x24+W二1与双曲线C2的公共焦点A,B分别是J