2022年新高考数学二轮复习（回扣篇）第16练　数列求和及其综合应用

数列求和及其综合应用第16练专项典题精练高考汇编1.(2017·全国Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为A.－24 B.－3 C.3

D.8√12345678910111213141516解析由已知条件可得a1＝1，d≠0，12345678910111213141516解得d＝－2.2.(2020·全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则

等于A.2n－1 B.2－21－nC.2－2n－1

D.21－n－112345678910111213141516√解析方法一

设等比数列{an}的公比为q，12345678910111213141516由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，得a1＝1.方法二

设等比数列{an}的公比为q，将q＝2代入①，解得a3＝4.12345678910111213141516√12345678910111213141516∴a1＋a5＝a2＋a4＝2a3，∵f(x)＝2x－cosx，∴f(a1)＋f(a5)＝2a1－cosa1＋2a5－cosa5＝2(a1＋a5)－(cosa1＋cosa5)12345678910111213141516f(a2)＋f(a4)＝2a2－cosa2＋2a4－cosa4＝2(a2＋a4)－(cosa2＋cosa4)∴f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＋f(a5)12345678910111213141516123456789101112131415164.(2012·新课标全国)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为A.3690 B.3660 C.1845 D.1830√12345678910111213141516解析利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解.∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋2341234567891011121314151612345678910111213141516(－2)n－112345678910111213141516即an＝－2an－1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴an＝(－2)n－1.6.(2021·新高考全国Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为__________；如果对折n次，那么

＝_____________dm2.512345678910111213141516解析依题意得，S1＝120×2＝240；S2＝60×3＝180；所以S3＝30×4＝120；12345678910111213141516所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，所以S4＝15×5＝75；……12345678910111213141516由①－②得，1234567891011121314151612345678910111213141516(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.因为bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*.12345678910111213141516(2)求{an}的前20项和.12345678910111213141516所以当k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1，

①a2k＋1＝a2k＋2，

②a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1，

③所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.12345678910111213141516所以数列{an}的前20项和S20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)123456789101112131415168.(2020·全国Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.(1)求{an}的公比；12345678910111213141516解设{an}的公比为q，∵a1为a2，a3的等差中项，∴2a1＝a2＋a3，a1≠0，∴q2＋q－2＝0，∵q≠1，∴q＝－2.(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和.12345678910111213141516解设{nan}的前n项和为Sn，若a1＝1，则由(1)得，an＝(－2)n－1，Sn＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，

①－2Sn＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n(－2)n，②①－②得，3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n(－2)n12345678910111213141516模拟精选A.－36 B.12 C.24 D.48√12345678910111213141516设∀k∈N*，且ck＝a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝(4k－3)(4k－2)×1＋(4k－2)(4k－1)×0＋(4k－1)·4k×(－1)＋4k(4k＋1)×0＝－16k＋6，则S8＝c1＋c2＝－16×(1＋2)＋6×2＝－36.1234567891011121314151610.(2021·马鞍山模拟)已知数列{an}满足an＋2＋an＝2an＋1＋1，且a1＝1，a2＝5，则a18等于A.69 B.105 C.204 D.205√解析设an＋2＋an＝2an＋1＋1，an＋2－an＋1＝an＋1－an＋1，故{an＋1－an}构成以4为首项，1为公差的等差数列，则an＋1－an＝3＋n，故a18＝(a18－a17)＋(a17－a16)＋…＋(a2－a1)＋a1＝17＋16＋…＋1＋3×17＋112345678910111213141516A.3 B.log378C.5 D.log3812345678910111213141516√1234567891011121314151612.(多选)已知数列{an}满足an＋1＋an＝n·，其前n项和为Sn，且m＋S2021＝2021，则下列说法正确的是A.m为定值

B.m＋a1为定值C.S2021－a1为定值

D.ma1有最大值√12345678910111213141516√√解析当n＝2k(k∈N*)时，由已知条件得a2k＋a2k＋1＝2k·(－1)k(2k＋1)，所以S2021＝a1＋a2＋a3＋…＋a2021＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2020＋a2021)＝a1－2＋4－6＋8－10＋…＋2020＝a1＋2020，所以S2021－a1＝2020.m＋S2021＝m＋a1＋2020＝2021，所以m＋a1＝1，123456789101112131415161234567891011121314151613.(2021·泉州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为____________.12345678910111213141516解析由Sn＝n2an，可得当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1，则an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，即(n2－1)an＝(n－1)2an－1，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516所以an＝n，12345678910111213141516记{bn}的前2n项和为T2n，1234567891011121314151615.(2021·永州模拟)给定三个条件：①a2，a4，a8成等比数列，②S4＝5a2，③(n＋1)an＝nan＋1，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.问题：设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，______.(1)求数列{an}的通项公式；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.12345678910111213141516解设等差数列{an}的公差为d(d≠0).选条件①：∵S3＝6，a2，a4，a8成等比数列，选条件②：∵S3＝6，S4＝5a2，12345678910111213141516故数列{an}的通项公式为an＝n.选条件③：∵S3＝6，(n＋1)an＝nan＋1，1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516整理可得an＋1＝3an，∴{an}是以a1＝1为首项，公比q＝3的等比数列，12345678910111213141516①－②得，12345678910111213141516考情分析练后疑难精讲高考常考内容，主要考查等差、等比数列与常见数列求和的综合应用，主要以解答题的形式出现，属于中档题.一、an与Sn的关系核心提炼1.数列{an}中，an与Sn的关系2.求数列通项公式的常用方法：(1)公式法：利用等差(比)数列的公式求通项公式.(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项公式an.(3)在已知数列{an}中，满足

＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项公式an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列).题号12571013

二、数列求和核心提炼数列求和常见方法：(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}一个是等差数列，一个是等比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如

(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.题号48911141516

三、数列的综合应用核心提炼数列与函数、不等式的交汇：数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.题号3612

易错对点精补1.[T12补偿]设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＋an＝2n，Sn＝1365，则n的值为A.9 B.11 C.13 D.15√12345解析∵Sn为奇数，由an＋an＋1＝2n可知相邻两项和为偶数，∴n必为奇数.a1＝1，a2＋a3＝22，a4＋a5＝24，…，an－1＋an＝2n－1，全部相加得Sn＝20＋22＋24＋…＋2n－1＝所以n＝11.12345√12345解析数列{an}的前n项和为Sn，若1，an，Sn成等差数列，则2an＝1＋Sn，

①当n＝1时，a1＝1，当n≥2时，2an－1＝1＋Sn－1，

②所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列.所以an＝2n－1.12345由于对任意的n∈N*都有Tn－2λ＋1≥0恒成立，所以Tn＋1≥2λ恒成立.即(Tn＋1)min≥2λ，1234512345－1012所以数列{an}的所有奇数项为0，所以S2022