2022高考数学创新设计二轮复习 第2讲　概率、随机变量及其分布列

上篇

专题四

概率与统计

第2讲概率、随机变量及其分布列高考定位1.随机事件、古典概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；3.对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”.随着新一轮课程改革，“数据分析、数学建模”将会不断加大考查力度.真题感悟

考点整合热点聚焦

分类突破专题训练

对接高考内容索引真题感悟

考点整合11.(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(

)C解析

法一(将4个1和2个0视为完全不同的元素)2.(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(

) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立B3.(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(

)A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等D解析

对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D错误.4.(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；解由题意知，X的所有可能取值为0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.解当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以随机变量Y的分布列为Y080100P0.40.120.48所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.5.(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，…，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3). (1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；解

E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1；证明

设f(x)＝p3x3＋p2x2＋(p1－1)x＋p0，因为p3＋p2＋p1＋p0＝1，故f(x)＝p3x3＋p2x2－(p2＋p0＋p3)x＋p0.若E(X)≤1，则p1＋2p2＋3p3≤1，故p2＋2p3≤p0.f′(x)＝3p3x2＋2p2x－(p2＋p0＋p3)，因为f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)<0，f′(1)＝p2＋2p3－p0≤0，故f′(x)有两个不同零点x1，x2，且x1<0<1≤x2，且x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)>0；x∈(x1，x2)时，f′(x)<0；故f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上为增函数，在(x1，x2)上为减函数.若x2＝1，因为f(x)在(x2，＋∞)上为增函数且f(1)＝0，而当x∈(0，x2)时，因为f(x)在(0，x2)上为减函数，故f(x)>f(x2)＝f(1)＝0，故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根；若x2>1，因为f(1)＝0，f(0)＝p0>0，且f(x)在(0，x2)上为减函数，故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根.综上，若E(X)≤1，则p＝1.若E(X)>1，则p1＋2p2＋3p3>1，故p2＋2p3>p0.此时f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)<0，f′(1)＝p2＋2p3－p0>0，故f′(x)有两个不同零点x3，x4，且x3<0<x4<1，且x∈(－∞，x3)∪(x4，＋∞)时，f′(x)>0；x∈(x3，x4)时，f′(x)<0；故f(x)在(－∞，x3)，(x4，＋∞)上为增函数，在(x3，x4)上为减函数，而f(1)＝0，故f(x4)<0，又f(0)＝p0>0，故f(x)在(0，x4)存在一个零点p，且p<1.所以p为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，此时p<1，故当E(X)>1时，p<1.(3)根据你的理解说明第(2)问结论的实际含义.解

若每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代后必然灭绝；若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后灭绝的概率小于1，还有继续繁殖的可能.1.概率模型公式及相关结论2.独立重复试验与二项分布3.超几何分布4.离散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量ξ的分布列为ξx1x2x3…xi…xnPp1p2p3…pi…pn离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1，2，3，…，n).(2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量ξ的数学期望或均值.D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn叫做随机变量ξ的方差.(3)数学期望、方差的性质①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ).②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).2热点聚焦

分类突破热点一古典概型【例1】

(1)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(

)A(2)(2021·山东中学联盟联考)“总把新桃换旧符”(王安石)，“灯前小草写桃符”(陆游)，春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是(

)B1.求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏.2.计算几何概型的概率，构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.探究提高【训练1】

(1)(2021·东北名校联考)“六艺”出自《周礼·地官司徒·保氏》，是指礼、乐、射、御、书、数.已知某人觉得“君子不学礼无以立”，而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣，该人依据自己能力，只能为每个孩童选择六艺中的四艺进行培养，若要令该人和两个孩童对所选的四艺都满意，那么两个孩童至少有一个选到“御”的概率为(

)B(2)(2021·山东省质检)马林·梅森(MarinMersenne，1588～1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物.梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p－1做了大量的计算、验证工作.人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2p－1(其中p是素数)的素数，称为梅森素数.在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是(

)A热点二条件概率及随机事件的概率【例2】

(1)篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球.某人从篮子中随机取出2个球，记事件A为“取出的2个球颜色不同”，事件B为“取出1个红球，1个白球”，则P(B|A)等于(

)B解析∵篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球，C解析设该生进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”社团分别为事件A，B，C，探究提高【训练2】(1)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(

) A.62% B.56% C.46% D.42%C解析(1)记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A＋B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A·B，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.82，P(A＋B)＝0.96，所以P(A·B)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝0.6＋0.82－0.96＝0.46，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.(2)(2021·新高考原创卷二)甲、乙两人进行围棋比赛，若其中一人连续赢两局，则比赛结束.已知每局比赛结果相互独立，且每局甲胜的概率为0.6(没有平局)，若比赛在第三局结束，则甲获胜的概率为(

)A.0.6 B.0.4 C.0.36

D.0.144A热点三随机变量的分布列、均值与方差(1)若从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，求选出的2所学校参与足球运动的人数都超过40人的概率；解参与足球运动的人数超过40人的学校共4所，记“选出的2所学校参与足球运动的人数都超过40人”为事件S，(2)现有一名排球教练在这10所学校中随机选取3所学校进行指导，记X为教练选中参加排球运动的人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望.解参与排球运动的人数在30人以上的学校共4所，X的所有可能取值为0，1，2，3，依题意，X服从超几何分布，X的分布列为探究提高【训练3】

(2021·大连质检)随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加.某市对市民参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其平均每月参与马拉松运动训练的天数x(单位：天)进行统计，得到以下统计表：x/天x≤55<x<20x≥20人数106030(1)以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间内的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间内的概率，从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人平均每月进行训练的天数不少于20的概率；设随机抽取4个人，平均每月进行训练的天数不少于20天的人数为X.(2)依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取20个，再从抽取的20个人中随机抽取4个，用Y表示抽取的平均每月进行训练的天数不少于20天的人数，求Y的分布列及数学期望E(Y).则随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，3，4，所以随机变量Y的分布列为(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；k＝0，1，2，3.所以，随机变量X的分布列为(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(1)知探究提高【训练4】

某省新课改后，某校为预测2022届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三(1)班到高三(5)班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.(1)根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率；解

由条形统计图，估计本届学生本科上线率(2)已知该省甲市2022届高考考生人数为4万，假设以(1)中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.①若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率(结果精确到0.01)；②已知该省乙市2022届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为p(0＜p＜1)，若2022届乙市高考本科上线人数的均值不低于甲市，求p的取值范围.可能用到的参考数据：取0.364＝0.0168，0.164＝0.0007.解

①记“恰有8名学生达到本科线”为事件A，由(1)可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，②甲、乙两市2022届高考本科上线人数分别记为X，Y，依题意，可得X～B(40000，0.6)，Y～B(36000，p).因为2022届乙市高考本科上线人数的均值不低于甲市，热点四概率与统计的综合问题【例5】

(2021·江南十校联考)某研究院发布的《2020～2025年中国直播电商行业市场深度分析及投资战略咨询研究报告》显示，2021年上半年，“直播经济”业态主要岗位的人才需求量达到2020年同期的3.6倍.针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(1)请完成下列关于对商品和服务评价的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为对商品好评与对服务好评有关.

对服务好评对服务中、差评合计对商品好评80

对商品中、差评

10

合计

200解由题意，得商品和服务评价的2×2列联表.

对服务好评对服务中、差评合计对商品好评8040120对商品中、差评701080合计15050200根据列联表得K2的观测值又P(K2≥10.828)＝0.001，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为对商品好评与对服务好评有关.(2)若将频率视为概率，设某人在3次购物中对商品和服务都做出好评的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.附：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828所以随机变量X的分布列为1.本题考查统计与概率的综合应用，意在考查考生的识图能力和数据处理能力.此类问题多涉及相互独立事件、互斥事件的概率，在求解时，要明确基本事件的构成.2.以统计图表为背景的随机变量分布列求解的关键：(1)根据频率(数)分布表、频率分布直方图、茎叶图等图表准确求出随机事件的频率，并用之估计相应概率；(2)出现多个随机变量时，应注意分析随机变量之间的关系，进而由一个随机变量的分布列推出另一个随机变量的分布列.探究提高【训练5】

(2021·河北重点中学联考)电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务，通过网络的电子邮件系统，用户可以以非常低廉的价格(不管发送到哪里，都只需负担网费)、非常快速的方式(几秒钟之内可以发送到世界上任何指定的目的地)，与世界上任何一个角落的网络用户联系.经统计，发现了一个有趣的现象：中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少.为了研究邮箱名称里是否含有数字与国籍的关系，随机抽取40个邮箱名称，其中中国人的20个，外国人的20个，在20个中国人的邮箱名称中有15个含数字，在20个外国人的邮箱名称中有5个含数字.(1)根据以上数据填写如下2×2列联表；

中国人外国人合计邮箱名称里有数字

邮箱名称里无数字

合计

40解依题意，得2×2列联表

中国人外国人合计邮箱名称里有数字15520邮箱名称里无数字51520合计202040(2)能否有99%的把握认为“邮箱名称里是否含有数字与国籍有关”？解根据列联表，得K2的观测值所以有99%的把握认为“邮箱名称里是否含有数字与国籍有关”.(3)用样本估计总体，将频率视为概率，在中国人的邮箱名称里和外国人的邮箱名称里各随机抽取6个邮箱名称，记“6个中国人的邮箱名称里恰有3个有数字”的概率为P1，“6个外国人的邮箱名称里恰有3个有数字”的概率为P2，试比较P1和P2的大小.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828解根据(1)中2×2列联表，可得专题训练

对接高考3巩固提升一、选择题1.(2021·大连联考)甲、乙两人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率为(

) A.0.7 B.0.58 C.0.12 D.0.46B解析甲、乙两人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率为P＝1－(1－0.4)(1－0.3)＝0.58.2.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者(

) A.10名 B.18名

C.24名 D.32名B3.(2021·重庆二调)素数是指在大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如10＝3＋7.在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是(

)B4.(2021·济南联考)山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则直径在(75，90]内的概率为(

)

附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545. A.0.6826 B.0.8413 C.0.8186 D.0.9544C解析烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，∴μ＝80，σ＝5.5.(多选)(2021·济南统考)已知甲、乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面上的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面上的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面上的数字为偶数”，则下列结论正确的是(

)ABD6.(多选)(2021·湖北十一校二联)一个口袋中有大小、形状完全相同的3个红球和4个白球，从中取出2个球，下列几个命题中正确的是(

)CD解析

对于A，易知取出2个红球和取出2个白球是互斥事件，但不是对立事件，故A不正确；二、填空题7.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________.0.18解析

记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.8.为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加A，B，C三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有________种.361三、解答题10.(2021·北京卷)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人，已知其中2人感染病毒.解①共测两轮，第一轮100人分10组，故测了10次；第二轮，对两名患者所在组每个人都进行检测一次，共10次，故总检测次数为10＋10＝20(次)；②由①知，两名感染患者在同一组时，共需检测20次；若两名患者不在一组，需要检测10＋10＋10＝30(次).(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果).解E(X)<E(Y).11.某省新高考，取消文理科，实行“3＋3”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人(把年龄在[15，45)称为中青年，年龄在[45，75)称为中老年)，并把调查结果制成下表：年龄(岁)[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75)频数515101055了解4126521(1)分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；(2)请根据上表完成下面2×2列联表，是否有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联？

了解新高考不了解新高考总计中青年

中老年

总计

P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.635