第11讲一元微分学应用

——一元微积分学高等数学（一）第十一讲导数的应用(二)——函数的增减(单调)性、函数的极值第四章导数的应用本章学习要求：熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。能运用函数的单调性、凸凹性、极值等来讨论函数的图形性质，并熟练掌握函数作图过程。掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。第四章导数的应用

---运用导数研究函数第三节函数的单调性第四节函数极值第五节函数的最大值、最小值第六节函数的凹凸性第七节函数的图形

下面我们运用函数的导数(微分)来研究函数的有关性质：单调性、凹凸性、极值等，并研究如何作出函数的图形.一.函数增减的概念：（第一章已经讲授）第三节函数的增减（单调）性1.函数的单调增加：

在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间I上单调增加,记为。

函数的单调性是一个局部性的性质,它与所讨论的区间I有关.

在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间I上单调减少,记为。2.函数的单调减少：现在利用函数的导数来判定函数的增减性：二、函数的单调性的判定

用来判断函数的单调性于是由拉格朗日中值定理的我们知道:定理4.3：说明:在上面的结论中于是:的问题讨论但事实上:观察下面的图形,你能得出什么结论？其他分界点:综上所述,可知:在讨论函数的单调性时，一般先求出函数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点,然后按这些点将所讨论的区间分成小区间,在每个小区间内函数只有一种单调性,利用导数符号判断函数是单调增加还是单调减少.

提供了判断函数单调性的方法例1解例2解

列表可使问题明朗化图形想象？利用辅助函数来处理例3证第四节函数的极值函数的极值是个局部性的概念.函数极值有关的定理和公式有:费马定理—可微函数取极值的必要条件函数的单调性判别定理和方法利用高阶导数判别极值一.极值的概念：1.极大值（点）：极大值（点）就是峰

极大值（点）：小>小小2.极小值（点）：极小值（点）就是谷

极大值、极小值统称为极值。３.极值（点）：

极大值点、极小值点统称为极值点。1.费马定理

可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.定理二.极值的判定定理：费马定理的几何解释

如何证明？则有于是（极小值类似可证）证如何保证函数在区间内部取极值？

费马PierredeFermat(1601－1665)

费马，法国数学家.出身于一个商人家庭.他的祖父、父亲、叔父都从商.他的父亲是当地的第二执政官,经办着一个生意兴隆的皮革商店.

费马毕业于法国奥尔良大学，以律师为职.曾任图卢兹议会会员,享有长袍贵族特权.精通6种语言.业余爱好数学并在数论、几何、概率论、微积分等领域内作出了创造性的工作.费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡”.首先考察下列函数的图形:通过观察以上的图形你得到什么结论？极值可疑点判别函数的极值点,主要是判别极值可疑点左、右对于可微函数将归结于判别函数的导数的符号.两侧函数的单调性.(左边单调增加)(右边单调减少)(左边单调减少)(右边单调增加)定理证由定理中(1)的条件,得由定理中(2)的条件,得列表讨论单调性,判别极值:例４解极小极小极大自己总结求极值的步骤此时应另找其他方法.定理例6解怎么办？例５解此时应另找其他方法.什么方法？

高阶的导数？定理定理综上所述,在工程技术和生产实践中,常常需要考虑在一定条件下,怎样才能使用料最少、费用最省,而效率和效益最高等问题.这些问题反映到数学上就是最优化问题.

优化技术应用价值很大第五节函数的最大、最小值

怎样求函数在一个区间上的最大、最小值呢？回忆以前学过的知识：取到它的最大值和最小值.取得其最大值和最小值,则这些最值一定是函数的极值.的最大值和最小值可能在区间的端点也可能在区间内部取得.温故而知新求一个连续函数在上的最大值和最小值,只要先求出函数一切极值可疑点(驻点和一阶导数不存在的点),然后比较极值可疑点的函数值及区间端点函数值,其中最大者就是函数最小者就是函数求最值的几个特殊情况极大(小)值点,则该点就是函数的最大(小)值点.实际判断原则计算函数值:(端点值)例６解

没有什么新的东西用薄铁片冲制圆柱形罐头,要求它的容积固定为Ｖ,问应如何选择它的半径和高度才能使用料最省?设容积(体积)为V,半径为r,高为h.

用料最省即指容器的表面积A最小.应用题例７解又Ｓ的最小值一定存在,故当要求的容器的容积为Ａ时,选择半径

如果不放心,可用二阶导数进行判断.用薄铁片冲制圆柱形无盖容器,要求它的容积一定,问应如何选择它的半径和高度才能使用料最省?设容积(体积)为V,半径为r,高为h.

用料最省即指容器的表面积A最小.应用题例8解又A

的最小值一定存在,故当要求的容器的容积为A时,选择半径

如果不放心,可用二阶导数进行判断.某出版社出版一种书,印刷x册所需成本为每册售价p与假设书可全部售出,问应将价格p

定为多少才能使出版社获利最大？例9由经验公式,得于是得唯一极值可疑点解即为L的最大点.

从而应将价格p定为此时最大获利为将一根直径为

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