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专题三立体几何拓展优化立体几何中的截面、交线问题立体几何中截面与交线问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性强，思维层次高，能够培养学生直观想象和逻辑推理等数学核心素养.思路点拨先确定四边形BFD1E为平行四边形，连接BD1，设△BFD1中BD1边上的高为h，于是S四边形BFD1E＝2S△BFD1＝BD1·h＝2h，因此只需求h的最小值即可.也可以用射影面积法求解.解析法一根据题意作图，如图所示，过点F作FH⊥BD1交BD1于H，设FH＝h.由题意得BD1＝2.因为长方体对面平行，当h取最小值时四边形BFD1E的面积最小.易知h的最小值为直线CC1与直线BD1间的距离.易知当F为CC1的中点时，h取得最小值，法二(射影面积法)设平面BFD1E与底面ABCD的交线为l.如图所示，过D1作D1H⊥l于H.连接DH，则∠D1HD为二面角D1-l-D的平面角，设为θ.则当cosθ最大时，S四边形BFD1E最小.当cosθ最大时，分析易知DH最长.点津突破思路点拨依题设，确定点P的轨迹(截面圆的圆周)，根据条件关系计算截面圆的半径，进而求出轨迹长度.解析设底面Rt△ABC的直角边的边长为x(x>0)，∴球心O到底面ABC的距离为又∵顶点P到底面ABC的距离为4，∴顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周(球心在底面ABC和截面圆之间)且球心O到该截面圆的距离为d2＝1.[跟踪演练]1.(多选)(2021·重庆七校联考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别是AB，BC，B1C1的中点.下列命题正确的是(

) A.以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形 B.P在直线FG上运动时，AP⊥DE C.Q在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1QC的体积不变 D.若M是正方体的面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段BCD解析

如图，对于A选项，举反例，以A1为顶点，△ABC为底面的三棱锥，4个面都是直角三角形，A错误；对于B选项，当P在FG上运动时，P在底面的投影为F，连接AF，显然DE⊥AF，DE⊥PF，AF∩PF＝F，又AF，PF⊂平面APF，因此DE⊥平面APF，又AP⊂平面APF，因此DE⊥AP成立，B正确；对于C选项，当点Q在BC1上运动时，△AD1Q的面积不变，点C到平面AD1C1B(即平面AD1Q)的距离为定值，因此三棱锥AD1QC的体积不变，C正确；对于D选项，连接A1B，显然平面A1BCD1上的点到点D和C1距离相等，而平面A1BCD1∩平面A1B1C1D1＝A1D1，所以M点的轨迹是线段A1D1，D正确.解析如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点.解析如图，把三棱锥P-ABC放在棱长为2的正方体中，则正方体的体对角线长为三棱锥P-ABC的外接球的直径.π设三棱锥

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