重庆大学高数工学下期末试题五含答案

-.z.命题人:组题人:审题人:命题时间:命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级****考试教室公平竞争、老实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密20—20学年第学期开课学院:数统学院课程号:考试日期:考试时间:120分钟题号一二三四五六七八九十总分得分考试提示考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;2.考试作弊,留校观察,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.一、选择题(每题3分,共18分)1.如果为共线的单位向量,则它们的数量积(A)(B)(C)(D)知识点:向量的数量积,难度等级:1.答案:D分析:=2.微分方程的通解是(A)(B)(C)(D)知识点:微分方程,难度等级:1.答案:D分析:将方程改写为并积分,得通解故应选(D).3.设空间区域则(A)(B);(C)(D)知识点:三重积分计算,难度等级:2.答案:A4．假设是上半椭圆取顺时针方向,则的值为(A)(B)(C)(D)知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1.答案:C分析:题中半椭圆面积为要用格林公式,添有向线段应选C.5.设函数连续,并对的任意闭曲线有且则(A)(B)(C)(D)知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,微分方程.难度等级:3.答案:D分析:由条件知,积分与路径无关,有即A,B选项显然不满足方程,而C含常数,也不能满足方程,应选D.验证D满足,或用一阶线性微分方程求出为D.6.曲面包含在柱面内部那局部面积(A)(B)(C)(D)知识点:曲面面积,难度等级:2.答案:B分析:在投影区域化为二重积分为=选B.二、填空题(每题3分,共18分)7.级数的和为知识点:级数的和.难度等级:2.答案:分析:8.其中为螺线的一段.知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1.答案：解:弧长的微分为于是9.过点和作一平面,使该平面与轴平行,则该平面方程为知识点:平面方程,难度等级:2.答案:分析:平面的法向量,且,取过点平面方程为即10.函数在点处沿方向的方向导数为知识点:函数的方向导数.难度等级:1答案：解:11.设为平面在第一卦限的局部的上侧,将化为对面积的曲面积分的结果为知识点:两种曲面积分之间的转换.难度等级:2.答案:分析:第二型曲面化为第一型曲面积分,只需求出有向曲面侧的单位法向量,与被积向量函数作内积即可,平面法向量为长度为5故得结果.12.设是圆锥面被圆柱面所截的下局部,则知识:对面积的曲面积分,对称性.难度等级:3.答案:分析:曲面关于轴对称,为关于的奇函数,故只需算的积分值,三、计算题(每题6分,共24分)13.计算积分其中为摆线的一拱.知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:2分析:了积分路径的参数方程,直接代入计算积分.解:由题设于是14.求的通解.知识点:微分方程,变量代换,一阶线性微分方程.难度等级:2分析:,假设令,原方程可化为一阶线性方程.解:将原方程改写为令则于是方程化为这是一阶线性非齐次方程.由通解公式故15.计算其中是由曲面及平面所围成立体外表外侧.知识点:对坐标的曲面积分,高斯公式.难度等级:3分析:利用高斯公式并注意对称性.解:利用高斯公式,并注意对称性,知又16.计算第二类曲线积分其中为球面与柱面对的交线,其方向是面对着正轴看去是反时针的.知识点:对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,对称性.难度等级:3分析:利用斯托克斯公式,合一投影,并注意对称性的使用.解:(∵关于轴对称,是关于的奇函数)四、解答题(每题6分,共12分)17．判断级数的敛散性.知识点:级数敛散性的判断.难度等级:2分析:取用比拟判别法的极限形式.解:由于收敛,故级数收敛.18．求函数在闭域上的最大值和最小值.知识点:二元函数在闭区域上的最值.难度等级:2分析:先求函数的驻点,得到在区域内部可能的最值点,然后求边界上可能的最值点.解:由得内驻点且在边界上比拟后可知函数在点取最小值在点取最大值证明题(每题6分,共12分)19．设函数具有一阶连续偏导数,且对任意实数有是自然数),试证曲面上任一点的切平面都通过一定点(设在任一点处,有).知识点:齐次函数,切平面.难度等级:2分析:曲面在一点的切平面方程为求出此方程,可以发现坐标原点满足方程.证明:由条件可得曲面上点处的切平面方程为即易知满足上述平面方程,所以曲面的任意切平面都通过定点.20.设单调增,且收敛.证明:(1)单调减.(2)收敛.知识点:级数敛散性的判断.难度等级:2证:(1)单调减.(2)而收敛,由比拟判别法,收敛.应用题(每题8分,共16分)21.设在面上有一质量为的匀质半圆形薄片占有平面闭域过圆心垂直于薄片的直线上有一质量为的质点求半圆形薄片对质点的引力知识点:平面薄片对质点的引力,难度等级:3分析:由引力公式,建立二重积分计算解:设P点的坐标为薄片的面密度为设所求引力为由于薄片关于轴对称所以引力在轴上的分量而22．一质量为的船以速度沿直线航行,在时,推进器停顿工作(动力关闭).假设水的阻力正比于