双曲线复习教案

双曲线复习教案重点、难点：.双曲线的定义平面内到两个定点可，F2的距离之差的绝对值等于常数2a（a>0且2a<1耳耳1）的动点的轨迹，叫做双曲线，其中耳，F2叫做双曲线的焦点，吟g1的长称为双曲线的焦距。注：（1）该定义的叙述方式与椭圆的定义有许多相似之处，但不同的是椭圆定义中“到两个定点斗，F2的距离之和”而此处为“到两个定点斗，F2的距离之差”，而且是“距离之差的绝对值”，为什么要这样来定义呢？因为若去掉“绝对值”，则按定义只能画出（得到）双曲线的一支，就不能称为双曲线。（2）条件"2a<IF1F2l”的作用是什么？若2a=%g1,则动点轨迹将是与F1F2共线，以1，F2为端点的，线段F1F2之外的两条射线，已不再是双曲线；若2a>叫?1,则平面内这样的点不存在，此时无轨迹。.双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上：———y―=1a2b2（2）焦点在y轴上：- =1a2b2注：（1）双曲线方程与椭圆方程有相似之处（两个平方项，常数1）,又有不同之处（椭圆方程中为两个平方项之和，双曲线方程中为两个平方项之差）。（2）焦点位置与方程形式之间的关系：焦点总是在平方项中正项相关的轴上，如方程星—a=1的正的平方项为丑，则它表示焦点在x轴上的双曲线；同理匕—左=1则表a2b2 a2 a2b2示焦点在y轴上的双曲线；另外，a2总是与x2,y2的正项相随，即总是与焦点所在的轴相随。.双曲线二—二=1的几何性质：a2b2（1）图形的范围：该双曲线在直线x=-a的左侧，以及直线x=a的右侧（这是因为—=——\-1N1,x2Na2,IxlNa,即xV—a或xNa。）a2b2（2）图形的对称性：双曲线关于x轴、y轴、原点对称（原点称为该双曲线的中心）（3）焦点与顶点坐标：F1（—c,0）,F2（c,0）；A1（—a,0）,A2（a,0）A1A2称为双曲线的实轴，，而把端点为B1（0,—b）,32（0,b）的线段称为双曲线的虚轴，显然实轴长为2a,虚轴长为2b。，.、一、》c（4）i离心率e=-（由于c2=a2+b2，所以c>a,从而e>1）a（5）渐近线：把直线y=bx及y=—^x称为双曲线的渐近线。aa因为当xf8时，双曲线上的点无限逼近这两条直线。（6）准线：把直线x=四及x=—竺称为双曲线的准线。c c

TOC\o"1-5"\h\z因为双曲线的点P到左焦点F(-c,0)的距离与P到直线x=-它的距离之比等于离1 c心率0；P到右焦点F(c,0)的距离与P到直线x=丝的距离之比等于离心率0,(这是双2 c曲线的一条重要几何性质，在解题时的用处很大)。注：由以上性质易导出双曲线的焦半径公式。设P(x,y)是双曲线及-上=1上一点，F,F是双曲线左、右焦点，贝U0 0 a2b2 1 2IPFI=ex-a,IPFI=ex+a。.等轴双曲线、共轭双曲线：(1)若双曲线的实轴长等于虚轴长，即a=b,则称这双曲线为等轴双曲线。其方程为--=1或y―---=1,此二者可统一■为Ix2-y2I=a2a2a2 a2a2其离心率e=v2，渐近线方程为y=土x(2)若一双曲线的实轴、虚轴恰是另一双曲线的虚轴、实轴，则称这两条双曲线互为共轭双曲线。如双曲线——如双曲线———=1的共轭双曲线方程为y———=1。a2 b2b2 a2显然，依共轭双曲线的定义，共轭双曲线有共同的渐近线，且它们的焦点共圆。.共渐近线的双曲线系方程：与殳一y与殳一y2=1共渐近线的双曲线系方程为-—a2 b2a2——=X(入w0，入为参数)，入取不同b2值，就表示不同双曲线，但它们都有相同的渐近线(人>0表示焦点在x轴上的双曲线；入<0表示焦点在y轴上的双曲线)。【典型例题】例1.椭圆—+—=1(m>n>0)，与双曲线———=1(a>0，b>0)有相同的焦点F，mn ab 1F2，P是两条曲线的一个交点，则IPFJPFJ的值为()A1， 、^(mA1， 、^(m-a)C.m2-a2分析：如下图，m-aD.vm-Ja根据椭圆的几何性质:IPFJ+IPFJm2v'm・•.(IPF]I+IPF2I)2=4m (1)根据双曲线的几何性质，得：IIPF1I-IPF2II=2&・•.（IPF1I-IPF2I）2=4a （2）（1）-（2）可得4IPF1IIPF2I=4m-4a・•.IPFJIPFJ=m-a,选B注：利用椭圆，双曲线的定义解题，是最基本的方法之一，要对此类题多练、多总结。例2,求双曲线9x2-16y2=144的实轴、虚轴长；焦点、顶点坐标；离心率、渐近线、准线方程。解：先把方程化为标准形式直-y2=1，a2=16,b2=9,c2=2516 9・二a=4，b=3，c=5（1）实轴长为2a=8，虚轴长为2b=6（2）焦点坐标为FJ-5，0），F2（5，0），顶点为AJ-4，0），A2（4，0）c5（3）离心率e=—=—a4（4）渐近线方程为y=±gx=±|x（5）准线方程为x=±史=±—c5注：由双曲线方程获取双曲线的几何特征，几何性质，是一类基本而重要的问题，应熟练掌握。例3.（1）求焦距为6,且过P（3，5）的双曲线标准方程；2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 9（2）求渐近线方程为y=±]x，且过点M（|，-1）的双曲线方程；（3）求离心率为—，且与椭圆及+^2=1有相同焦点的双曲线方程。2 13 3解：（1）若双曲线焦点在x轴上，则其标准方程可设为及-二=1a2b2•:2c=6，/.c=3，「.a2+b2=9 5 9 25又双曲线过P（3，-），--5-=12 a24b2联立以上两方程，解得a2=4，b2=5此时双曲线方程为—y―=14 5若双曲线焦点在y轴上，则其标准方程可设为之-坛=1a2b2•:2c=6，/.c=3，「.a2+b2=95 25 9・•・双曲线经过P（3，5），工--=14a2b2联立以上两方程，解得a2=3,b2=6此时双曲线方程为y———=16综上可知，所求双曲线方程为——=1或y―———=15 3 6（2）方法一：（因不明双曲线类型，故对焦点在x轴、y轴上两情形分类讨论）设双曲线方程为左—22=1，则由已知，可得a2b2.81 1,下一记一na2=18,b2=8b2=—〔a3此时双曲线方程为——y―=118 8设双曲线方程为y2—左=1，则由已知，得a2b2'——-81=1<a24b2方程组无解a2=—〔b3综上可知，所求双曲线方程为x2—工=118 8方法二：（先由已知判断点M在平面被渐近线所分割的四个部分中的哪个区域推断双曲线类型，而后再待定方程中的a2,b2）9 2 29把乂=2代入渐近线方程丫=±3x，得y=±3x9=±3而点M的纵坐标为yM=—1e[—3，3]可见，双曲线的焦点在x轴上，故可设其方程为x2—止=1a2b2（以下略解，是方法一中的第一类情形）方法三：（为了避免判断的困难，还可利用共渐近线的双曲线系方程来先设出双曲线方程的形式，再由某已知条件，待定相关系数）2•••双曲线的渐近线方程为y=±鼻x即双曲线的渐近线方程为x2—/=09 4由此可设双曲线系方程为x2—上八6丰0）949•双曲线经过点M（—，—1）2•••旦—匕1）2=入，解得入=29 4・•・所求双曲线方程为左—二=294注：以上三种解法各有所长，可因人而宜，当然，利用共渐近线的双曲线系的方程求解，避开了对双曲线方程类型的讨论与判断，简化解题过程，但方法二也是较为通行的，

比较简便的方法之一。(3)由已知，椭圆的焦点在x轴上，其半焦距为c=<10・••双曲线的焦点在x轴上，且其半焦距也为c=<10e=—=——， a=2v2，从而b=<2a2・•・所求双曲线的方程为殳-y2=18 2注：本例的三个题目皆为基本的求双曲线的方程的问题，由双曲线满足的几何条件，来求其方程，是另一类基本而重要的问题，应切实掌握。例4,斜率为2的直线，被双曲线2x2—3y2=6截得的线段长为4，求该直线的方程。分析：这是一道由直线与双曲线的位置关系来研究方程的问题，条件简明，已知弦长求直线方程，而直线的斜率已知，故可设直线的斜截式方程，按照直线与双曲线相交求弦长的基本方法，列出关于截距的方程，待定截距即可。解：设所求直线l方程为y=2x+by=2x+bn2x2—3(2x+b)2=6[2x2—3y2=6n10x2+12bx+3b2+6=0设1与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)，贝x1+X26b 3b2x1+X210-x2-x2)2=(⑦3b2+66b2-6010= 25(6b2-60)从而(y1-y2)2=[2(x1-x2)]2=4(x1-x2)2=4x—— 乙J・•.IABI=\；(x-x)2+(y-y)2-；5xi6b^=41 2 1 2 \ 25解方程，得b=±乌03••・所求直线方程为y=2x±*例5.双曲线的中心在原点，过其右焦点F(2,0),作斜率为J3的直线1与双曲线交于\5P、Q两点，且OP^OQ(O为原点)，求双曲线方程。分析：由已知，易得所求的是双曲线的标准方程，且其焦点在x轴上，因此可设出双曲线方程为-12=1,然后利用已知条件a2b2c=2na2+b2=c2=4OP1OQnkk=-1来列出a2,b2的方程组，待定a2,b2。OPOQ

l解：设双曲线方程为常〜=1另设ly=■3^（x-2）与双曲线相交于P（Xjy1），Q（X2，y2）■工c、l解：设双曲线方程为常〜=1另设ly=■3^（x-2）与双曲线相交于P（Xjy1），Q（X2，y2）■工c、y=I15(X-2)V5n(b2=1X2〔a2y2b23 12a2 12一.--5-a2)x2+—5—x-(-5-a2+a2b2)=0则x1-"a25b2—a25XJ?12-(-^-a2+a2b2)3

b2—a25而丫乂,13 3Ryq-2)=5个2-2(X1+%)+4]OP,OQ，・•・koP即X1X2+y1y2=0,-kOQ把X]=-1,X2，,y+y2=-1XX12y1y2的值代入，整理得12 ।o a2—a2b28(^ 5 b2-3a25-旦2)-6(-^―)+巨=05b2-3a2 55化简，得3a2-3b2+2a2b2=0 (1)\o"CurrentDocument"又c=2，「.a2+b2=c2=4 (2)联立⑴（2）解得a2=1或b2=3Ib2=-2a2=6一* 人，（不合题意，舍去）•••所求双曲线方程为x2-三1【模拟试题】一.选择题：TOC\o"1-5"\h\z.设双曲线卷-弓=1上的点P到点（5,0）的距离为15,则P到（-5,0）的距离是（ ）A.7B.23C.5或25D.7或23.与椭圆正+/=1共焦点，且两准线之间的距离为竺的双曲线方程为（ ）16 25 3\o"CurrentDocument"A.史-y2=1

5 4x2y\o"CurrentDocument"A.史-y2=1

5 4x2y2C.———匚=15 3B.及一上=15 3y2x2D.———=15 43.对于方程——y24=1和吟—y26（X>0且，丰1），所表示的双曲线有如下结论:（1）有相同的顶点（4）有相同的渐近线其中正确的是（ ）A.（1）（4） B.（2）有相同的焦点（5）有相同的准线（2）（4）（3）有相同的离心率（3）（4）（4）（5）4.双曲线/-1=1的一条准线方程为y=6，则实数k=（）A.—16B.—4 A.—16B.—4 C.12D.144x2y25.若P是双曲线——匕=1(a>0，b>0)上的点，F，a2b2 1AF]PF2的面积为( )A.a2tg-| B.b2tgTC.a2ctg-2F2是其焦点，且4产2=。，则D.,a

b2ctgy.填空题：.P是双曲线星—左=1上的点，它到右焦点F的距离为8，则点P到左焦点F的距离6436 2 1为，到左准线的距离为。.AABC的顶点B（—13，0），C（13，0），|AB|—|AC|=24，则顶点A的轨迹方程是3.过点（1，2），且渐近线为y=±3x的双曲线方程是.双曲线二—上=1的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，则离心菜=a2b2.若双曲线X2—殴=1被斜率为2的直线截得的弦长为6.5，则直线的方程为3.解答题：.已知定点A（—1，0），B（2，0），P为动点，且ZPBA=2ZPAB，求P点的轨迹方程。.求与椭圆2+上=1有共同焦点，渐近线方程为x±v3y=0的双曲线方程。16 8.已知双曲线3x272=12，F1，F2是它的两个焦点，问能否在双曲线上找到一点P，使P到左准线的距离|PD|是|PF|与|PF|的等比中项？

【试题答案】一.选择题：D提示：注意到点（-5,0）,（5,0）是双曲线的两个焦点，因此可利用双曲线的定义列出方程115-dl=2a=8，d表示P至U（-5，0）的距离解出d=7或23。DCX2 —提示：对于方程——y2=1,a=2,b=1,c=15而对于方程1-y2八，a'=2Vl,b'=a,c'=4显然a'相同。显然a'相同。4.A提示：b',c'分别是a,b,c的%次倍，因此这两条双曲线的离心率相同，渐近线也由准线方程形式y=6，可知双曲线的焦点在y轴上，这双曲线的方程应为TOC\o"1-5"\h\zy2 x2d--——=1的形式，即a2=-3k,b2=-k,(k<0)(-3k)(-k)解得卜=-16\o"CurrentDocument"a2 -3k解得卜=-16= =6,c <-4kD提示：设|PFJ=m,|PF2|=n，则由双曲线的定义及三角形的余弦定理，得||m-n|=2a[m2+n2-2mncosa=4c2Jm-n|=2a[(m-n)2+2mn-2mncosa=4c2n4a2+2mn(1-cosa)=4c22b2nmn= -cosa.一.b2sina anS=—mnsina= =b2ctg—△ 2 1-cosa2二.填空题：64.|PFJ=24；P到左准线的距离为工.顶点A的轨迹方程为工-上=1（x〉12）14425注意：A、B、C不能共线；|AB|〉|AC|,因此A的轨迹是双曲线的右支，且去掉点（12,0）。.双曲线方程为"匕-吧=155 55方法一：可判断点（1,2）与渐近线的相对位置，以确定该双曲线是哪种类型的双曲线，进而用待定系数法求出方程中的a2,b2；方法二：若利用共渐近线的双曲线系方程，则不需判断焦点位置，而只需设出双曲线方程的统一形式（：）2-（026（，手0），进而由双曲线经过点（1,2）,待定出入的值。

.e=—3解：由已知得2b=a+c)2又c2=a2+b2，消b得c2=a2+)2即5a2-3c2+2ac=0两边同除以a2得5-3(c)2+2(-)=0解得士=5，即双曲线的离心率e=-a3 310.l的方程为y=2x土v30消y，得解：设直线l方程为y=2x+b与x2-七消y，得x2-4bx-(b2+3)=0设l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1+x2=4b，x1x2=-(b2+3)从而1ABi=石石区-打=y;5J(X]+x2)2-4xf2=可16b2+4(b2+3)=6v5・•・直线l方程为y=2x土三.解答题:11.解：设P（x，y），则kPAx+1PB若P点