双曲线知识点与性质大全

双曲线与方程【知识梳理】1、双曲线的定义(1)平面内，到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2。(|FF\〉2a,a〉0)的点的轨迹称为双曲线，其中两定点F1、F2称为双曲线的焦点，定长2a称为双曲线的实轴长，线段F/J的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.【注】|伊勺1-1隼1|=2a=|隼|，此时P点轨迹为两条射线.(2)平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值式e>1)的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.2、双曲线的简单性质标准方程工-22=1(a,b>0)a2b222-x2=1(a,b>0)a2b2顶点坐标A(±a,0)B(0,±a)焦点坐标左焦点F(-c,0)，右焦点F(c,0)1 2上焦点f(0,c)，下焦点F2(0,-c)虚轴与虚轴实轴长2a、虚轴长2b实轴长2a、虚轴长2b有界性|x|>a2>a，对称性关于x轴对称，关于2轴对称，同时也关于原点对称.3、渐近线双曲线工—22=1(a,b>0)的渐近线为三—22=0，即-土；=0，或y=±-x.a2b2 a2b2 ab a【注】①与双曲线-2-22=1具有相同渐近线的双曲线方程可以设为三-22=入(入。0)；a2b2 a2b2②渐近线为y=±-x的双曲线方程可以设为-2-22=入(入。0)；a a2b2③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线.4、焦半径双曲线上任意一点P到双曲线焦点F的距离称为焦半径.若P(-0,y0)为双曲线02-y=1(a,b>0)上的任意一点，F(-c,0)，F(c,0)为双曲线的左、右焦点，则IPF1=ex+a，IPF1=ex-a，其中e=-.

1 2 10 20 a5、通径过双曲线x2-22=1(a,b>0)焦点F作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A、B两点，称线段AB为双曲线的通径,a2b2且|AB|=当word教育资料

6、焦点三角形P为双曲线宗-y=1(a,b>0)上的任意一点，勺(-c,0),FJc,0)为双曲线的左右焦点，称APF1F2为双曲线的焦点A三角形.若"一，则焦点三角形的面积为：saf,P「b2cota-7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b(虚半轴长).8、双曲线二-y2=1(a,b>0)的焦点三角形的内心的轨迹为％=土a(y丰0)a2b29、直线与双曲线的位置关系直线l:Ax+By+C=0，双曲线r：工—y2=1(a,b>0)，贝Ua2b2l与r相交Oa2A2—b2B2>C2;l与r相切oa2A2—b2B2=C2;l与r相离oa2A2—b2B2<C2.10、平行于(不重合)渐近线的直线与双曲线只有一个交点【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条.11、焦点三角形角平分线的性质点P(x,y)是双曲线02—y=1(a,b>0)上的动点，Ff2是双曲线的焦点，M是/勺pf2的角平分线上一点，且uuuururnrFM-MP=0,则O>M\=a即动点M的点的轨迹为x2+y2=auuuururnrFM-MP=0,则O>M\=a12、双曲线上任意两点的坐标性质则二X2—X2A(、,y1),B(x2,y2)为双曲线干—y-=1(a,b>0)上的任意两点，且|x则二X2—X2【推广1】直线I过双曲线a一皆二1(a，b>0)的中心,与双曲线交于A(x1，y)B(x2,y2)两点,P为双曲线上的任意一点则k意一点则kAPkBP=b（kP5kBP均存在）【推广2】设直线l：y=kx+m(m丰0)交双曲线三—y2=1(a,b>0)于C、D两点，交直线l：y=kx于点E.若E1 1 a2b2 2 2b2为CD的中点，则勺k2=b-.13、中点弦的斜率直线l过M(x,y)(y中0)与双曲线上—y2=1(a,b>0)交于A,B两点，且|am|=|bm|,则直线l的斜率k=一.000 a2b2 ABa2y014、点P(x,y)(x>0,y>0)是双曲线三—y2=1(a,b>0)上的动点，过P作实轴的平行线，交渐近线于M,N两a2b2点，则pM||PN|=定值a2.15、点P(x,y)(x>0,y>0)是双曲线三—y2=1(a,b>0)上的动点，过P作渐近线的平行线，交渐近线于M,N两a2b2word教育资料0 ab点则S=定值—TOC\o"1-5"\h\z，）JYOMPN 21【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为X土2y=0，焦距为10，这双曲线的方程为.x2 y2【变式1】若曲线口+「：=1表示双曲线，则k的取值范围是 .4十k1—kx2y2【变式2】双曲线彳-三=1的两条渐近线的夹角为4 8x2 y2 x2 y2【变式3】已知椭圆而十茄二1和双曲线而一亚二1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程为一【变式3】【变式4】若椭圆三十或=1(m>n>0)和双曲线上-二=1(a>0,b>0)有相同焦点F、F，P为两曲线的一个交mn ab 1 2点，则PfJ」pf2I=.【变式5]如果函数y=X-2的图像与曲线C:X2十入y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数