数控技术插补

数控技术插补第一页，共三十八页，2022年，8月28日第三章轮廓加工的数学基础

在插补过程中，计算机应在规定的插补时间Δt内给出各坐标方向的增ΔXi﹑ΔZi，因此实际的刀具位置为：第二页，共三十八页，2022年，8月28日第三章轮廓加工的数学基础

由于给定的进给速度F大小不同及直线的斜率不同，因此ΔXi﹑ΔZi值随之变化。由图可知：fi=FΔt。由于进给速度F的单位为mm/min，为使fi单位为mm/ms，则：

又：因此：第三页，共三十八页，2022年，8月28日扩展DDA法圆弧插补

将DDA的切向逼近改变为割线逼近。具体还是计算一个插补周期Δt内，轮廓步长L的坐标分量∆Xi和∆Yi由右图经过推导可得：其中:新加工点Ai’

的坐标位置

特点：计算简单，速度快，精度高。BAi’CXYMHQOAiAi-1第四页，共三十八页，2022年，8月28日3.5刀具半径补偿原理第三章轮廓加工的数学基础

在轮廓加工过程中由于刀具的磨损或因换刀引起的刀具半径变化，或在粗加工和半精加工时，还要预留加工量，故刀具中心的轨迹并不是零件的实际轮廓。第二章介绍了刀具半径补偿功能，如图所示，根据ISO标准，当刀具中心轨迹在编程轨迹前进方向的右边是，称为右刀补，用G42表示，反之为左刀补，用G41表示。刀具刀具中心轨迹编程轨迹第五页，共三十八页，2022年，8月28日第三章轮廓加工的数学基础

刀具半径补偿功能的作用要求数控系统根据工件轮廓程序和刀具中心偏移量，自动计算出刀具中心轨迹。所以刀具半径不是在CNC系统内部由计算机自动完成的，编程人员只按零件图纸的轮廓编制加工程序。在实际轮廓加工过程中，刀具半径补偿的执行过程分为：刀补的建立刀补的进行和刀补撤销三个步骤。

第六页，共三十八页，2022年，8月28日第三章轮廓加工的数学基础建立刀补

执行刀补

取消刀补

刀具轨迹中心编程轨迹刀补进行刀补建立刀补撤销起始点

本节介绍的主要内容：刀具半径补偿建立取消刀具中心点与刀具轮廓起点和终点的位置关系；工件轮廓拐角时，刀具中心拐点与工件轮廓拐点的位置关系。第七页，共三十八页，2022年，8月28日直线两端点处刀具中心的位置

如图所示，刀具半径为r，左刀补G41刀具中心轨迹ab直线；右刀补G42刀具中心轨迹cd直线。由图中的几何关系可知：a点:Xa=XA-Ag

Ya=YA+ga

b点:Xb=XB-Be

Yb=YB+eb

c点:Xc=XA+Ah

Yc=YA-hc

d点:Xd=XB+Bf

Yd=YB-fd

由图可知：ΔagA,ΔbeB,ΔdfB都与ΔAMB相似；AM=XB-XA,MB=YB-YA第八页，共三十八页，2022年，8月28日第三章轮廓加工的数学基础a点:Xa=XA-rsinαYa=YA+rcosαb点:Xb=XB-rsinαYb=YB+rcosαc点:Xc=XA+rsinαYc=YA-rcosαd点:Xd=XB+rsinαYd=YB-rcosα因此:G41G42

若把c点中的r值的符号改为负号，则和式a点中完全一样，因此再实际应用中，只用式前两式计算直线端点处的刀具中心位置，在G41方式下r取正值，在G42方式下r取负值。

第九页，共三十八页，2022年，8月28日3.5.2圆弧两端点处刀具中心的位置如图所示圆弧AB是加工轮廓线，半径为R，加工方向是从A到B,刀具半径为r，G41方式时，刀具中心轨迹是ab,G42方式时，刀具中心轨迹是cd.由图可知：第十页，共三十八页，2022年，8月28日第三章轮廓加工的数学基础顺圆G41G42

r值在顺圆弧G41方式和逆圆弧G42方式下r取正值，在顺圆弧G42方式和逆圆弧G41方式下r取负值。

第十一页，共三十八页，2022年，8月28日第三章轮廓加工的数学基础工件轮廓有拐点时，拐点可是直线与直线、直线与圆弧、圆弧与圆弧的交点。图中AB,AD为刀具半径矢量。对应于编程轨迹OA,AF，刀具中心轨迹JB与DK交点为C.

直线拐角时拐角的大小等于两直线矢量的夹角；直线与圆弧连接时拐角的大小是直线矢量与拐点处圆弧切线矢量的夹角；圆弧与圆弧连接时是两圆弧在交点处切线矢量的夹角。由于两矢量夹角不同以及G41,G42偏置方向不同，使刀具中心轨迹的转接方式有所不同，共有三种转接方式：缩短型，伸长型和插入型。

3.5.3转接矢量计算第十二页，共三十八页，2022年，8月28日第三章轮廓加工的数学基础伸长型（如图所示）在G42方式下，两矢量夹角α:

0º<α<90º

刀具中心越过B点，在C点转折，比OA多走了BC的距离，比AF多走了CD的距离→亦称伸长型。在G41方式下，两矢量夹角α:

270º<α<360ºG41G42第十三页，共三十八页，2022年，8月28日缩短型（如图所示）第三章轮廓加工的数学基础

编程轨迹OA、AF，刀具中心轨迹JB与DK将在C点相交。这样，相对于OA和AF而言，缩短一个CB与CD的长度。在G41方式下，两矢量夹角α

:

0º<α

<180º在G42方式下，两矢量夹角α

:

180º<α

<360ºG41G42第十四页，共三十八页，2022年，8月28日插入型(如图所示)第三章轮廓加工的数学基础在G41方式下，两矢量夹角α

:

180º<α

<270º在G42方式下，两矢量夹角α

:

90º<α

<180º刀具中心在C点和C′点两次转折，CC′是插入直线必须保证BC=DC′＝r

G41G42第十五页，共三十八页，2022年，8月28日

3.5.4轮廓拐角处刀具中心的圆弧连接

上述刀具中心转接方式都是折线另一种转接方式是圆弧，如图所示。利用（3-17）和（3-19）式计算出刀具中心在直线或圆弧端点的位置，在两矢量的起点和终点连接处，以轮廓拐点为中心，以刀具半径为半径，插入圆弧。作为刀具中心在拐角处的运动轨迹，由于圆弧连接不需要作转接交点的复杂计算，因而简单方便，但因刀具圆周在作圆弧拐角时与轮廓拐角相接触，因而不能得到完好的尖角。

第十六页，共三十八页，2022年，8月28日第三章轮廓加工的数学基础

对于缩短型，插入的圆弧将使刀具产生过切现象，这是圆弧过度的弊端。如图3-28所示。两矢量连接时，刀具中心相对前一矢量的终点和后以矢量起点位置都是由式3-17或式3-19计算得出，插入的圆弧又是刀具中心移动轨迹，因而对于缩短型必然产生过切现象。利用圆弧连接件编程时，应把编程轨迹改成有过渡圆弧的形式，如图3-29所示，过渡圆弧要大于或等于刀具半径，并且与原来的工件轮廓线相切。第十七页，共三十八页，2022年，8月28日第四章数控加工与编程的

数值计算方法

数控加工与数控编程实质上是曲线、曲面几何学在机械制造业的应用。数控加工中，有简单曲线和曲面（如直线、圆弧及球面等）数学描述及处理；还有不能用二次方程描述的、形状复杂的曲线或曲面→自由曲线或自由曲面。第十八页，共三十八页，2022年，8月28日

自由曲面是工程中最复杂而又经常遇到的曲面，在航空、造船、汽车、能源、国防等部门中许多零件的外形如各种叶片曲面、各种螺旋桨叶曲面、许多变距螺旋面以及模具工作面等均为空间自由曲面，其形状复杂、材料难以加工、精度要求高，在整个部件生产过程中其加工质量和加工效率的高低举足轻重。第十九页，共三十八页，2022年，8月28日1963年美国波音公司佛格森将曲线曲面表示为参数矢量函数式；1964年美国麻省理工学院（MIT）孔斯用封闭曲线的四条边界定义一块曲面；同一年，舍恩伯格提出了参数样条曲线、曲面的形式；1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝齐尔（Bezier）提出用控制多边形定义曲线和曲面的方法；1972年，德布尔（deBoor）给出B样条标准的计算方法；1974年,美国通用汽车公司戈登（Gorden)将B样条理论用于形状描述，提出B样条曲线、曲面；1975年，美国人佛斯普里尔在博士论文中提出有理B样条方法；20世纪80年代，美国人皮格尔等将有理B样条发展成为非均匀有理B样条（NUBRS)方法。用NUBRS方法可统一表示初等解析曲线和曲面，成为当今自由曲线和曲面最广为流行的技术。第二十页，共三十八页，2022年，8月28日4.1基点和节点计算

机械零件由几种不同几何元素构成的，如，直线、圆弧、二次曲线等。基点：各个几何元素之间的连接点，如：直线与直线的交点，直线与圆弧的交点或切点，圆弧与圆弧的交（切）点，圆弧与一般二次曲线的交（切）点等。对于直线和圆弧组成的平面零件，由于数控系统都有直线和圆弧插补功能，数值计算较简单，主要是确定基点坐标、圆弧的中心坐标。有了基点的坐标，就可编写出这些直线和圆弧的加工程序。第二十一页，共三十八页，2022年，8月28日4.1.1节点的计算

对于自由曲线，一般的数控系统不具备自由曲线的插补功能，做法是：即将这类轮廓曲线按编程允差分割成许多小段，用直线或圆弧来代替(即逼近)这些曲线小段。节点：逼近直线或圆弧小段与轮廓曲线的交点或切点称为节点。

数值计算的任务就是求算节点的坐标。

第二十二页，共三十八页，2022年，8月28日

在数控加工方法中所说的空间立体曲面的行切法加工，实际上是用许多平行的平面曲线来逼近空间曲面，这时需求出所有的平面曲线，面且还要计算各平面曲线上的基点或节点，然后再编写各节点、基点之间的直线或圆弧加工程序。

第二十三页，共三十八页，2022年，8月28日4.1.2非圆曲线的节点计算非圆曲线：除直线、与圆外，可用y=f(x)表示的平面曲线。节点的数目及其坐标值取决于曲线的特性，逼近线段的形状及允许的迫近误差δ允。根据这三方面的条件、可用数学方法求出各节点的坐标。是用直线还是圆弧作为逼近线段，则应考虑在保证逼近精度的前提下，使节点数目少，计算简单。

1）曲率半径大的曲线用直线逼近较为有利；

2）曲线某段接近圆弧，用圆弧逼近有利；常用的逼近线段与节点计算方法有以下几种。第二十四页，共三十八页，2022年，8月28日1.等间距直线逼近法方法：使每一个程序段中的某一个坐标的增量相等。直角坐标系：令x坐标的增量相等；极坐标系：令转角坐标的增量相等，也可令向径长度的增量相等。图中为加工一个凸轮时，x坐标按等间隔分段时节点的分布情况。间距的大小一般根据零件加工精度凭经验选取。第二十五页，共三十八页，2022年，8月28日从上图看出，不一定每一段都要验算。只需验算y坐标增量值最大的线段(如小A1A2段)；曲率比较大的线段(如A5A6段)；有拐点的线段(如A6A7段)。如果这些线段的逼近误差小于允许值，其他线段一定能满足要求。下图中A1A2是要验算的线段，曲线的方程距直线A1A2为δ允的直线方程式中：A=y1-y2,B=x2-x1,C=y1(x1-x2)－x1(y1-y2)第二十六页，共三十八页，2022年，8月28日2.等弦长直线逼近法方法：使每个程序段的直线段长度相等。由于零件轮廓曲线各处的曲率不同，因此，各段的逼近误差不相等，必须使最大误差仍小于δ允。一般说来，零件轮廓曲线的曲率半径最小的地方，逼近误差最大。先确定曲率半径最小的位置，然后在该处按照逼近误差小于等于δ允的条件求出逼近直线段的长度，用此弦长分割零件的轮廓曲线，即可求出各节点的坐标。

第二十七页，共三十八页，2022年，8月28日3.等误差直线逼近法该法是使每个直线段的逼近误差相等，并小于或等于δ允。所以上面两种方法都合理，程序段数更少。大型、复杂的零件轮廓采用这种方法较合理。第二十八页，共三十八页，2022年，8月28日4.圆弧逼近法

如果数控机床有圆弧插补功能，可用圆弧去逼近工件的轮廓曲线。

但需要求每段圆弧的圆心、起点、终点的坐标值及圆弧半径。

节点的计算依据：圆弧段与工件轮廓曲线间的误差≤δ允。第二十九页，共三十八页，2022年，8月28日4.2三次参数样条曲线某些零件，如机翼外形、内燃机进排气门的凸轮曲线等，对外形的光顺性要求较高，曲线的光顺性就意味着曲线的导数要连续。如果要求曲线的一阶和二阶导数都是连续的，这可用三次样条曲线。样条：最初是在造船业中放样用的一根木料或塑料做成的弹性长条，放样员利用它通过型值点画出光滑的曲线，样条曲线便由此而得名。下面介绍三次参数样条曲线。第三十页，共三十八页，2022年，8月28日4.2.1.三次样条曲线定义：在区间[a，b]上给定n个点：x1,x2,…xn，得到a=x1＜x2

＜…＜xn=b,称在区间[a，b]上满足下列条件的函数S(x）为三次样条函数：1）在每一个子区间[xi,xi+1](i=1,2…n-1)上，S(x)都是三次函数。2）在整个区间[a,b]上，S(x)连续，且具有连续的一阶和二阶导数。则称S(x)为[a，b]上，以xi(i=1,2,…n)为节点的三次样条函数。第三十一页，共三十八页，2022年，8月28日1.三次参数样条曲线方程曲线、曲面有显式、隐式和参数表示，从计算机图形学和计算几何的角度看，参数表示较好。曲线上每一点的笛卡尔坐标的参数是：

x＝x(t)y＝y(t)曲线上一点的参数表达式为：

p(t)＝[x(t),y(t)]工程上常用以弦长t为参数的三次