数据表示和数制

数据表示和数制第一页，共二十五页，2022年，8月28日一、数制数制是指用一组固定的数字和一套统一的规则来表示数目的方法。其中两个最基本的概念是：基数(Radix)：一个计数制所包含的数字符号的个数称为该数制的基数，通常用R表示，如二进制的R为2。位值(权)：任何一个R进制的数都是由一串数码表示的，其中每一位数码所表示的实际值大小，除数码本身的数值外，还与它所处的位置有关，由位置决定的值就叫位值(或称权，PositionalValue)。位值用基数R的i次幂(Ri)表示。第二页，共二十五页，2022年，8月28日

十进制，它由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10个数字符号组成,数字符号在不同的数位上表示不同的数值，每个数位均逢十进一。十进制数的基数为10，位权为10的指数次幂。

二进制数使用“0”和“1”这两个数字符号，遵循“逢二进一”的原则。例如：0+0=0；1+0=0+1=1；1+1=10；1+10=11；1+11=100。二进制数的基数为2，位权为2的指数次幂。

八进制数的数字符号有8个：0、1、2、3、4、5、6、7，“逢八进一”，它的基数为8，位权为8的指数次幂。第三页，共二十五页，2022年，8月28日

十六进制数的示数符号有16个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F，“逢十六进一”，它的基数为16，位权为16的指数次幂。八进制数和十六进制数均是为了方便书写和阅读时使用的，在计算机内部实际上所有的数均是二进制数。表1.1给出了十进制数字0-15所对应的二、八、十六进制数。第四页，共二十五页，2022年，8月28日表1.1十进制数与二、八、十六进制数对照表十进制二进制八进制十六进制十进制二进制八进制十六进制第五页，共二十五页，2022年，8月28日二、数制之间的转换通常人们习惯在一个数的后面加上一个字母B、D、H、O来区分其前面表示的一个数用的是什么数制。例如：101.01B表示二进制数101.01；A2BH表示十六进制数A2B等。B：二进制D：十进制H：十六进制O：八进制第六页，共二十五页，2022年，8月28日（1）非十进制数转换成十进制数利用按权展开的方法，可以将任意数制的一个数转换成十进制数。例如：将二进制01000001转换成十进制数如下：

01000001B=0×27+1×26+0×25+0×24+0×23+0×22+0×21+1×20=64+1=65D。假定要将125.7O转换成十进制数，其转换过程如下：第七页，共二十五页，2022年，8月28日其转换结果是：125.7O=1×82+2×81+5×80+7×8－1=64+16+5+0.875=85.875D。在八进制中，小数点左边的那位的权是1(80)，再左边一位的权是8(81)，依此类推。而小数点右边那些位的权，则是用基数(在此为8)去除，因此紧跟八进制小数点右边那位的权是1/8，即0.125，下一位是1/64，即0.015625。第八页，共二十五页，2022年，8月28日

r进制数要转换成十进制数非常简单，只需将每一位数字乘以它的权rn，再以十进制的方法相加就可以得到它的十进制的值。第九页，共二十五页，2022年，8月28日（2）十进制数转换成r进制数十进制整数数据转换成r进制采用的是除r取余法，具体过程介绍如下：（1）将十进制数除r，保存余数。（2）若商为0，则进行第三步，否则，用商代替原十进制数，重复第1步。（3）将所有的余数找出，最后得到的余数作为最高位，最先得出的余数作为最低位，或者说由余数逆序排列而成的新的数据就是转换成二进制的结果。第十页，共二十五页，2022年，8月28日十进制小数数据转换成r进制采用的是乘r取整法，具体过程介绍如下：（1）将十进制数乘r，保存得数中的整数部分。（2）若得数为0，则进行第三步，否则，用除了整数部分的小数部分的十进制数代替原十进制数，重复第1步。（3）将所有的整数找出，最后得到的整数作为最低位，最先得出的整数作为最高位，或者说由各整数按顺序排列而成的新的数据就是转换成二进制的结果。第十一页，共二十五页，2022年，8月28日例如把十进制数23转换为二进制数的过程如图1.10所示。第十二页，共二十五页，2022年，8月28日

【例】把0.47转换成二进制。用线图形式可演算如下：

0.47→0.94→0.88→0.76→0.52→0.04 ×2↓↓↓↓↓

整数01111 K－1K－2K－3K－4K－5在取5位小数时有(0.47)10=(0.K－1K－2K－3K－4K－5)2=(0.01111)2

第十三页，共二十五页，2022年，8月28日（3）二进制数与十六、八进制数的相互转换由于16=24

、8=23，所以在将二进制数转换成十六（八）进制数时，从小数点开始，分别向左和向右每四（三）位二进制数划为一组，用一位十六（八）进制数代替，也称为“以四（三）换一”；十六（八）进制数转换成二进制数时正好相反，一位十六（八）进制数用四（三）位二进制数来替换，也称“以一换四（三）”。第十四页，共二十五页，2022年，8月28日例如，要将二进制数转换成十六进制数，其转换过程如下：最终转换结果为：。例如，要将十六进制数26CE转换成二进制数，其转换过程如下：第十五页，共二十五页，2022年，8月28日原码、反码和补码在计算机中，不仅数值用0和1表示，而且正负号也用0和1表示。一般规定一个存储单元的最高位(最左边的一位)为符号位，如该位是0表示正，该位是1表示负。在计算机中，带符号的数通常有三种表示方法：原码、反码和补码。为简单起见，下面我们只考虑用一个字节表示整数时的原码、反码和补码。第十六页，共二十五页，2022年，8月28日

1.原码原码是一种机器数，原码表示法就是在机器中最高位用0表示正数，用1表示负数，而其余位表示数本身。例如：

+15的原码为：00001111 ↑

代表正 －15的原码为：10001111 ↑

代表负

+0的原码为：00000000

－0的原码为：10000000同一个0在计算机中有不同的表示，这不适合计算机的运算。第十七页，共二十五页，2022年，8月28日

2.反码在反码表示法中，正、负数的表示是不同的。正数的反码和原码是一样的，如+15的反码仍然是00001111。负数的反码为符号位是1、其他各位是对原码求反，如－15的反码为11110000。数值0的反码有两种：+0的反码为00000000，－0的反码为11111111。即在反码表示法中，0的表示仍然不惟一。第十八页，共二十五页，2022年，8月28日

3.补码鉴于以上情况，计算机内部采用补码方法来表示数值。采用补码方法的好处是可以简化设计与计算，把减运算转变为加运算来进行。我们以时钟为例来说明补码的原理。比如现在的标准时间是6点，而你的表停在11点的位置，如图1-1所示。要调准你的表可用两种方法：①向前拨7格；②向后拨5格。第十九页，共二十五页，2022年，8月28日第二十页，共二十五页，2022年，8月28日不管采用哪种方法，都能达到目的，可谓殊途同归，但从算式上来看：

11+7=18(向前拨) 11－5=6(向后拨)计算结果并不一样，那么操作结果为什么会一样呢?这是因为表盘的刻度是以12为周期的，超过12就又从头计数，因此上面的计算结果18因超过了12，再从头开始计数后也就得到了6。这个12就称为系统的模数，7和5相对于模数12来说称做是互补的，即一个数是另一个数的补码。从上面的计算可以看出，减一个数就等于加上它的补码，效果是相同的，这就是把减法变成加法的原理。第二十一页，共二十五页，2022年，8月28日在计算机中以一个有限长度的二进制位作为模。比如用一个字节表示一个数，则其模数为28，如运算结果超过28，就从中减去28。反映在内存中，其情况为

100000000即把8位以外的数舍掉。计算机中的补码是这样定义的：正数：其补码与其原码、反码相同。例如： ［+15］补=［+15］原=［+15］反=00001111

［+127］补=［+127］原=［+127］反=01111111负数：最高位为1，其余各位在原码的基础上取反，然后在最低位加1，简称“求反加1”。可用如下关系式表示：［x］补=［x］反+1第二十二页，共二十五页，2022年，8月28日

注意：各位取反时不包括符号位，即符号位不求反。例如： ［-15］原=10001111 ［-127］原=11111111

［-0］原=10000000 ［-15］反=11110000

［-127］反=10000000 ［-0］反=11111111

［-15］补=11110001 ［-127］补=10000001

［-0］补=00000000因为［-0］反+1=100000000，把超过8位的部分舍掉，则［-0］补的结果就是00000000，而+0的补码也是00000000，即在补码表示法中，0的表示是惟一的。在8位字长情况下，-128是一个特殊的数，计算机中规定它的表示为10