数值分析幂法

数值分析幂法第一页，共四十九页，2022年，8月28日第四章代数特征值问题第一节特征值的估计和数值稳定性第二节幂法和反幂法第三节求实对称矩阵特征值的雅可比（Jacobi）方法第四节求矩阵全部特征值的QR方法第二页，共四十九页，2022年，8月28日第一节特征值的估计和数值稳定性一、格希格林圆盘(Gerschgorin)第三页，共四十九页，2022年，8月28日第四页，共四十九页，2022年，8月28日第五页，共四十九页，2022年，8月28日第六页，共四十九页，2022年，8月28日第七页，共四十九页，2022年，8月28日第八页，共四十九页，2022年，8月28日第九页，共四十九页，2022年，8月28日二、特征值问题的稳定性第十页，共四十九页，2022年，8月28日第二节幂法和反幂法

一、幂法

求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。

它是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特

征向量。第十一页，共四十九页，2022年，8月28日

第十二页，共四十九页，2022年，8月28日第十三页，共四十九页，2022年，8月28日（4-8）

第十四页，共四十九页，2022年，8月28日定理4-2

证明

由递推公式（4-8），有第十五页，共四十九页，2022年，8月28日第十六页，共四十九页，2022年，8月28日第十七页，共四十九页，2022年，8月28日两种特殊情况第十八页，共四十九页，2022年，8月28日第十九页，共四十九页，2022年，8月28日幂法小结第二十页，共四十九页，2022年，8月28日二、幂法的加速

因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值,当比值接近于1时，幂法收敛很慢。幂法加速有多种，介绍两种。第二十一页，共四十九页，2022年，8月28日第二十二页，共四十九页，2022年，8月28日第二十三页，共四十九页，2022年，8月28日第二十四页，共四十九页，2022年，8月28日3、Rayleigh商加速第二十五页，共四十九页，2022年，8月28日三、反幂法

反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。第二十六页，共四十九页，2022年，8月28日第二十七页，共四十九页，2022年，8月28日可以证明反幂法计算格式第二十八页，共四十九页，2022年，8月28日四、利用原点平移的反幂法求任一特征值和特征向量第二十九页，共四十九页，2022年，8月28日第三节求实对称矩阵特征值的雅可比（Jacobi）方法Jacobi方法是用来求实对称矩阵的全部特征值和对应特征向量的一个古典算法。Jacobi方法的基本思想是对做一系列的正交相似变换，使其非对角元素收敛到零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。所用的矩阵为Givens矩阵，也称Jacobi旋转矩阵。第三十页，共四十九页，2022年，8月28日一、Givens矩阵第三十一页，共四十九页，2022年，8月28日第三十二页，共四十九页，2022年，8月28日第三十三页，共四十九页，2022年，8月28日第三十四页，共四十九页，2022年，8月28日第三十五页，共四十九页，2022年，8月28日第三十六页，共四十九页，2022年，8月28日第三十七页，共四十九页，2022年，8月28日第三十八页，共四十九页，2022年，8月28日第三十九页，共四十九页，2022年，8月28日第四十页，共四十九页，2022年，8月28日第四十一页，共四十九页，2022年，8月28日第四十二页，共四十九页，2022年，8月28日第四十三页，共四十九页，2022年，8月28日二、利用Givens变换阵将实对称矩阵A相似化简为对角阵Jacobi算法的基本思想:

第四十四页，共四十九页，2022年，8月28日第四十五页，共四十九页，2022年，8月28日(2)计算矩阵C第四十六页，共四十九页，2022年，8月28日（3）计算矩阵A的特征向量第四十七页，共四十九页，2022年，8月28日三、Jacobi法的改进（