数学物理方程八 特本征值问题

数学物理方程八特本征值问题第一页，共三十页，2022年，8月28日h柱坐标一、正交曲线座标系中的拉普拉斯方程直角坐标系中的拉普拉斯算子：柱座标：球座标（见附录6）第二页，共三十页，2022年，8月28日二、拉普拉斯方程的分离变量1.球座标：分离变量第三页，共三十页，2022年，8月28日欧拉形方程a.解：＃第四页，共三十页，2022年，8月28日b.球方程再令第五页，共三十页，2022年，8月28日b1.自然的周期边界条件：b2.l-阶缔合勒让德方程第六页，共三十页，2022年，8月28日b3.l-阶勒让德方程u是轴对称的，对φ的转动不改变u。第七页，共三十页，2022年，8月28日2.柱座标：分离变量a.h第八页，共三十页，2022年，8月28日b.c1.第九页，共三十页，2022年，8月28日c2.c2.1.贝塞耳方程上下底的非齐次边界条件h第十页，共三十页，2022年，8月28日c2.2.虚宗量贝塞耳方程上下底的齐次边界条件h第十一页，共三十页，2022年，8月28日三、波动方程的分离变量a.令振动方程亥姆霍兹方程第十二页，共三十页，2022年，8月28日四、热传导方程的分离变量a.令亥姆霍兹方程增长或衰变的方程第十三页，共三十页，2022年，8月28日五、亥姆霍兹方程1.球座标球贝塞耳方程第十四页，共三十页，2022年，8月28日它是阶贝塞耳方程第十五页，共三十页，2022年，8月28日2.柱座标第十六页，共三十页，2022年，8月28日上下底的齐次边界条件h第十七页，共三十页，2022年，8月28日9.2常点邻域的级数解法线性常微分方程在指定初始条件下的级数解法。对于复变函数：一、定义方程的常点：和在其邻域解析。否则为奇点。二、常点邻域的级数解定理：方程的常点的邻域中和解析，则在这个圆中存在唯一点解析解满足初始条件。由于解的唯一性，可将此解写为泰勒级数：第十八页，共三十页，2022年，8月28日三、勒让德方程度级数解法化为标准形式：是方程度奇点在点的邻域：1.级数解带入方程或第十九页，共三十页，2022年，8月28日递推公式系数的两个序列两个积分常量－第二十页，共三十页，2022年，8月28日第二十一页，共三十页，2022年，8月28日是方程度奇点，这个级数解在这两点是否收敛？2.解的收敛性可以证明，当解是无穷级数时，不可能在两点同时收敛。如果解是多项式，即只有有限项，这样的解可以在这两点同时收敛。由系数的递推关系可知：当是偶数，则偶次项的系数在以后为零。而奇次项的系数在时为零。当是奇数，则奇次项的系数在以后为零。而偶次项的系数在时为零。这样，得到阶勒让德多项式。3.自然边界条件解在保持有限。确定了勒让德方程的解必须是多项式，必须是整数。“解在保持有限”因此是自然边界条件，勒让德方程变成本征值问题，本征函数为勒让德多项式，是本征值。第二十二页，共三十页，2022年，8月28日9.4施图姆－刘维尔本征值问题一定的边界条件限制了常微分方程的解：仅当方程的参数取特定的值时，满足边界条件的解才存在。参数的特定值叫本征值，解叫本征函数，求解的问题就叫本征值问题。一、施图姆－刘维尔本征值问题施图姆－刘维尔型方程：化为施图姆－刘维尔型方程：即二阶常微分方程度最一般的形式：第二十三页，共三十页，2022年，8月28日例1振动方程：A为一常数。例2勒让德方程和有限。例3埃尔米特方程增长不超过标准形式第二十四页，共三十页，2022年，8月28日例：超几何方程：特点：端点是的一级零点。自然边界条件决定：第二十五页，共三十页，2022年，8月28日二、本征值问题不加证明如连续或最多以和为一阶极点，则存在无限多个本征值：及无限多本征函数2.所有本征值证：第二十六页，共三十页，2022年，8月28日第一类、第二类边界条件及自然边界条件决定右边一、二项为零。第三类齐次边界条件：所以即3.对应于不同的本征值的本征函数带权正交：本征值与本征函数一一对应：第二十七页，共三十页，2022年，8月28日证：第一、第二类齐次边界条件：第二十八页，共三十页，2022年，8月28日第