新教材人教a版选择性必修第二册4.2.1第二课时等差数列的性质与应用课件

第二课时等差数列的性质与应用核心知识目标核心素养目标1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质,并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.通过推导等差数列的性质及其应用,提升学生的数学抽象和逻辑推理素养,通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题,提升学生的数学建模和数学运算素养.知识探究·素养启迪课堂探究·素养培育知识探究·素养启迪某展会期间,人流如织,总参观人数超过7000万.根据有关部门统计,某展馆7月上旬平均每天参观人数为20万,在后面70天内,前40天每天增加万人,后30天每天减少1万人,情境导入探究:在这段时间内,有多少天参观人数能达到30万人?提示:30天.1.等差数列通项公式的变形及推广(1)an=dn+(a1-d)(n∈N*).(2)an=am+(n-m)d(m,n∈N*).知识探究2.若{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列,则有数列结论{c+an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an+an+k}公差为2d的等差数列(k为常数,k∈N*){pan+qbn}公差为pd+qd′的等差数列(p,q为常数)[问题1]等差数列去掉前面若干项后,剩下的项是否还构成等差数列?提示:是.改变了首项,公差不变.[问题2]等差数列中的奇数项、偶数项是否分别构成等差数列?提示:是.公差为原来的2倍.3.等差数列的项的对称性在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….4.下标性质在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则

.特别的,若m+n=2p(m,n,p∈N*),则有

.am+an=ap+aqam+an=2ap小试身手1.已知{an}是等差数列,则下列数列中的{bn}也为等差数列的是(

)C解析:{a3n}为等差数列,公差为原来的3倍.故选C.B解析:因为数列{an}为等差数列,所以a1+a5=2a3=6,所以a3=3.故选B.2.在等差数列{an}中,若a1=1,a5=5,则a3等于(

)(A)2 (B)3 (C)5 (D)1解析:因为2a7=a8+5=a6+a8,因此,a6=5.故选A.A3.(2021·四川成都高三月考)在等差数列{an}中,2a7=a8+5,则a6等于(

)(A)5 (B)10 (C)55 (D)604.在等差数列{an}中,若a2+a8=-3,a4=-2,则a6=

.

答案:-1解析:由a2+a8=a4+a6,得a6=-1.课堂探究·素养培育探究点一等差数列的性质[例1](1)在等差数列{an}中,a2+a5=10,a3+a6=14,则a5+a8等于(

)(A)12 (B)22 (C)24 (D)34方法总结等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.(2)利用性质巧解,观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),则am+an=ap+aq=2ar.即时训练1-1:(1)在等差数列{an}中,若a6+a8+a10=72,则2a10-a12的值为(

)(A)6 (B)16 (C)24 (D)60(2)(2020·陕西汉中高二月考)在等差数列{an}中,a1+a8+a15=72,则a2+a14的值为(

)(A)6 (B)12 (C)24 (D)48解析:(1)由等差数列的性质,a6+a8+a10=3a8=72⇒a8=24,而2a10-a12=2(a8+2d)-(a8+4d)=a8=24.故选C.(2)由等差数列的性质知,2a8=a1+a15=a2+a14,由a1+a8+a15=72,所以a8=24,即a2+a14=2a8=48.故选D.探究点二等差数列的综合应用(1)判断数列{cn}是否为等差数列,并说明理由;(2)如果a1+a3+…+a25=130,a2+a4+…+a26=117,试求数列{an}的公差d及通项公式.解:(2)因为a1+a3+…+a25=130,a2+a4+…+a26=117,所以两式相减得13d=-13,所以d=-1.因为a1+a3+…+a25=130,所以13a13=130⇒a13=10⇒a1+12d=a1-12=10,所以a1=22,所以an=22+(n-1)×(-1)=23-n.解决等差数列综合问题的方法策略(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.(2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.(3)利用函数或不等式的有关方法解决.方法总结即时训练2-1:已知{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若从数列{an}中,依次取出第2项,第4项,第6项,…,第2n项,按原来顺序组成一个新数列{bn},试求出{bn}的通项公式.解:(2)a2=4,a4=8,a8=16,…,a2n=2×2n=4n.当n>1时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.所以{bn}是以4为首项,4为公差的等差数列.所以bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.探究点三等差数列的实际应用[例3]某公司经销一种数码产品,第1年获利200万元,从第2年起由于市场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?解:由题意可知,设第1年获利为a1,第n年获利为an,则an-an-1=-20(n≥2,n∈N*),每年获利构成等差数列{an},且首项a1=200,公差d=-20,所以an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=-20n+220.若an<0,则该公司经销这一产品将亏损,由an=-20n+220<0,解得n>11,即从第12年起,该公司经销这一产品将亏损.(1)在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.(2)在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量.方法总结即时训练3-1:某市出租车的计价标准为元/km,起步价为10元,即最初的4km(不含4km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费?解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km时,每增加1km,乘客需要支付元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1=11.2,表示4km处的车费,公差d=1.2,那么当出租车行至14km处时,n=11,此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).即需要支付车费元.备用例题[例1]已知数列{an}为等差数列,且公差为d.(1)若a15=8,a60=20,求a105的值;(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.[例2]在两个等差数列2,5,8,…,197与2,7,12,…,197中,求它们的相同项构成数列的通项公式及相同项的个数.[例3]在通常情况下,从地面到10km高空,高度每增加1km,气温就下降某一个固定数值.如果1km高度的气温是8.5℃,5km高度的气温是-17.5℃,求2km,4km,8km高度的气温.解:用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列,则a1=8.5,a5=-17.5,由a5=a1+4d=8.5+4d=-17.5,解得d=-6.5,所以an=15-6.5n.所以a2=2,a4=-11,a8=-37,即2km,4km,8km高度的气温分别为2℃,-11℃,-37℃.课堂达标D1.(2021·广东汕头高二期中)设Sn为等差数列{an}的前n项和,且2+a5=a6+a3,则a4等于(

)(A)28 (B)14 (C)7 (D)2解析:由等差数列{an}的性质可得a4+a5=a6+a3,又2+a5=a6+a3,则a4=2.2.在等差数列{an}中,a2+a10=0,a6+a8=-4,a100等于(

)(A)212 (B)188 (C)-212 (D)-188解析:等差数列{an}中,a2+a10=0,根据等差数列的性质得2a6=a2+a10=0,解得a6=0,a6+a8=2a7=-4,解得a7=-2,所以公差d=-2.所以a100=a6-2×(100-6)=-188.故选D.D答案:183.已知数列{an}是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77且ak=13,则k=

.

答案:24.某城市2011年有人口200万,该年医疗费用投入10亿元,此后10年该城市每年新增人口10万,医疗费用投入每年新增m亿元,已知202