新教材人教a版选择性必修第三册第六章6.3.2第1课时二项式系数的性质学案

6.二项式系数的性质第1课时二项式系数的性质学习目标1.理解二项式系数的性质并灵活运用.2.掌握“赋值法”并会灵活应用．导语被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服．而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a＋b)n的展开式在n＝1,2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡整整早发现了500年左右．一、杨辉三角问题1根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1,2,3,4,5,6)的二项式系数．可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？提示1,7,21,35,35,21,7,1知识梳理(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数相加，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r－1,n－1)＋Ceq\o\al(r,n－1).例1(1)在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是()A．第n－k项 B．第n－k－1项C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项答案D解析第k项的二项式系数是Ceq\o\al(k－1,n)，由于Ceq\o\al(k－1,n)＝Ceq\o\al(n－k＋1,n)，故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同．(2)观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是()A．8B．6C．4D．2答案B解析由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6.反思感悟解决与杨辉三角有关问题的一般思路(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察．(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．(3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．跟踪训练1(1)在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则n为()A．4B．6C．8D．10答案D解析由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(7,n)，由组合数的性质，得n＝10.(2)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于()A．20B．21C．22D．23答案C解析由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22.二、二项式系数的增减性与最大值问题2怎样找二项展开式中的二项式系数的最大值？提示eq\f(C\o\al(k,n),C\o\al(k－1,n))＝eq\f(n－k＋1,k).当k<eq\f(n＋1,2)时，eq\f(C\o\al(k,n),C\o\al(k－1,n))>1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k>eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐减小．知识梳理增减性与最大值：Ceq\o\al(k,n)＝eq\f(nn－1…n－kn－k＋1,k－1！k)＝Ceq\o\al(k－1,n)eq\f(n－k＋1,k)，即eq\f(C\o\al(k,n),C\o\al(k－1,n))＝eq\f(n－k＋1,k)，所以当eq\f(n－k＋1,k)>1，即k<eq\f(n＋1,2)时，Ceq\o\al(k,n)随k的增加而增大；由对称性知，当k>eq\f(n＋1,2)时，Ceq\o\al(k,n)随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．注意点：(1)当n为偶数时，中间项的二项式系数最大，有一项；(2)当n为奇数时，中间项的二项式系数最大，有两项．例2已知f(x)＝(eq\r(3,x2)＋3x2)5，求展开式中二项式系数最大的项．解∵5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝Ceq\o\al(2,5)()3·(3x2)2＝90x6，T4＝Ceq\o\al(3,5)()2·(3x2)3＝270.反思感悟求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．跟踪训练2(1)(1－x)2n－1展开式中，二项式系数最大的项是()A．第n－1项 B．第n项C．第n－1项与第n＋1项 D．第n项与第n＋1项答案D解析由二项式系数的性质得，二项式系数最大为＝Ceq\o\al(n－1,2n－1)，＝Ceq\o\al(n,2n－1)，分别为第n，n＋1项．(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))2n展开式的第6项系数最大，则其常数项为()A．120B．252C．210D．45答案C解析由题意，得2n＝10，易知n＝5，由Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)(eq\r(x))10－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))k＝Ceq\o\al(k,10)，令30－5k＝0，得k＝6，故其常数项为Ceq\o\al(6,10)＝210.三、二项展开式的系数和问题问题3在二项展开式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－1，可得到什么结论？提示Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.例3若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.解(1)令x＝0，则a0＝－1.令x＝1，则a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，①∴a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)令x＝－1，则a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，②由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，∴a1＋a3＋a5＋a7＝8256.(3)∵Tk＋1＝Ceq\o\al(k,7)(3x)7－k(－1)k，∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7＝47＝16384.反思感悟求展开式的各项系数之和常用赋值法“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和．跟踪训练3设(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022x2022(x∈R)．(1)求a0的值；(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2022的值；(3)求a1＋a3＋a5＋…＋a2021的值．解(1)在等式(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022x2022中，令x＝0，得1＝a0.∴a0＝1.(2)在等式中，令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2022，∴a1＋a2＋…＋a2022＝0.(3)分别令x＝－1，x＝1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(32022＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2021＋a2022，①,1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2021＋a2022，②))②－①，得1－32022＝2(a1＋a3＋…＋a2021)．∴a1＋a3＋…＋a2021＝eq\f(1,2)(1－32022)．1．知识清单：(1)杨辉三角．(2)二项式系数的增减性与最值．(3)二项展开式的系数和问题．2．方法归纳：赋值法．3．常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数．1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是()A．第15项 B．第16项C．第17项 D．第18项答案B解析第6项的二项式系数为Ceq\o\al(5,20)，又Ceq\o\al(15,20)＝Ceq\o\al(5,20)，所以第16项符合条件．2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))11的展开式中二项式系数最大的项是()A．第3项 B．第6项C．第6,7项 D．第5,7项答案C解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))11的展开式中第eq\f(11＋1,2)项和eq\f(11＋1,2)＋1项，即第6,7项的二项式系数相等，且最大．3．(x－1)11的展开式中，x的奇次幂项的系数之和是()A．2048B．－1023C．－1024D．1024答案D解析(x－1)11