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2019-2020学年河北省唐山市路北区九年级(上)期末数学试卷一.选择题(共14小题)1.下列方程中,为一元二次方程的是()A.2x+1=02.若反比例函数y=的图象经过点(2,3),则它的图象也一定经过的点是()A.(﹣3,﹣2)B.(2,﹣3)D.(﹣2,3)3.如图,在△ABC中,∠A=90°.若AB=12,AC=5,则cosC的值为()B.3x2﹣x=10C.D.x2+y2=5.C.(3,﹣2)A.B.C.D.4.反比例函数y=﹣的图象在()A.第二、四象限C.第一、二象限B.第一、三象限D.第三、四象限5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sin∠B=,则BC=()A.15B.6C.9D.86.对于反比例函数y=,下列说法不正确的是()A.点(﹣2,﹣1)在它的图象上B.它的图象在第一、三象限C.当x>0时,y随x的增大而增大D.当x<0时,y随x的增大而减小7.两个相似多边形的面积之比是1:4,则这两个相似多边形的周长之比是()A.1:2D.1:16B.1:4C.1:88.如图,过反比例函数y=(x>0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B,连接AO,则S△AOB=()1A.19.用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时,原方程可变形为()A.(x+2)2=1B.(x+2)2=19C.(x+2)2=13D.(x+2)2=7B.2C.4D.810.如图,△AOB缩小后得到△COD,△AOB与△COD的相似比是3,若C(1,2),则点A的坐标为()A.(2,4)B.(2,6)C.(3,6)D.(3,4)11.如图,用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点A旋转了108°,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了()A.πcmB.2πcmC.3πcmD.5πcm12.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,若∠BAD=48°,则∠DCA的大小为()A.48°B.42°C.45°D.24°213.若点A(﹣1,y1),B(1,y2),C(3,y3)在反比例函数y=﹣的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1<y2<y3B.y2<y3<y1C.y3<y2<y1D.y2<y1<y314.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,BC上的点,且DE∥AC,若SBDE=4,S△△CDE=16,则△ACD的面积为()A.64B.72C.80D.96二.填空题(共4小题)15.已知二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1,则该函数图象的顶点坐标为.16.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则a2+2ab+b2的值为.17.在某一时刻,测得一根高为2m的竹竿的影长为1m,同时测得一栋建筑物的影长为12m,那么这栋建筑物的高度为m.18.如图,将半径为4cm的圆折叠后,圆弧恰好经过圆心,则折痕的长为.三.解答题(共8小题)19.(1)计算:|﹣1|+2sin45°﹣+tan260°(2)已知:,求20.解方程:(1)x2﹣2x﹣3=0(2)3x2﹣6x+1=221.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.(1)用直尺和圆规作⊙O,使圆心O在BC边,且⊙O经过A,B两点上(不写作法,保留作图痕迹);3(2)连接AO,求证:AO平分∠CAB.22.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x﹣2与双曲线y=(k≠0)相交于A,B两点,且点A的横坐标是3.(1)求k的值;(2)过点P(0,n)作直线,使直线与x轴平行,直线与直线y=x﹣2交于点M,与双曲线y=(k≠0)交于点N,若点M在N右边,求n的取值范围.23.如图,已知圆锥的底面半径是2,母线长是6.(1)求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC的度数;(2)如果A是底面圆周上一点,从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点,求这根绳子的最短长度.24.如图,⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,且DE=CE,⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F.4(1)求证:CD∥BF;(2)若⊙O的半径为6,∠A=35°,求的长.25.如图,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点,与x轴的另一个交点为A(﹣2,0).(1)求二次函数的解析式;(2)在抛物线上是否存在一点P,使△AOP的面积为3?若存在请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.26.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=12,四边形EFPQ是矩形,点P与点C重合,点Q、E、F分别在BC、AB、AC上(点E与点A、点B均不重合).(1)当AE=8时,求EF的长;(2)设AE=x,矩形EFPQ的面积为y.①求y与x的函数关系式;②当x为何值时,y有最大值,最大值是多少?(3)当矩形EFPQ的面积最大时,将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动(当点P到达点B时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.56参考答案与试题解析一.选择题(共14小题)1.下列方程中,为一元二次方程的是()A.2x+1=0B.3x2﹣x=10C.D.x2+y2=5.【分析】根据一元二次方程的定义解答.【解答】解:A、该方程属于一元一次方程,故本选项错误;B、该方程符合一元二次方程的定义,故本选项正确;C、该方程不是分式方程,故本选项错误;D、该方程属于二元二次方程,故本选项错误.故选:B.2.若反比例函数y=的图象经过点(2,3),则它的图象也一定经过的点是()A.(﹣3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣2)D.(﹣2,3)【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到点的横纵坐标之积为6的点在反比例函数图象上,由此分别对各点进行判断.【解答】解:根据题意得k=2×3=6,所以反比例函数解析式为y=,∵﹣3×(﹣2)=6,2×(﹣3)=﹣6,3×(﹣2)=﹣6,﹣2×3=﹣6,∴点(﹣3,﹣2)在反比例函数y=的图象上.故选:A.3.如图,在△ABC中,∠A=90°.若AB=12,AC=5,则cosC的值为()A.【分析】利用勾股定理列式求出BC,再根据锐角的余弦等于邻边比斜边解答.【解答】解:根据勾股定理得,BC=B.C.D.==13,7所以,cosC==.故选:A.4.反比例函数y=﹣的图象在()A.第二、四象限C.第一、二象限B.第一、三象限D.第三、四象限【分析】直接利用反比例函数图象分布象限规律进而分析得出答案.【解答】解:反比例函数y=﹣的图形在:第二、四象限.故选:A.5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sin∠B=,则BC=()A.15B.6C.9D.8【分析】首先根据正弦函数的定义求得AC的长,然后利用勾股定理求得BC的长.【解答】解:∵sinB==,∴AC=AB×=6,∴直角△ABC中,BC=故选:D.==8.6.对于反比例函数y=,下列说法不正确的是()A.点(﹣2,﹣1)在它的图象上B.它的图象在第一、三象限C.当x>0时,y随x的增大而增大D.当x<0时,y随x的增大而减小【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答.【解答】解:A、把点(﹣2,﹣1)代入反比例函数y=得﹣1=﹣1,故A选项正确;B、∵k=2>0,∴图象在第一、三象限,故B选项正确;C、当x>0时,y随x的增大而减小,故C选项错误;D、当x<0时,y随x的增大而减小,故D选项正确.故选:C.7.两个相似多边形的面积之比是1:4,则这两个相似多边形的周长之比是()8A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16【分析】根据相似多边形的性质求出相似比,根据相似多边形的性质求出周长比.【解答】解:∵两个相似多边形的面积之比是1:4,∴这两个相似多边形的相似比是1:2,则这两个相似多边形的周长之比是1:2,故选:A.8.如图,过反比例函数y=(x>0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B,连接AO,则S△AOB=()A.1B.2C.4D.8【分析】利用反比例函数k的几何意义求得即可.【解答】解:根据题意得:SAOB=×4=2,△故选:B.9.用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时,原方程可变形为()A.(x+2)2=1B.(x+2)2=19C.(x+2)2=13D.(x+2)2=7【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得.【解答】解:∵x2+4x=3,∴x2+4x+4=3+4,即(x+2)2=7,故选:D.10.如图,△AOB缩小后得到△COD,△AOB与△COD的相似比是3,若C(1,2),则点A的坐标为()9A.(2,4)B.(2,6)C.(3,6)D.(3,4)【分析】根据位似变换的性质计算即可.【解答】解:由题意得,点A与点C是对应点,△AOB与△COD的相似比是3,∴点A的坐标为(1×3,2×3),即(3,6),故选:C.11.如图,用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点A旋转了108°,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了()A.πcmB.2πcmC.3πcmD.5πcm【分析】根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长,利用弧长公式计算即可.【解答】解:根据题意得:l==3πcm,则重物上升了3πcm,故选:C.12.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,若∠BAD=48°,则∠DCA的大小为()A.48°B.42°C.45°D.24°【分析】连接BD,则可得∠ADB=90°,在△ABD中求出∠ABD,再由圆周角定理可得出∠DCA.【解答】解:连接BD,10∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ABD=90°﹣∠BAD=42°,∴∠DCA=∠ABD=42°.故选:B.13.若点A(﹣1,y1),B(1,y2),C(3,y3)在反比例函数y=﹣的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1<y2<y3B.y2<y3<y1C.y3<y2<y1D.y2<y1<y3【分析】根据反比例函数的性质判断即可.【解答】解:∵k=﹣3<0,∴在第四象限,y随x的增大而增大,∴y2<y3<0,∵y1>0,∴y2<y3<y1,故选:B.14.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,BC上的点,且DE∥AC,若SBDE=4,S△CDE△=16,则△ACD的面积为()A.64B.72C.80D.96【分析】由SBDE=4,SCDE=16,得到SBDE:SCDE=1:4,根据等高的三角形的面△△△△积的比等于底边的比求出=,然后求出△DBE和△ABC相似,根据相似三角形面11积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积,然后求出△ACD的面积.【解答】解:∵SBDE=4,SCDE=16,△△∴SBDE:SCDE=1:4,△△∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等,∴=,∴=,∵DE∥AC,∴△DBE∽△ABC,∴SDBE:SABC=1:25,△△∴SACD=80.△故选:C.二.填空题(共4小题)15.已知二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1,则该函数图象的顶点坐标为(﹣3,1).【分析】二次函数y=a(x﹣h)2+k(a≠0)的顶点坐标是(h,k),依此即可求解.【解答】解:∵二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1,∴﹣b=1,根据二次函数的顶点式方程y=a(x+3)2﹣b(a≠0)知,该函数的顶点坐标是:(﹣3,﹣b),∴该函数图象的顶点坐标为(﹣3,1).故答案为:(﹣3,1).16.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则a2+2ab+b2的值为1.【分析】由x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,可得1+a+b=0,推出a+b=﹣1,可得a2+2ab+b2=(a+b)2=1.【解答】解:∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,∴1+a+b=0,∴a+b=﹣1,∴a2+2ab+b2=(a+b)2=1.故答案为1.1217.在某一时刻,测得一根高为2m的竹竿的影长为1m,同时测得一栋建筑物的影长为12m,那么这栋建筑物的高度为24m.【分析】根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解.【解答】解:设这栋建筑物的高度为xm,由题意得,=,解得x=24,即这栋建筑物的高度为24m.故答案为:24.18.如图,将半径为4cm的圆折叠后,圆弧恰好经过圆心,则折痕的长为4.【分析】连接AO,过O作OD⊥AB,交于点D,交弦AB于点E,根据折叠的性质可知OE=DE,再根据垂径定理可知AE=BE,在Rt△AOE中利用勾股定理即可求出AE的长,进而可求出AB的长.【解答】解:如图所示,连接AO,过O作OD⊥AB,交于点D,交弦AB于点E,∵折叠后恰好经过圆心,∴OE=DE,∵⊙O的半径为4,∴OE=OD=×4=2,∵OD⊥AB,∴AE=AB,在Rt△AOE中,AE===2.∴AB=2AE=4.13故答案是:4.三.解答题(共8小题)19.(1)计算:|﹣1|+2sin45°﹣+tan260°(2)已知:,求【分析】(1)利用绝对值的意义、特殊角的三角函数值和二次根式的计算;(2)根据合比性质计算.【解答】解:(1)原式=﹣1+2×﹣2+()2=﹣1+﹣2+3=2;(2)∵,∴==.20.解方程:(1)x2﹣2x﹣3=0(2)3x2﹣6x+1=2【分析】(1)利用因式分解法求解可得;(2)整理为一般式,再利用公式法求解可得.【解答】解:(1)原方程可以变形为(x﹣3)(x+1)=0,∴x﹣3=0,x+1=0,∴x1=3,x2=﹣1;(2)方程整理为一般式为3x2﹣6x﹣1=0,∵a=3,b=﹣6,c=﹣1,∴△=36﹣4×3×(﹣1)=48>0,则,14即.21.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.(1)用直尺和圆规作⊙O,使圆心O在BC边,且⊙O经过A,B两点上(不写作法,保留作图痕迹);(2)连接AO,求证:AO平分∠CAB.【分析】(1)如图,作AB的垂直平分线交BC于O,然后以O点为圆心,OB为半径作圆即可;(2)通过计算∠CAO=∠BAO=30°进行证明.【解答】(1)解:如图,⊙O为所作;(2)证明:∵OA=OB,∴∠OAB=∠B=30°,而∠CAB=90°﹣∠B=60°,∴∠CAO=∠BAO=30°,∴OC平分∠CAB.22.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x﹣2与双曲线y=(k≠0)相交于A,B两点,且点A的横坐标是3.(1)求k的值;(2)过点P(0,n)作直线,使直线与x轴平行,直线与直线y=x﹣2交于点M,与双15曲线y=(k≠0)交于点N,若点M在N右边,求n的取值范围.【分析】(1)把A横坐标代入一次函数解析式求出纵坐标,确定出A坐标,代入反比例解析式求出k的值即可;(2)根据题意画出直线,根据图象确定出点M在N右边时n的取值范围即可.【解答】解:(1)令x=3,代入y=x﹣2,则y=1,∴A(3,1),∵点A(3,1)在双曲线y=(k≠0)上,∴k=3;,解得:或如图所示:,即B(﹣1,﹣3),当点M在N右边时,n的取值范围是n>1或﹣3<n<0.23.如图,已知圆锥的底面半径是2,母线长是6.(1)求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC的度数;16(2)如果A是底面圆周上一点,从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点,求这根绳子的最短长度.【分析】(1)根据勾股定理直接求出圆锥的高,再利用圆锥侧面展开图弧长与其底面周长的长度关系,求出侧面展开图中∠ABC的度数即可;(2)首先求出BD的长,再利用勾股定理求出AD以及AC的长即可.【解答】解:(1)圆锥的高=底面圆的周长等于:2π×2=,,解得:n=120°;(2)连结AC,过B作BD⊥AC于D,则∠ABD=60°.由AB=6,可求得BD=3,∴AD═3,AC=2AD=6,即这根绳子的最短长度是6.24.如图,⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,且DE=CE,⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F.(1)求证:CD∥BF;17(2)若⊙O的半径为6,∠A=35°,求的长.【分析】(1)根据垂径定理、切线的性质定理证明;(2)根据圆周角定理求出∠COD,根据弧长公式计算即可.【解答】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,DE=CE,∴AB⊥CD,∵BF是⊙O的切线,∴AB⊥BF,∴CD∥BF;(2)解:连接OD、OC,∵∠A=35°,∴∠BOD=2∠A=70°,∴∠COD=2∠BOD=140°,∴的长==.25.如图,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点,与x轴的另一个交点为A(﹣2,0).(1)求二次函数的解析式;(2)在抛物线上是否存在一点P,使△AOP的面积为3?若存在请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.18【分析】(1)把点(0,0)和点A(﹣2,0)分别代入函数关系式来求b、c的值,可得二次函数的解析式;(2)设点P的坐标为(x,﹣x2﹣2x).利用三角形的面积公式得到﹣x2﹣2x=±3.通过解方程来求x的值,则易求点P的坐标.【解答】解:(1)∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点(0,0)∴c=0又∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A(﹣2,0)∴﹣(﹣2)2﹣2b+0=0,∴b=﹣2,∴所求b、c值分别为﹣2,0∴y=﹣x2﹣2x,(2)存在一点P,满足SAOP=3.△设点P的坐标为(x,﹣x2﹣2x)∵SAOP=3△∴|﹣x2﹣2x|=3∴﹣x2﹣2x=±3当﹣x2﹣2x=3时,此方程无解;当﹣x2﹣2x=﹣3时,解得x1=﹣3,x2=1,∴点P的坐标为:(﹣3,﹣3)或(1,﹣3).26.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=12,四边形EFPQ是矩形,点P与点C重合,点Q、E、F分别在BC、AB、AC上(点E与点A

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