2019-2020学年河北省唐山市路北区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

2019-2020学年河北省唐山市路北区九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共14小题）1．下列方程中，为一元二次方程的是（）A．2x+1＝02．若反比例函数y＝的图象经过点（2，3），则它的图象也一定经过的点是（）A．（﹣3，﹣2）B．（2，﹣3）D．（﹣2，3）3．如图，在△ABC中，∠A＝90°．若AB＝12，AC＝5，则cosC的值为（）B．3x2﹣x＝10C．D．x2+y2＝5．C．（3，﹣2）A．B．C．D．4．反比例函数y＝﹣的图象在（）A．第二、四象限C．第一、二象限B．第一、三象限D．第三、四象限5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin∠B＝，则BC＝（）A．15B．6C．9D．86．对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小7．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2D．1：16B．1：4C．1：88．如图，过反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，则S△AOB＝（）1A．19．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3＝0时，原方程可变形为（）A．（x+2）2＝1B．（x+2）2＝19C．（x+2）2＝13D．（x+2）2＝7B．2C．4D．810．如图，△AOB缩小后得到△COD，△AOB与△COD的相似比是3，若C（1，2），则点A的坐标为（）A．（2，4）B．（2，6）C．（3，6）D．（3，4）11．如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点A旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）A．πcmB．2πcmC．3πcmD．5πcm12．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAD＝48°，则∠DCA的大小为（）A．48°B．42°C．45°D．24°213．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y314．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且DE∥AC，若SBDE＝4，S△△CDE＝16，则△ACD的面积为（）A．64B．72C．80D．96二．填空题（共4小题）15．已知二次函数y＝a（x+3）2﹣b（a≠0）有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为．16．已知x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，则a2+2ab+b2的值为．17．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．18．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为．三．解答题（共8小题）19．（1）计算：|﹣1|+2sin45°﹣+tan260°（2）已知：，求20．解方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0（2）3x2﹣6x+1＝221．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．（1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O在BC边，且⊙O经过A，B两点上（不写作法，保留作图痕迹）；3（2）连接AO，求证：AO平分∠CAB．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣2与双曲线y＝（k≠0）相交于A，B两点，且点A的横坐标是3．（1）求k的值；（2）过点P（0，n）作直线，使直线与x轴平行，直线与直线y＝x﹣2交于点M，与双曲线y＝（k≠0）交于点N，若点M在N右边，求n的取值范围．23．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．（1）求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC的度数；（2）如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这根绳子的最短长度．24．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE＝CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．4（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为6，∠A＝35°，求的长．25．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P，使△AOP的面积为3？若存在请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．26．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．（1）当AE＝8时，求EF的长；（2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．①求y与x的函数关系式；②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．56参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．下列方程中，为一元二次方程的是（）A．2x+1＝0B．3x2﹣x＝10C．D．x2+y2＝5．【分析】根据一元二次方程的定义解答．【解答】解：A、该方程属于一元一次方程，故本选项错误；B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；C、该方程不是分式方程，故本选项错误；D、该方程属于二元二次方程，故本选项错误．故选：B．2．若反比例函数y＝的图象经过点（2，3），则它的图象也一定经过的点是（）A．（﹣3，﹣2）B．（2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（﹣2，3）【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到点的横纵坐标之积为6的点在反比例函数图象上，由此分别对各点进行判断．【解答】解：根据题意得k＝2×3＝6，所以反比例函数解析式为y＝，∵﹣3×（﹣2）＝6，2×（﹣3）＝﹣6，3×（﹣2）＝﹣6，﹣2×3＝﹣6，∴点（﹣3，﹣2）在反比例函数y＝的图象上．故选：A．3．如图，在△ABC中，∠A＝90°．若AB＝12，AC＝5，则cosC的值为（）A．【分析】利用勾股定理列式求出BC，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边解答．【解答】解：根据勾股定理得，BC＝B．C．D．＝＝13，7所以，cosC＝＝．故选：A．4．反比例函数y＝﹣的图象在（）A．第二、四象限C．第一、二象限B．第一、三象限D．第三、四象限【分析】直接利用反比例函数图象分布象限规律进而分析得出答案．【解答】解：反比例函数y＝﹣的图形在：第二、四象限．故选：A．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin∠B＝，则BC＝（）A．15B．6C．9D．8【分析】首先根据正弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理求得BC的长．【解答】解：∵sinB＝＝，∴AC＝AB×＝6，∴直角△ABC中，BC＝故选：D．＝＝8．6．对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答．【解答】解：A、把点（﹣2，﹣1）代入反比例函数y＝得﹣1＝﹣1，故A选项正确；B、∵k＝2＞0，∴图象在第一、三象限，故B选项正确；C、当x＞0时，y随x的增大而减小，故C选项错误；D、当x＜0时，y随x的增大而减小，故D选项正确．故选：C．7．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）8A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16【分析】根据相似多边形的性质求出相似比，根据相似多边形的性质求出周长比．【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4，∴这两个相似多边形的相似比是1：2，则这两个相似多边形的周长之比是1：2，故选：A．8．如图，过反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，则S△AOB＝（）A．1B．2C．4D．8【分析】利用反比例函数k的几何意义求得即可．【解答】解：根据题意得：SAOB＝×4＝2，△故选：B．9．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3＝0时，原方程可变形为（）A．（x+2）2＝1B．（x+2）2＝19C．（x+2）2＝13D．（x+2）2＝7【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．【解答】解：∵x2+4x＝3，∴x2+4x+4＝3+4，即（x+2）2＝7，故选：D．10．如图，△AOB缩小后得到△COD，△AOB与△COD的相似比是3，若C（1，2），则点A的坐标为（）9A．（2，4）B．（2，6）C．（3，6）D．（3，4）【分析】根据位似变换的性质计算即可．【解答】解：由题意得，点A与点C是对应点，△AOB与△COD的相似比是3，∴点A的坐标为（1×3，2×3），即（3，6），故选：C．11．如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点A旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）A．πcmB．2πcmC．3πcmD．5πcm【分析】根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长，利用弧长公式计算即可．【解答】解：根据题意得：l＝＝3πcm，则重物上升了3πcm，故选：C．12．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAD＝48°，则∠DCA的大小为（）A．48°B．42°C．45°D．24°【分析】连接BD，则可得∠ADB＝90°，在△ABD中求出∠ABD，再由圆周角定理可得出∠DCA．【解答】解：连接BD，10∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝42°，∴∠DCA＝∠ABD＝42°．故选：B．13．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3【分析】根据反比例函数的性质判断即可．【解答】解：∵k＝﹣3＜0，∴在第四象限，y随x的增大而增大，∴y2＜y3＜0，∵y1＞0，∴y2＜y3＜y1，故选：B．14．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且DE∥AC，若SBDE＝4，S△CDE△＝16，则△ACD的面积为（）A．64B．72C．80D．96【分析】由SBDE＝4，SCDE＝16，得到SBDE：SCDE＝1：4，根据等高的三角形的面△△△△积的比等于底边的比求出＝，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面11积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后求出△ACD的面积．【解答】解：∵SBDE＝4，SCDE＝16，△△∴SBDE：SCDE＝1：4，△△∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，∴＝，∴＝，∵DE∥AC，∴△DBE∽△ABC，∴SDBE：SABC＝1：25，△△∴SACD＝80．△故选：C．二．填空题（共4小题）15．已知二次函数y＝a（x+3）2﹣b（a≠0）有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为（﹣3，1）．【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k），依此即可求解．【解答】解：∵二次函数y＝a（x+3）2﹣b（a≠0）有最大值1，∴﹣b＝1，根据二次函数的顶点式方程y＝a（x+3）2﹣b（a≠0）知，该函数的顶点坐标是：（﹣3，﹣b），∴该函数图象的顶点坐标为（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．16．已知x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，则a2+2ab+b2的值为1．【分析】由x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，可得1+a+b＝0，推出a+b＝﹣1，可得a2+2ab+b2＝（a+b）2＝1．【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，∴1+a+b＝0，∴a+b＝﹣1，∴a2+2ab+b2＝（a+b）2＝1．故答案为1．1217．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为24m．【分析】根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，＝，解得x＝24，即这栋建筑物的高度为24m．故答案为：24．18．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为4．【分析】连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB于点E，根据折叠的性质可知OE＝DE，再根据垂径定理可知AE＝BE，在Rt△AOE中利用勾股定理即可求出AE的长，进而可求出AB的长．【解答】解：如图所示，连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB于点E，∵折叠后恰好经过圆心，∴OE＝DE，∵⊙O的半径为4，∴OE＝OD＝×4＝2，∵OD⊥AB，∴AE＝AB，在Rt△AOE中，AE＝＝＝2．∴AB＝2AE＝4．13故答案是：4．三．解答题（共8小题）19．（1）计算：|﹣1|+2sin45°﹣+tan260°（2）已知：，求【分析】（1）利用绝对值的意义、特殊角的三角函数值和二次根式的计算；（2）根据合比性质计算．【解答】解：（1）原式＝﹣1+2×﹣2+（）2＝﹣1+﹣2+3＝2；（2）∵，∴＝＝．20．解方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0（2）3x2﹣6x+1＝2【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）整理为一般式，再利用公式法求解可得．【解答】解：（1）原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0，∴x﹣3＝0，x+1＝0，∴x1＝3，x2＝﹣1；（2）方程整理为一般式为3x2﹣6x﹣1＝0，∵a＝3，b＝﹣6，c＝﹣1，∴△＝36﹣4×3×（﹣1）＝48＞0，则，14即．21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．（1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O在BC边，且⊙O经过A，B两点上（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AO，求证：AO平分∠CAB．【分析】（1）如图，作AB的垂直平分线交BC于O，然后以O点为圆心，OB为半径作圆即可；（2）通过计算∠CAO＝∠BAO＝30°进行证明．【解答】（1）解：如图，⊙O为所作；（2）证明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝30°，而∠CAB＝90°﹣∠B＝60°，∴∠CAO＝∠BAO＝30°，∴OC平分∠CAB．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣2与双曲线y＝（k≠0）相交于A，B两点，且点A的横坐标是3．（1）求k的值；（2）过点P（0，n）作直线，使直线与x轴平行，直线与直线y＝x﹣2交于点M，与双15曲线y＝（k≠0）交于点N，若点M在N右边，求n的取值范围．【分析】（1）把A横坐标代入一次函数解析式求出纵坐标，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；（2）根据题意画出直线，根据图象确定出点M在N右边时n的取值范围即可．【解答】解：（1）令x＝3，代入y＝x﹣2，则y＝1，∴A（3，1），∵点A（3，1）在双曲线y＝（k≠0）上，∴k＝3；，解得：或如图所示：，即B（﹣1，﹣3），当点M在N右边时，n的取值范围是n＞1或﹣3＜n＜0．23．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．（1）求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC的度数；16（2）如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这根绳子的最短长度．【分析】（1）根据勾股定理直接求出圆锥的高，再利用圆锥侧面展开图弧长与其底面周长的长度关系，求出侧面展开图中∠ABC的度数即可；（2）首先求出BD的长，再利用勾股定理求出AD以及AC的长即可．【解答】解：（1）圆锥的高＝底面圆的周长等于：2π×2＝，，解得：n＝120°；（2）连结AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝60°．由AB＝6，可求得BD＝3，∴AD═3，AC＝2AD＝6，即这根绳子的最短长度是6．24．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE＝CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．（1）求证：CD∥BF；17（2）若⊙O的半径为6，∠A＝35°，求的长．【分析】（1）根据垂径定理、切线的性质定理证明；（2）根据圆周角定理求出∠COD，根据弧长公式计算即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，DE＝CE，∴AB⊥CD，∵BF是⊙O的切线，∴AB⊥BF，∴CD∥BF；（2）解：连接OD、OC，∵∠A＝35°，∴∠BOD＝2∠A＝70°，∴∠COD＝2∠BOD＝140°，∴的长＝＝．25．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P，使△AOP的面积为3？若存在请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．18【分析】（1）把点（0，0）和点A（﹣2，0）分别代入函数关系式来求b、c的值，可得二次函数的解析式；（2）设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x）．利用三角形的面积公式得到﹣x2﹣2x＝±3．通过解方程来求x的值，则易求点P的坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点（0，0）∴c＝0又∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（﹣2，0）∴﹣（﹣2）2﹣2b+0＝0，∴b＝﹣2，∴所求b、c值分别为﹣2，0∴y＝﹣x2﹣2x，（2）存在一点P，满足SAOP＝3．△设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x）∵SAOP＝3△∴|﹣x2﹣2x|＝3∴﹣x2﹣2x＝±3当﹣x2﹣2x＝3时，此方程无解；当﹣x2﹣2x＝﹣3时，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴点P的坐标为：（﹣3，﹣3）或（1，﹣3）．26．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A