线性代数课件第54讲矩阵的对角化

第541线性代数59主讲 大 June June第541高等数学138讲（优酷网线性代数59讲（优酷网概率论与数理统计70讲 传课 考研题评讲 传课：:@:

June我在及线性代我在及线性代数59讲受。课程高等数学138 各地大学生的课程的望对你的学习有所帮助希望此课件仅用望对你的学习有所帮助希望此课件仅用于你的学习。请尊大(联 的著作权，切勿在大(联 June5.3 矩阵的对角化(1)大第541观 June第541 June回

第541ABn阶矩阵，如果n阶可逆矩使P1AP AP则称矩AB相似(similar)，记A~AP1AP川大 大 June回 第54讲矩阵的对角化(1)相似矩阵从而有相同的特征值、相同的行列式（征值之积）相似矩阵从而有相同的特征值、相同的行列式（征值之积）和相同的迹（全体特征值之和）特征多项式不变特征值不行列式可见可见,相似变换能保持矩四四

保持矩阵的大 4第541最简单矩阵是零矩阵O但是与零矩阵相似的P1APOAPOP1其次是单位矩阵E川大但是与单位矩阵相似的只有单位矩阵川大P1APEAPEP1

June

第541但是与数量矩P1APkEAP(kE)P1kPEP1然后考虑A是否能与一个对角矩阵以三阶矩阵为 大则存在可逆矩阵P，使得APPΛ P(p1,p2,p3)

12则A(p,p,p)(p,p, 12

ne 3第541设三阶矩阵A与对角矩阵Λ阵P，使得APPΛ A(p,p,p)(p,p,p) λ λ 3Ap1Ap2Ap3)λ1p1λ2p2λ3p3) 大Ap1 λ1,λ2,λ3是A的特 大p1,p2,p3是A的3个 关的特

June命题n阶矩A与对角

第541

λ

相似，则λ1λ2,...,An个特征值 n证因为对角阵 的特征值为其主对角线元川λ1λ2λn川而相似矩阵有相同的特征值

June要条件是A有n个线性无关的特要条件是A有n个线性无关的特

对角化(1

且对角矩阵的主对元素即为A且对角矩阵的主对元素即为A的特 λ

n A(p1,...,pn)(p1,...,pn) λ(Ap1,...,Apn)(λ1p1,...,λnpn

nJune第541定理定理4A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的推论n阶矩A推论n阶矩An个不同的特征值得 大

June例如，矩阵A

第541的特征值2 3 所以A能相似对角化

第49第49PP1AP特征特征λ2p p1大 3 1 12 0 41 1 4大 大Maple

第541A

2 3 PP1AP 0 A:=array([[3,-1],[-

June第541n个线性无关的特征向量因为属于不同的特征推论如果n阶矩阵A与有n个不同的特征值 大AlgebraicAlgebraicmultiplicity=Geometricmultiplicity June第5414n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要推论n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要推论n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是A的每一个k重特征值都能确定k个线性无（从而A有n个线性无关的特征向量） 的代数重等于其几何重数(λ的特征空间的维数 大Algebraicmultiplicity=Algebraicmultiplicity=Geometric推论n阶矩阵A推论n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是等于其几何重数( 的特征空间的维数)具体地说，设λ是nAk重特征值则齐次线性方程 大(A-λE)x=0 (λE- 大的解空间的维数也kλ的几何重数这等价于R(AλE)=n-

矩阵能否对角化可通过。算系数矩阵的秩来判断。1 0 例 A 30 02

第541 第49 特征特征λ2λ30ξ0 11ξ221 A没有3个线性无关的特征向 这个矩阵不能对角

June第541

June第541 June 1设矩

A x

五版123页例大 0 解A能相似对角化的条件是：A的每一个k重特征值λ都能确定k个线性无关的特征向量。即齐次线性方程组(AλE)x=0的解空间k维的 大等价于AλE的秩n-k(where June A x

AλE

第541 11 0

(1λ)

(1

1)(λ1)2(λ特征值

大λ3大λ1 大必需确定两个

e

第541 A x

AλE

11 0

要使A能对角化2λ31 即，齐次线性方程

(AE)x或者系数矩阵的

RAE32

June A x

AλE

第541 11 0

或者RAE32 1 x AE 0xx R(AE)1x

June 1

第541 AE x 0x R(AE)1x 1

1A1 1

00AE 0

(x2,x3)徐June 徐June

and

0

1AA 10x0川A的属于特征值1线性无关的特

pp0 0

p p 1 1 4 1A

第541 0

10 1 1 AE1 1 22 10

0 0x

大 A

p1 x2

-1的特征向量

June 1A

第541 100大 100大

λ2, 1

0

1 p11

p21

p30大 1

0 1 011 0 10110AP1 1 10

10010 0

01

0100

λ

11 1

2,

0 1A

p1

1 p0

0

1

0 1 1

10110AP 1

0 10010

1 0100 大1 0大

P1AP 0

1

June 1

第541AP 1 0 1 101 10

00 1001010110湛大湛大A:=array([[0,0,1],[1,1,-大 P:=array([[-

June例1

第5412 2已知p

1

A 3 的一个特征向

2大abp所对应的问A能否对五版135页16题 June1

第5412 2已知p

1是矩

A 3 解

2

2 1 1Ap

1a2b1大成比例

a3,bJune第541解

2

2 1

1

1 Ap 3 1a

2

b1 成比例

1a2b 1

a3,b2 2Ap1λ 1λ A5 3

大 2June2 2

第541A5 3

λ 2

(2)问A能否对角化 AλE

2λ

λ2 2(2λ)(2λ2

0

JuneAλE

2λ

第541 λ2 [(5λ7)(λ22)(3λ)](λ33λ2

λ1是矩阵A的3重特大

大June2 2A5 3

第541λ是矩阵A的3重特征值 2

3 2A AE5 3

大

R(AE) 1

June第541λ1是矩阵A的3重特征值0 1 011A(1)E

220 0 R(AE)

1川大川

1齐次线性方程 (AE)x，只能确定1p=(1,1-1)T，，的特征向

A不能对角化

June2 2

Maple

第541A5

3 的特征值是- 2A:=array([[2,-1,2],[5,-3,3],[-1,0,- June第541例 证明n阶矩阵A与B相似1 1

0011 1

002 大A

B

1

00n解直接证明A与B相似，似乎不方便。 June1 11 1

第5411 1λ A

AλE

1

llrowsaddedtorownλnλ n 1λ 1 Allcolumnssubtractcolumn

0 0 10

AλE

111 1

第541n 0 λ n 川大

(单根

λ (n-1重根λ 能确定一个特征向 大λ0能确定n-1个A的线性大 特征向

June 1 11111A

1大 1 1

(nλ0(n-1重根1 11 1 00 0A0EA

1 1 0 0 RA0E) A0E)x大 有n-1个线性无关的解。June第541λ (n-1重根R(A0E) (A0E)x有n-1个线性无关的大n 0A~ A~ 0 0

June001002

第541 λ B

BλE 00n

n 大 (λ)n1(nλ)大 (单根 λ (n-1重根大λn能确定一个特征向 特征向

June 0200nBλE

001

第541λ(n-1重根002

R(B) 大B0EB 00n (B0E)x0有n-1个线性无关的解λ0能确定n-1B的线性无关的特征向 June第541(B0E)x0有n-1个线性无关的解λ0能确定n-1B的线性无关的特征向n 00 0 大B~

~大 0大 由相似关系的传递性，A~ June 课程 传 课程 传课件可在课程学 June第541 June 1 例 设A

第541An大 0 由例2，A有特征值λ11,λ2λ3 1

大1

110AP 1

0 10010

1

0100

June 1

第541大10110AP 1

0 10010

1

0100

A

A2(PP1)(PP1