初中数学经典相似三角形练习题附参考答案

-.z.-----优质资料相似三角形一．解答题〔共30小题〕1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．〔1〕求证：△CDF∽△BGF；〔2〕当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，假设AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．*一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：〔1〕经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？〔2〕是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？假设存在，求t的值；假设不存在，请说明理由．5．：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．6．矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．假设P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？7．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．8．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．假设Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？9．如下图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．10．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开场向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开场向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t〔秒〕表示移动的时间，则当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．11．如图，路灯〔P点〕距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部〔O点〕20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？12．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区〔如下图〕，亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．13．如图，李华晚上在路灯下散步．李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．〔1〕假设李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；〔2〕假设李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和〔DA+AC〕是否是定值请说明理由；〔3〕假设李华在点A朝着影子〔如图箭头〕的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．14．：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．15．：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，假设AB=3，AC=4．〔1〕求BD、CD的长；〔2〕过B作BE⊥DC于E，求BE的长．相似三角形一．解答题〔共30小题〕1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．〔1〕求证：△CDF∽△BGF；〔2〕当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，假设AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．分析：〔1〕利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF．〔2〕根据点F是BC的中点这一条件，可得△CDF≌△BGF，则CD=BG，只要求出BG的长即可解题．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．点评：此题很简单，考察的是相似三角形的判定定理：〔1〕如果两个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似；〔2〕如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，则这两个三角形相似；〔3〕如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，则这两个三角形相似．4．如图，矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．*一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：〔1〕经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？〔2〕是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？假设存在，求t的值；假设不存在，请说明理由．分析：〔1〕关于动点问题，可设时间为*，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如此题中利用，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系；〔2〕先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在．解答：〔1〕设经过*秒后，〔6﹣2*〕*=×3×6，得*1=1，*2=2，〔2〕假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或即①，或②解①，得t=；解②，得t=经检验，t=或t=都符合题意12．：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．分析：欲证△ADM∽△MCP，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠D=∠C，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可．6．矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．假设P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？分析：要使以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似，则要分两两种情况进展分析．分别是△PBQ∽△BDC或△QBP∽△BDC，从而解得所需的时间．解答：解：设经*秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，〔1〕当∠1=∠2时，有：，即；〔2〕当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．7．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．解答：解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：〔1〕当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有=，∴AB==3；〔2〕当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有=，∴AB==3．8．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．假设Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？解答：解：设经过*秒后，两三角形相似，则CQ=〔8﹣2*〕cm，CP=*cm，∵∠C=∠C=90°，当或时，两三角形相似．〔1〕当时，，∴*=；〔2〕当时，，∴*=．19．如下图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．解答：解：〔1〕假设点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴=，=，AP2﹣7AP+6=0，AP=1或AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，△APD∽△BCP．〔2〕假设点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，=，∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．10．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开场向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开场向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t〔秒〕表示移动的时间，则当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．分析：假设以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，有四种情况：①△APQ∽△BAC，此时得AQ：BC=AP：AB；②△APQ∽△BCA，此时得AQ：AB=AP：BC；③△AQP∽△BAC，此时得AQ：BA=AP：BC；④△AQP∽△BCA，此时得AQ：BC=AP：BA．可根据上述四种情况所得到的不同的对应成比例线段求出t的值．11．如图，路灯〔P点〕距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部〔O点〕20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？分析：如图，由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性质求解．12．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区〔如下图〕，亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．分析：因为光线AE、BD是一组平行光线，即AE∥BD，所以△ECA∽△DCB，则有，从而算出BC的长．〔BC=4米〕13.如图，李华晚上在路灯下散步．李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．〔1〕假设李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；〔2〕假设李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和〔DA+AC〕是否是定值请说明理由；〔3〕假设李华在点A朝着影子〔如图箭头〕的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．解答：解：〔1〕由：AB∥OP，∴△ABC∽△OPC．∵，∵OP=l，AB=h，OA=a，∴，∴解得：．〔2〕∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，即．∴．同理可得：，∴=是定值．〔3〕根据题意设李华由A到A'，身高为A'B'，A'C'代表其影长〔如图〕．由〔1〕可知，即，∴