2023学年人教版高一数学下学期期中期末必考题精准练01 平面向量的概念及运算(含详解)

必考点01平面向量的概念及运算

经典必考题

题型一平面向量的有关概念

例题1设ao为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a=|a|-ao；②若a

与ao平行，则a=|a|ao；③若a与ao平行且|a|=1,则a=ao，假命题的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

例题2给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②7a=0(2为实数)，则2必为零；

③九〃为实数，若Na=〃b,则a与b共线.

其中错误的命题的个数为()

A.0B.1

C.2D.3

【解题技巧提炼】

向量有关概念的关键点

(1)向量定义的关键是方向和长度.

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.

(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.

(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.

(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线.

题型二向量的线性运算

例题1(1)在A4BC中，~BD=^BC,若须＞=a,*=b,则而=()

12

B.铲+§b

21

D.铲一利

(2)(一题多解)已知A,B,C三点不共线，且点。满足16OA—12—3OC=0,贝立)

12^+3^B.~OA=\2AB~3~ACC.~OA=~\2AB+

37cD./=—12怎＞一3区

例题2在AABC中，AB=2,BC=3,ZABC=60°,AO为BC边上的高，。为AO的中点,

若初=41耳+〃就，其中2,〃CR,则7+〃等于()

A.1B.1

C.；D:|

【解题技巧提炼】

1.是向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：

一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量

看个性的和用三角形法则.

2.是1.的逆运算.解决此类问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将

向量表示出来，进行比较求参数的值.

(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三南形中，选用从同一顶点出

发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.

找共性(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角

形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已

知向量有直接关系的向量来求解.

题型三向量共线定理及应用

例题1设两个非零向量a与b不共线.

(1)若下耳=a+b,-BC=2a+8b,,=3(a-b),求证：A,B,。三点共线;

(2)试确定实数晨使ka+b和a+kb共线.

【解题技巧提炼】

利用向量共线定理证明三点共线

若存在实数几使瓦万=2后\则A,B,C三点共线.

存在实数入，:向量共线的：一"一［共线向量，：A,B,C：

使第基本定理1AH//AC;有公共点？三点共线:［提醒］

(1)使用向量共线基本定理的大前

提是至少有一个向量是非零向量.

(2)证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.

对点变式练平面向量的有关概念I.给出下列命题:

①若|a|=|b|,则a=b；

②若A,B,C,D是不共线的四点，则AB=OC是四边形ABCD为平行四边形的充要条

件；

③若a=b,b=c,则2=<:；

④两向量a,b相等的充要条件是|a|=|bLSa〃b.

其中正确命题的序号是.

2.设a是非零向量，2是非零实数，下列结论中正确的是（）

A.a与2a的方向相反B.a与於a的方向相同

C.|-Aa|>|a|D.|—^a|>|/l|-a

题型二向量的线性运算

1.在A43C中，AD为3c边上的中线，E为AO的中点，则茴=（）

3—>1―>1—>3―>

A.4AB—jACB.TAB—7AC

C^~AB'+^~ACDr^AB+^AC

2.如图，在直角梯形ABCQ中，~DC=^AB,~BE=2EC,且方>=二宿~>c

+s'AD,贝!I2r+3s=..

题型三向量共线定理及应用.〃

1.在四边形ABC。中，AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABC。

的形状是（）

A.矩形B.平行四边形

C.梯形D.以上都不对

2.已知。为AABC内一点，且而=3（为才+比），~AD=i~\C,若B,0,。三点共线,

则/=（）

11

A-4B.3

C,^D?|

3.已知P是AABC所在平面内的一点，若言=入商其中aGR,则点尸一定在

（）A.AABC的内部B.AC边所在直线上

C.A3边所在直线上D.2c边所在直线上

变式综合练

1.下列结论中正确的是（）

①若》/力且口=M，则日=石；

②若a=b,则allh且，，卜恸；

③若£与坂方向相同且向=忖，则2=5；

④若ZwB，则£与B方向相反且,

A.①③B.②③C.③④D.②④

2.如图所示，梯形A8CO为等腰梯形,则两腰上的向量而与反的关系是（)

A.AB=DCB.\AB\=\DC\c.AB>DCD.AB

<DC

3.已知I，或是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有()

e

①a=5q,b-lei；=~^2>b-3et-2e2；®a=et+e2,

b-3e]-3e2.

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

4.下列各式的结果一定为零向量的是（）

A.CA+AB-BCB.MB+NM-NB

C.CA-BA-DC+BDD.BO+CO+OA+OC

5.如图，向量通=4,AC=b.CD=c＞则向量而可以表示为（）

a+b+cB.a-b+cC.h-a+c

D.h-a-c

6.设不，马是两个不共线的向量，若向量沅=-不+总化eR）与向量五=马-2召共线，则

()A.k=0B.k=lC.k=2D.A=-

2

二、多选题

7.等边三角形A8C中，BD=DC，EC=2AE，A。与5E交于F,则下列结论正确的是

)

A.B.BE=-BA^-BC

33

—1—3—

C.AF=-AB+-AED.BF=-BA+-BC

4423

8.下列命题中，不正确的是（)

A.有相同起点的两个非零向量不共线B.向量G与5不共线，则a与方都是非零向

量

c.若方与5共线，6与^共线，则^与^共线口.“4=5”的充要条件是同=同且刈/5

三、填空题

9.如图所示，每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量，在这6个向量中:

(1)有两个向量的模相等，这两个向量是,它们的模都等于

(2)存在着共线向量，这些共线的向量是，它们的模的和等于.

10.如图，根据图示填空:

（2）c+d=

(3)a+b+d=:(4)a+jj+d+e=:(5)a+b+d+f=

四、解答题

11.如图，设。是团对角线的交点，则

D______C

/(1)与砺的模相等的向量有多少个？

AB

(2)与砺的模相等，方向相反的向量有哪些？

(3)写出与通共线的向量.

__1__

12.在平行四边形ABC。中，BE=EC，BF=-BD,设=AD=b.

(1)用a，b表示AE;

(2)用B表示丽.

必考点01平面向量的概念及运算

经典必考题

题型一平面向量的有关概念

例题1设ao为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a=|a|-a0；②若a

与ao平行,则a=|a|ao；③若a与ao平行且|a|=l,则a=ao，假命题的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

【答案】D

【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a。的模相同，但方向不一定相同，故①是

假命题；若a与a()平行，则a与ao的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a=

一|a|ao，故②③也是假命题.

综上所述，假命题的个数是3.

例题2给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②7a=0(2为实数)，则2必为零；

③I,〃为实数，若Na=〃b,则a与b共线.

其中错误的命题的个数为()

A.0B.1

C.2D.3

【答案】D

【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②错误，当a=0时，不论2

为何值，4a=0.③错误，当4=〃=0时，，a=〃b=O,此时，a与b可以是任意向量.故错

误的命题有3个，故选D.

【解题技巧提炼】

向量有关概念的关键点

(1)向量定义的关键是方向和长度.

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.

(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.

(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.

(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线.

题型二向量的线性运算

..,,-,..----->1----->">----->.----->2।

例题1(1)在ZkABC中，BD=qBC,右A8=a,AC=b,则40=(JA.2a+^b

B-3a+3b

1221

C5a一利D?—

(2)(一题多解)已知4,B,C三点不共线，且点。满足16次一12万万—3安=0,贝女)

\7OA=\2AB+3ACB.~OA=\2AB-3~AC

CTOA=~\2AB+3~ACr>70A=~\2AB-3~AC

【答案】⑴A(2)A

【解析】(I；•左=a,7C=b,~BD=^HC,

：."AD~~AB=y~AC-~\B),

/.ADAB+1AC=,a+gb.故选A.

(2)法一：对于A^OA=\2AB+3AC=\2(~OB-~dA)+3(OC-~OA)=12OB+3~OC~

\50A,整理，可得16万了一12万"一3/=0,这与题干中条件相符合，故选A.

法二：已知4,B,C三点不共线，且点。满足16次一127耳―3万3=0,所以16万才一

12万才=0,所以次=12a+3/，故选A.

例题2在AABC中，A8=2,8c=3,/ABC=60。，A。为8C边上的高，。为A。的中点，

若而=K?^+〃就，其中九M《R，则义+〃等于()

A.1B.2

C.1D.|

【答案】D

【解析】由题意易得利=3+前=正，

贝ij2AO+^BC,

即AO'=][所以)=1，//=7.故％+〃=：+[=].

2o2'6「263

【解题技巧提炼】

1.是向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：

一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量

看个性的和用三角形法则.

2.是1.的逆运算.解决此类问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将

向量表示出来，进行比较求参数的值.

(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出

发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.

找共性(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角

形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与己

知向量有直接关系的向量来求解.

题型三向量共线定理及应用

例题1设两个非零向量a与b不共线.

(1)若方＞=a+b,/=2a+8b,々万=3(a-b),求证：A,B,。三点共线;

(2)试确定实数晨使Aa+b和a+Ab共线.

【解析】(1)证明：VAfi*=a+b,=2a+8b,CD=3(a-b),

.•.丽=/+,=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5潮，

/.AB,8。共线，又它们有公共点8,

B,。三点共线.

(2)V^a+b与a+Zb共线，

工存在实数九使^a+b=A(a+Ab),即伏-2)a=(2%—l)b.

又a,b是两个不共线的非零向量，

ZT=O,

:—1=0.^=±1.

Xk-1=0.

【解题技巧提炼】

利用向量共线定理证明三点共线

若存在实数九使73=义湍，则A,B,C三点共线.

存整数上,向量共线的，一"一.|共线向量，A,B,C：

使嘉二人戏:基本定理遭「fj有公共点I三里的［提醒］⑴使用向量共线基本定理的大前

提是至少有一个向量是非零向量.(2)证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.

对点变式练I题型一平面向量的有关概念

1.给出下列命题:

①若|a|=|b|,则a=b；

②若A,B,C,。是不共线的四点，则/耳=碇是四边形ABC。为平行四边形的充要条

件；

③若a=b,b=c,则a=c；

④两向量a,b相等的充要条件是囿=阳且2〃1).

其中正确命题的序号是.

【答案】②®

【解析】①不正确.两个向量的模相等，但它们的方向不一定相同，因此由|a|=|b唯不出

a=b.②正确.若/N=万则|而|=|万小且三万〃碇.

又..F，B,C,。是不共线的四点，

四边形ABC。是平行四边形.反之，若四边形A8CD是平行四边形，

则AB触QC且其H碇方向相同，因此又才=万不.

③正确.•••a=b,，a,b的长度相等且方向相同.

•「b=c,，b,c的长度相等且方向相同.

.'.a,c的长度相等且方向相同，.•・a=c.

[\a\=\b\

④不正确.当a〃b,但方向相反时，即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故彳/f不是a

_a//h

=b的充要条件.

2.设a是非零向量，2是非零实数，下列结论中正确的是()

A.a与布的方向相反B.a与乃a的方向相同

C.|-Aa|>|a|D.|-；a|>|A|-a

【答案】B

【解析】对于A,当乃>0时，a与7a的方向相同，当7<0时，a与加的方向相反，B1E确;

对于C,|-Aa|=|-；||a|,由于|一川的大小不确定,故|一询与|a|的大小关系不确定；对于D,

|；|a是向量，而I—2a|表示长度，两者不能比较大小.

题型二向量的线性运算

1.在aABC中，AQ为5c边上的中线，E为4。的中点，则司=()A^AB~^AC

1―>3―>

B.AB~~^AC

C^AB+^ACD.^AB+fAC

【答案】A木

【解析】作出示意图如图所示./=说+万万=3而+旨才=另(常/x\\

BDC

1

-----►1----->----->3-----i-

+AC)+5(AB—AC)=^A34Ac

2.如图，在直角梯形ABCD中，DC同=2芭，且/=

rAB+sAD,则2r+3s=.

【答案】3

2

,

A十

【解析】根据图形，由题意可得储=/三+38

DC)=^AB+|(AD+DC)=\AB+1fAD+：+|AD.

__________________10

因为AEG/AB'+SAD〉,所以r=],s—y则2r+3s=1+2=3.

题型三向量共线定理及应用

1.在四边形ABC。中，~AB=a+2b,~BC=~4a~b,~CD=-5a-3b,贝U四边形A8C£>

的形状是()

A.矩形B.平行四边形

C.梯形D.以上都不对

【答案】C

【解析】由已知，得正=下三+/+7方=-8a-2b=2(-4a-b)=2就，故而〃

就.又因为左*与7方不平行，所以四边形ABCD是梯形.

2.已知。为AABC内一点，且而=g(市+碇)，~AD^i~AC,若B,0,。三点共线,

则f=()

A.4B-3

C、D.,

【答案】B【解析】设£是8c边的中点，则|(/+/)=/,由题意得而=定,

所以A0*=\AE>=：(-48>+AC')=；A8'+《A。',又因为B,O,。三点共线，所以;+上

=1,解得f=g,故选B.

3.已知P是所在平面内的一点，若言=入而+国\其中a6R,则点P一定在

()

A.AABC的内部B.AC边所在直线上

C.AB边所在直线上D.8c边所在直线上

【答案】B

【解析】由,=2"次+的得，一正次，~CP.^TCP,0T为共线向量,

又R,乃T有一个公共点产，所以C,P,4三点共线，即点P在直线AC上.

1.下列结论中正确的是（）

①若allb且|°|=|^|<则“=万；

②若a=b,则allb且|fl|-卜|;

③若Z与各方向相同且向=M，则2=占；

④若那，则£与7方向相反且口卜|第

A.①③B.②③C.③④D.②④

【答案】B

【解析】①若薪且/卜M，则力或£=%则①错；

②若2=了，则:〃々且口=收，正确；

③若〉与加方向相同且向=例，则之=石，正确；

④若2W5,则7与B方向不定，且口与W大小也不定，则④错.故选：B

2.如图所示，梯形488为等腰梯形，则两腰上的向量而与反的关系是（）

A.AB=DCB.\AB\=\DC\AB>DC^>-AB

<DC

【答案】B

【解析】AB与8是等腰梯形的两腰，则它们必不平行，但长度相同，故|福|=|觉

又向量不是实数，是不能比较大小的.故选：B.

3.己知B是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（）

—••-•-•[•]•—••*—•»•—•••

①〃=5q,b=7e、；®a=-e1--e2,b=3e1-2e2；@a=e]+e2,b=3e]-3e2.

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

【答案】A

【解析】①中，7与B显然共线；②中，因为5=31—2]=6（：不一:最）=6£,故7与B共

线；

③中，设5=3不-31=左（1+可，得[；1），无解，故£与B不共线.故选：A.

4.下列各式的结果一定为零向量的是（）

A.CA+AB-BCB.MB+NM-NB

C.CA-BA-DC+BDD.BO+CO+OA+OC

【答案】B

【解析】对于A,西+而-前=2而不一定为零向量，不选A；

对于B,通+两一防=丽一丽+雨=丽+而=6，满足题意；

对于C,CA-BA-DC+BD=CB+BD-DC=CD-DC=2CD，不一定为零向量，不选C；

对于D,W+CO+OA+OC=BO+OA=BA，不一定为零向量，不选D.故选：B

5.如图，向量福=a,AC=h，CD=c，则向量而可以表示为（）

/A.a+h+cB.a-b+cC.b-a+c

AaB

D.b-a-c

【答案】C

【解析】而=通-通=/+丽-丽=吕-1+5故选：C.

6.设不，心是两个不共线的向量，若向量碗=-不+小（/R）与向量乃=马-24共线，则

（）A.k=QB.k=lC.k=2D.k=-

2

【答案】D

【解析】因为不，马是两个不共线的向量，且向量肩=-召+小化©R）与向量元=心-2曷共

线，所以〃?=加即一格+小=几值一2耳），所以,解得力=：,

IAC—X,N

故选：D

二、多选题

7.等边三角形ABC中，BD=DC，EC=2AEfAD与BE交于F,则下列结论正确的是

)

A.而=；（而+码B.BE=-BA+-BC

33

—1—3—

C.AF=-AB+-AED.BF=-BA+-BC

4423

【答案】ABC

【解析】如下图所示:

选项A：...丽=反，.•.£>为中点，，而=g（而+/）,

A正确；

110]

选项B：BE=BA+AE=M+-AC=BA+-（AB+BC^=-BA+-BC,B正确；

—1—

选项C：反=2衣,AE=1AC,由于瓦尸,3三点共线，BF=ABE，故

AF=2AE+（1-2）AB=12AC+（1-2）AB,AF=xAD=1x（AB4-AC）=|xAB4-|xAC,

1.1

-A=-X

32

由此可得=><

1

l-A=-xx=—

2

.-.AF=1AD=1X1（AB+AC）=^AB+^X3AE=1AB+^A£,C正确；

选项D：丽=丽+而=丽+3而=丽+3（而一网=丽册一丽）=g丽+；而,

D错误.故选：ABC.

8.下列命题中，不正确的是（）

A.有相同起点的两个非零向量不共线B.向量。与行不共线，则万与R都是非零向

量

c.若日与万共线，5与^共线，则行与e共线D.“1=5”的充要条件是同=同且融5

【答案】ACD

【解析】有相同起点的两个非零向量，若方向相同或相反，则两向量共线，故