北师大版九年级上册数学复习知识点及例题

数学九级上册知识总结第章特殊平四形习特殊平行四边形即矩形、菱形、方形，它们是历年中考的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主包括：矩形、菱形、正方形的性与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方之间的联系，掌握平行四边形是形、菱形、正方形的条件。掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。1.形菱性及定应相知的合用知点纳性

边角

矩对平且等四角是角

菱对平，边等对相

正形对平，边等四角是角质

对角线

互平且等有三个是

互垂平，每互相直平且条角平对线分组角分组角·边等四形判

·平四形有个是·平四形两对线

·平四形有组边等·平四形两对线相直

·矩，有组边等·菱，有个是角对性

既轴称形又中对图矩定：

有一角是直角的平行四边形叫做矩形．【调矩形1是平行四边形）一一个角是直角．矩的质性1矩的四个角都直角；性2矩的对角线相，具有平行四边形的所以性质矩的定矩判方对角线相等的平行四边形是矩形．注意此方法包括两个条件1）是一个平行四边形）对角线相等矩判方四个角都是直角的四边形是矩形．

矩判方3有一个角是直角的平行四边形是矩形。例1：若矩形的对角线长为8cm，条对角线的一个交角为60，该矩形的面积为例2：菱形具有而矩形不具有的质是（）A．对线互相平分；四边都相等；C.角相等；D.邻角互补例3：已：如图，各角的平分线分别相交于点E，，，•H，•求证：四形是形．二．菱形菱定：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【调菱形1是平行四边形）一组邻边相等．菱的质性1菱的四条边都等；性2菱的对角线互平分，并且每条对角线平分一组对角；菱的定菱判方对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件1）是一个平行四边形）两条对角线互相垂直．菱判方四边都相等的四边形是菱形．例1已知：如图，四边形ABCD是形F是AB上点DF交AC于E．求证：∠AFD=CBE例2已：如图ABCD的角线AC的垂直平分线与边、BC分交于E、．求证：四边形AFCE是菱形．

例、

如

ABCD中，O是对角线的中点，过点O作的垂线与边AD、BC别交于、求证：四边形AFCE是形.

A

DB

C例4已知如图，菱形ABCD中，E是BC一点AE、BD交M若∠∠BAE。求证：AM=BE

AB

M

DE

C例．（10湖益阳）如图，在菱形ABCD中∠A=60°,=4,O为角线BD的点，过点作OE⊥，垂足为E．D

C(1)求线段BE

的长．A例6（2011四自）图，四边形ABCD是形，DE交BA的长线于，⊥BC交BC的长线于F请你猜想DF大小有什么关系？并证明你的猜想

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．如图形ABCD的长为EF分是边ADCD上的个动点满足AE+CF=2.（1求证：△≌△BCF；（2判断BEF的状，并说明理由；（3设BEF的积为S求的值范围三．正方正方形是在平行四边形的前提定义，它包含两层意思：①有一组邻边相等的平行四边形（形）②有一个角是直角的平行四边形（形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正形义有一组邻边相等且有一角是直的平行四边叫做正方形．正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正形性总如：边对边平行，四边相等；角四个角都是直角；对线对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．注：正方的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角，对角线与边的夹角是；正方的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．正形判方：•(1)有一角是直角的菱形是正方形；•(2)有一邻边相等的矩形是正方形．•

注：1、正方形概念的三个要点：•（1）是平行四边形；•（2）有一个角是直角；•（3）有一组邻边相等．、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条，确定是正方形.例1已：如图，正方形ABCD中对角线的交点为，是上的一点，⊥AE于，交OA于F求证：．

OB

0．．．0．．．例已：如图，四边形ABCD是方形，分别过点A、两作l∥l，作⊥l于M，DN12l于N，直线、DN分别交l于Q、点12求证：四边形是方形．例（2011海）图，P是长为的正方形对角线动点（P与A、C不合E在线BC上且PE=PB（1求证：①PE=PD；②PE⊥PD（2设=,△的面积为.①求y关于x的数关系式，并写出的值围；②当x取值时，y取最大值，并求出这个最大.1.

上一ABC

D2.顺次连接菱形各边中点所得的边形一定（）A等腰梯形B正方形C平四边形D矩3.如图，已知四边形ABCD平行四边形，下列结论中不正确的是（）A当AB=BC时它是菱形B当ACBD，它是菱形C当时，它是矩形D当AC=BD时它是正方形AD

ＡＦＥBC

Ｂ

Ｄ

Ｃ4.如图，在

中，点

E，

分别在边

AB

，

，

上，且

DE∥

，

DF∥

．下列四个判断中，不正的（）A四边形是行四边形

B．果

BAC

，那么四边形是矩形C．果

AD

平分

BAC

，那么四边形

是菱形D．果AD且那么四边形AEDF是形5.如图，四边形为形纸片．把纸片折，使点恰落在CD边中E处折痕为

AF

．若

，则

AF

等于（）A

3

B

3

C．

42

D．

ＡＤＥＢＦ

AB

E

DC6.

O

EF

AD，

E，

△CDE

A

BD7.在右图的方格纸中有一个菱形（A、、、D点均为格点

B若方格纸中每个最小正方形的边长为，该菱形的面积为BA

A

DB

DB

CC8.如图在形

中对角线

AC

交于点

O

已知

AOD120，2.5

则

的长为．9.边长为５的菱形，一对角线长是，另一条对角线的长是

10.如图所示形

中角

AC

相交于点

O

再补充一个条件能使菱形

成为正方形，则这个条件是（只填一个条件即可A

D

DOC11.如图，已知是方形对线上点，且BC，则∠ACP数是．12.如图，矩形

中，

O

是

与

BD

的交点，过

O

点的直线

EF

与

AB，

的延长线分别交于

E，

．（1求证：

BOEDOF

；（2当EF与AC满什么关系时，以

A，，，

为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．FDAOBCE第题图13.将两块全等的含30°角三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边．A

AB

D

B

D

D

D

B

D

图

C

C

图

C

图

C

图四边形ABCD是行四边形吗？说出你的结论和理由________________________．如图2将eq\o\ac(△,Rt)BCD沿线BD方向平移到Rteq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)D的置，四边形ABCD是平行四边形1111吗？说出你的结论和理由_________________________________________．在eq\o\ac(△,Rt)沿线方平移的过程中，当点的动离_时，四边形D为1矩形其由是_____________________________________点的动距离为时四边

形D为形，其理由．(图、4用探究)11.如，将形

纸片对角

BD

折叠使点

落在

C

处，

BC

交

AD

于

E

，若在不添加任何辅助线的情况下，图45（线也视为角的边）有（）A．6个

B

B5个．4个．个AD

E

C

D

A

M

B2.如图，正方形ABCD的积为，M是的中点，则图中阴影部分的面积是（）A

31B．D103.已知

为矩形

的对角线，则图中

与

一定不相等的是（）D

C

D

C

CD

CA

B

B

A

BA

B

C．

D．4.红带是关注艾滋病防治问题国际性标志将宽为cm2.图重叠四边形的面积_______

1cm

的红丝带交叉成°重叠在一起（如HDGF5.如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3厘，EF＝4厘，则边AD的长是_厘6.如图，已知

，OB

，点

E

在

OB

边上，四边形

是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出

AOB

的平分线（请保留画图痕迹A

AD

E

B

B

E

C7.如图：矩形纸片，AB，点E在上，且．若将纸片沿折，点B恰落在AC上则的是．

A

DPB第二章

一元二方程一、一二次方程（一）一元二次方程定义含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2整式方程叫做一元二次方程。（二）一元二次方程的一般形式bxa，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项，b叫做一次项系数；c做常数项。例方(

m

)x是一元二次方程，.二、一二次方程的法1、直接开方法直接开平方法适用于解形(x)

的一元二次方程b0时，a，x当时，方程没有实数根。例第二象限内一点x—12x轴的对称点为BAB=6．2、配方法一般步骤：（1）

2

bx0(0)两边同时除以a,将二次项系数为1.（2）所得方程的常数项移到方程的右边。（3）得方程的两边都加上一次项系数一半的平方（4）方，化(x)

（5）开方，时，b；当b<0，方程没有实数根。例若方，的取值范围是（Aa

B

C．

D．无法确定

22222201352．．．．3、公式法22222201352．．．．公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方2的求根公式：

b22

(b

2

0)例已知＋4－，那么x＋12x＋值为4、因式分法一元二次方程的一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。例已知一个三角形的两边长是方程x两根三边y取值范围A．y<8B．．D无法确定补充：元二次方程的判别根的判别式

2

1、定义：一元二次方程ax0(中，2叫做一元二次方程bx0(0)的根的判别式。2、性质：b

2

＞0时，方程有两个不相等的实数根；b

2

＝0时，方程有两个相等的实数根；b

2

＜0时，方程没有实数根。例若关于的方程x–1=(b+2)有两个相等的实根，则+b的值为

.例若关于的方程x–无实根，则可取的最小整数为（）（A）-5（B）-4（）-3D）-2补充：元二次方程与系数关系（韦达理）方程axc。xx12a

2

bxa的实数根是x，x么xx11

ba

，第三章

概率的一步认识一、知概括

、频率（1）在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数（2）每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率即：频率

频数频数数据总数实验次数（）在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1因此，各个小长方形的面积的和等于。

．．2、率的求：．．（1）一般地，如果在一次试验中，n可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为P（A）（2）表格法

mn用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。（3）树状图法通过画树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。（当一次试验要涉及三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率例在布袋中装有两个大小一样，质地相同的球，其中一个为红色，一个为白色。模拟“摸出一个球是白球”的机会，可以用下列哪种替代物进行实验（）（A）“抛掷一枚普通骰子出现1点朝上”的机会（B）“抛掷一枚啤酒瓶盖出现盖面朝上”的机会（C）“抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面朝上”的机会（D）“抛掷一枚普通图钉出现针尖触地”的机会例如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指

针都落在奇数上的概率是（）（A）

23（B）510

（C）

31（D）205例如图，一个小球从点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会均等的结果，小球最终到达点的概率是（）（A）

111（B（）（D）24例如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1、、3、4和方块1、2、3、4，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是（）（A）

11（B）（）（D）234例在图中的甲、乙两个转盘中，指针指向每一个数字的机会是均等的.当同时转动两个转盘，停止后指针所指的两个数字表示两条线段的长，如果第三条线段的长为，那么这三条线段不能构成三角形的概率是（）

甲

乙

（A）

6（B（）2525

（D）

1625三、典例题例1.袋有红、黄、白色球各一个，它们除颜色外其余都相同，每次任取一个，又放回抽取两次。求下列事件的概率。（1）全红（）颜色全同（）无白解红黄白

红（红，红）（黄，红）（白，红）

黄（红，黄）（黄，黄）（白，黄）

白（红，白）（黄，白）（白，白）P(全)

颜色全同)

无白

说明：颜色全同包括都是红色或都是黄色或都是白色；无白指没有白色球。例一个密码保险柜的密码由6个字组成，每个数字都是由～9十个数字中的一个，王叔叔忘记了其中最后面的两个数字，那么他一次就能打开保险柜的概率是多少？解他前的个字都已知道只有最后两个数字忘记了，而最后两个数字每个数字出现的可能结果都有10种况那么组成两个数字的可能结果就有种因正好是密码上的最后两个数字的概率是

1100

。例3.袋有红色、黄色、蓝色、白色球若干个，小刚又放5个黑球后，小颖通过多次摸球实验后，发现摸到红球、黄球、蓝球、白球及黑球的频率依次为25，％30％％，％，试估计袋中红色球、黄色球、蓝色球及白色球各有多少个？解小放入5个球后摸到的色球的频率为5％，则可以由此估计出袋中共有球5％

＝100(个)。说明有100个括5个黑球），

×％＝个，黄球100×％＝30个蓝色球100％＝30个白色球×10＝个。例4.甲乙两人用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各次（1）若两次数字之差的绝对值为，或2则甲胜，否则乙胜。这个游戏对双方公平吗？为什么？（）若两次数字和是2的数，则胜，而若和是3的数或的倍数，则乙胜。这个游戏对双方公平吗？为什么？1

6

32

4

84

5

5解1用列表的方法可看出所有可能的结果：

从上表中可以看出两个数字之差的绝对值，为

的种能结果，1的7种能结果，的有6可能结果，所以甲胜的概率为可能性比乙大，所以不公平。（2）通过列表可知：

，而乙胜的概率为，此

甲胜的

出现的两个数字之和是倍数有种，出现的两个字之和是3的数有种，的倍数有种所以甲胜的概率为，乙胜的概率为，因此甲胜的能性小，所以不公平。

比乙例5.小与同学一起想知道每个人中有两个人生肖相同概率们想设计一个模拟实验来估计6个中恰有两个生肖相同的概率，你能帮他们设计这个模拟方案吗？分：以用摸球、扑克牌、转盘、计算器模拟随机整数等方法。注意“一次实验”的设计。解用个全相同小球分别编上号码1～，代表个生肖，放入一个不透明的袋中摇匀后，从中随机抽取一球，记下号码后放回，再摇匀后取出一球记下号码……连续取出6个球为一次实验，重复上述实验过程多次，统计每次实验中出现相同号码的次数除以总的实验次数，得的实验频率可估计每6个中有两个人生肖相同的概率。第四章知点．相图的义

图形相似相似三角形识点解读把形状相同的图形叫做相似图形对应角相等、对应边的比也相等的图形）解）个形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．（2全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．（3判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的系呢？分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变．解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同．例2下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角8°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是填序号．解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为10°的等腰三角形的形状不唯一，

3它们都相似．答案：②⑤⑥．3知点．例段对于四条线段a,b,c,d如其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等（或）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

ab解）条段a,b,c,d成例，记作段有顺序性．

ab

（或a:b=c:d能成其他形式，即比例（2在比例式

ab

（或），比例的项为，中为例外项为比例内项，第四比例项．（3如果比例内项是相同的线段，即

ab

或那么线段做线段和的比例中项。(4)通常四条线段的位应一致但有时为了计算方便ab统为一个单位c和d统为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等．a例3．已知线段b=6mm,求．b分析：求

ab

即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比．例4．已知a,b,c,d成例，且a=6cm,b=3dm,d=

32

，求的度．分析：由成例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段统单位后代入求．知点．似边的质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．解）确解相似多边形的定义，明确“对应”关系．（2明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．例．若四边形ABCD的四边长分别是，，，，与四边形ABCD相似的四边形ABD11的最大边长为30则四边形ABD的小边长是多少？111分析：四边形ABCD与四边形ABD相，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为，11再根据相似多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长．知点．似角的念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．解）似角形是相似多边形中的一种；（2应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；（3相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（4相似用“∽”表示，读作“相似于（5相似三角形的对应边之比叫做相似比．注：①相似比是有顺序的，比如ABC∽eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC，似比为k,若eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC∽△ABC，则1111似比为。若两个三角形的相似比为1则这两个三角形全等，全等三角形是相似三形的特殊情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定等．例6．如图，已ADE∽△DE=2，和相似比是多少？点DE分是ABAC中点吗？

ADEBC注：解决此类问题应注意两方面）相似比的顺序性）图形的识别．解：因为△ADE△ABC所以

ADAE1，因为ABACBC2

，所以

1AB2

，所以DE分是AB，的点．知点．似角判方（1定义：对应角相等，对应边成例的两个三角形相似；（2平行于三角形一边的直线截其两（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似．（3如果一个三角形的两个角分别另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．（4如果一个三角的两条边与另一三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．（5如果一个三角形的三条边分别另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（6直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形都相似．经归和结相三形以几基类：①行线常见的有如下两种，E∥BC则ADE∽△ABCAEBC

EABC②交线常见的有如下四种情形，如图，已知1=∠则由公共角A得ADE∽△ABCA

AE

E

1

B

1

BC如下左图，已知B，则由公共角∠得，△ADC△如下右图，已知，则由对顶角∠∠2得，△ADE△

A

ED

D1

21

AB

C

C

B③转型已知∠BAD=∠，∠B=D，ADE∽△ABC下图为常见的基本图形．AEDBC④子型已知∠0°，AB⊥CD则∽ABC△．CA

D

B解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂的图形中分解出（构造出）上述基本图形．例7．如图，点D在△ABC的上满足怎样的条件时，ACD与△ABC相？试分别加以列举．AD21BC分析此题属于探索性问题相三角形的判别方法可知ACD与△ABC已公共角∠A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可．解：当满足以下三个条件之一时，ACD∽ABC条件一：∠1=∠B条件二：∠2=∠；件三：

AB

，即ACD·．知点．似角的质（1对应角相等，对应边的比相等（2对应高的比，对应中线的比，应角平分线的比都等于相似比；（3相似三角形周长之比等于相似；面积之比等于相似比的平方．例．如图，已知△ADE△ABCAD=8BD=4BC=15，EC=7（1求DEAE的；（2你还能发现哪些线段成比例．

21，2A21，2EDBC分析：此题重点考查由两个三角形相似，可得到对应边成例，即AE解）△∽eq\o\ac(△,AB)eq\o\ac(△,)C，∴AC

ADAEABAC

．∵，AD=8，BC=15，设DE=x，则

8x1215

，∴12x=8×15,x=10;设AE=a,则

a8AD,∴a=14.(2)a12AB2例．已知△ABC∽eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC，=，△ABC的周长为20cm面积为40cm．AB31求（）eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC的周长）eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC的面积．111分析：根据相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方求解．易求出eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC的长为30cm;eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC的面积90cm111五、视与投影1、图三视图包括：主视图、俯视图和左视图。在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。例如图，一几何体的三视图如右：那么这个几何体是

.主视图

左视图

俯视图例如果用□表示1立方体用表示两个立方体叠加用■表示三个立方体叠加那么下面右图由7立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（）A

2、影（1）投影：物体在光线的照射下，在地面上或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象。（）平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投

．．．．．．．．．．．（3）中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。（4）区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。（5）从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。①点在一个平面上的投影仍是一个点；②线段在一个面上的投影可分为三种情况：线段垂直于投影面时，投影为一点；线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。例小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子（）相交B.平行垂直D.无法确定

A例小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在

C阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D处立一标杆，使标杆的影子DE与电线杆的影子部分重叠（即点C、在一直得ED＝2