2019高考数学考点突破-函数的应用函数与方程学案

函数与方程【考点梳理】1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0建立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．零点存在性定理：假如函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不停的一条曲线，而且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系＝b2－4ac＞0＝0＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210【考点打破】考点一、函数零点所在区间的判断【例1】设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)[答案]B[分析]法一：∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0，∴f(1)·f(2)<0，∵函数f(x)＝lnx＋x－2的图象是连续的，∴函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f( )的零点所在的区间转变为函数(x)＝lnx，()＝－x＋2图象交点的xghx横坐标所在的范围，如下图，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．1【类题通法】判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上能否存在零点，要依据详细题目灵巧办理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不可以直接求出时，可依据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也没法判断时，可画出图象判断．【对点训练】11函数f(x)＝2lnx＋x－x－2的零点所在的区间是()1A．e，1B．(1，2)C．(2，e)D．(e，3)[答案]C111[分析]易知f(x)在(0，＋∞)上是单一增函数，且f(2)＝2ln2－2<0，f(e)＝2＋e1－－2>0.∴f(2)f(e)<0，故f(x)的零点在区间(2，e)内.e考点二、判断函数零点的个数【例2】函数f(x)＝lnxx22x,x0的零点个数是________．4x1,x0[答案]3[分析]当x＞0时，作函数y＝lnx和y＝x2－2x的图象，由图知，当x＞0时，f(x)有2个零点；当x≤0时，由f(x)＝0得x＝－1，4综上，f(x)有3个零点．【类题通法】判断函数零点个数的方法：解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不一样的实数解就有几个零点．零点存在性定理法：利用零点存在性定理并联合函数的性质进行判断．数形联合法：转变为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看2其交点的个数，此中交点的个数，就是函数零点的个数．【对点训练】2，x>0，1．已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，x≤0，若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)f(x)＋x的零点个数为________．[答案]3[分析]c＝－2，b＝－4，依题意得解得－1－b＋c＝1，c＝－2.令g(x)＝0，得f(x)＋x＝0，x>0，x≤0，该方程等价于①－2＋x＝0，或②－x2－4x－2＋x＝0，解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2，所以，函数( )＝(x)＋x的零点个数为3.gxf2．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4[答案]B[分析]令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，1x可得|log0.5x|＝2.1x设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝2，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象必定有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．考点三、函数零点的应用x＋2【例3】(1)已知函数f(x)＝log3x－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是( )A．(－1，－log32)B．(0，log52)C．(log32,1)D．(1，log34)32x－a，x≤0，(2)若函数f(x)＝lnx，x>0有两个不一样的零点，则实数a的取值范围是________.(3)已知定义在R上的偶函数f(x)知足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0，2]上f(x)＝x，若对于x的方程f(x)＝logax有三个不一样的实根，则a的取值范围是．[答案](1)C(2)(0，1](3)(6，10)x＋2[分析](1)∵单一函数f(x)＝log3x－a在区间(1,2)内有零点，∴f(1)·f(2)<0，即(1－a)·(log32－a)<0，解得log32<a<1，应选C.(2)当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.由于函数f(x)有两个不一样的零点，则当x≤0xf(x)＝0得a＝2x，由于0<2x0时，函数f(x)＝2－a有一个零点，令≤2＝1，所以0<a≤1，所以实数a的取值范围是(0，1].(3)由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，所以函数图象对于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有a＞1，a＞1，三个不一样的根，则知足f＜2，如图，即loga6＜2，解得6＜a＜10.f＞2，loga10＞2，故a的取值范围是(6，10).【类题通法】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接依据题设条件建立对于参数的不等式，再经过解不等式确立参数范围；分别参数法：先将参数分别，转变成求函数值域问题加以解决；数形联合法：先对分析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，而后数形联合求解．【对点训练】1．函数f(x)＝2x－2－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )xA．(1，3)B．(1，2)C．(0，3)D．(0，2)[答案]C4x2x2[分析]∵函数f(x)＝2－x－a在区间(1，2)上单一递加，又函数f(x)＝2－x－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)＜0，∴(－)(4－1－)＜0，即(－3)＜0，aaaa0＜a＜3.x－a，x≥1，2．已知函数f(x)＝有两个零点，则实数a的取值范围是________．－x，x<1[答案][1，＋∞)[分析]当x<1时，f(x)＝ln(1－x)单一递减，令ln(1－x)＝0，解得x＝0，故f(x)在(－∞，1)上有1个零点，∴f(x)在[1，＋∞)上有1个零点．当x≥1时，令x－a＝0，得a＝x≥1.∴实数a的取值范围是[1，＋∞)．|x|，x≤m，3．已知函数f(x)＝此中>0.若存在实数，使得对于x的方x2－2mx＋4m，x