直线方程的概念与直线的斜率

2.2.1直线方程的概念与

直线的斜率一．直线方程的概念直线的方程与方程的直线：

一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线.由于方程y=kx+b的图象是一条直线，因而我们以后就说直线y=kx+b二．直线的斜率

设直线y=kx+b上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有k=(△x≠0，x1≠x2).1．斜率：2．通常把直线y=kx+b

中的系数k叫做这条直线的斜率；3．垂直于x轴的直线不存在斜率.三．直线的倾斜角1．倾斜角的定义：x轴正向与直线向上的方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角；2．规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角；3．垂直于x轴的直线的倾斜角等于90°.直线的倾斜角与斜率的关系1．斜率和倾斜角都反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度；2．直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是对于与x轴相交的直线，把直线向上的方向与x轴正方向所成的角叫做直线的倾斜角；第二种是与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角；3．直线倾斜角的范围是0°≤α<180°;4．当k=0，直线平行于x轴或与x轴重合.此时直线的倾斜角为0°；当k>0时，直线的倾斜角为锐角；k值增大，直线的倾斜角也随着增大；当k<0时，直线的倾斜角为钝角，k值增大，直线的倾斜角也随着增大；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，但其斜率不存在.

关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C.平行于轴的直线的倾斜角是0或π；D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.E.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).例1．求经过A(－2，0)，B(－5，3)两点的直线的斜率。解：x1=－2，x2=－5，y1=0，y2=3，△x=－3，△y=3，所以斜率k=例2．画出方程3x+6y－8=0的图象。解：由已知方程解出y，得y=－x+，当x=0时，y=，当x=2时，y=

这是一次函数的表达式，它的图象是一条直线在坐标平面内作点A(0，)，B(2，)，作直线AB，即为所求方程的图象。例3．下面选项中两点的直线不存在斜率的是（）（A）(4，2)与(－4，1)（B）(0，3)与(3，0)（C）(3，－1)与(2，－1)（D）(－2，2)与(－2，5)D例4．已知直线l1的倾斜角为α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2=

.解：如图所示，结合图形知：若α1≠0°，则α2=180°－α1；若α1=0°，则关于x轴对称的直线l2与l1平行或重合，α2=α1=0°.例5．求证A(1，5)，B(0，2)，C(2，8)三点共线.解：利用斜率公式计算出AB和AC两条直线的斜率，

因为直线AB和AC的斜率相同，又直线AB和AC过同一点A，所以A、B、C三点共线.例6．已知直线l1和l2关于直线y=x对称，若直线l1的斜率为，求直线l2的斜率.解：在l2上任取不同的两点A(a，b)，B(c，d)

因为l1和l2关于直线y=x对称，

所以A，B两点关于直线y=x

的对称点A’(b，a)，B’(d，c)就一定在l1上，设l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则k1=∴k2=例7．已知实数x、y满足2x+y=8，当2≤x≤3时，求的最大值与最小值.解：如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x+y=8，且2≤x≤3，AB可知点P在线段AB

上移动，并且A、B两点的坐标可分别求得为A(2，4)，B(3，2)，由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA=2，kOB＝，所以可以得的最大值为2，最小值为．AB练习题：1．对于下列命题①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°;②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率;④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.其中正确命题的个数是（

）（A）1（B）2（C）3（D）4C2．如果过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，那么m的值为（

）（A）1（B）4

（C）1或3（D）1或4A3．下列各组点中，在同一直线上的是（

）（A）(－2，3)，(－7，5)，(3，－5)（B）(3，0)，(6，4)，(－1，－3)（C）(4，5)，(3，4)，(－2，－1)（D）(1，3)，(2，5)，(－2，3)C4．已知A(a，2)，B(3，b+1)，且直线AB的倾斜角为90°，则a，b的值为（

）（A）a=3,b=1

（B）a=3,b=2

（C）a=2,b=3

（D）a=3,b∈R且b≠1D5．给出下列四个命题：①一条直线必是某个一次函数的图象；②一次函数y=kx+b的图象必是一条不过原点的直线；③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线.其中正确命题的个数是（

）（A）0（B）1（C）2（D）3A6．直线l过A(－2，)，B(2，)两点，其中t≠0，则此直线的斜率为

，此直线经过第

象限－1一、二、四7．若点A(2，－3)，B(3，－2)，C(，m)三点共线，则m=

.8．已知过点P(1－a，1+a)