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文档简介

直线与平面的夹角

如果一条直线与一个平面垂直，我们就说这条直线与平面的夹角为90°.

如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为0°.

平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢？我们先研究如何计算平面的斜线与该平面内任一条直线的夹角。

如图，已知OA是平面α的斜线段，O是斜足，线段AB垂直于α，B是垂足，则直线OB是斜线OA在平面α内的正射影。设OM是α内通过点O的任一直线，OA与OB所成的角为θ1，OB与OM所成的角为θ2，OA与OM所成的角为θ，下面我们用向量的运算来研究θ，θ1，θ2之间的关系。

在上述公式中，因为0≤cosθ2≤1，所以cosθ≤cosθ1.因为θ和θ1都是锐角，所以θ1≤θ.由此我们得到：斜线和它在平面内射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角。斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线与平面所成的角(或斜线和平面的夹角).

如图，设向量在平面α内的射影为，且直线AB与平面α的夹角为θ，易证：例1．∠BAC在平面α内，过这角的顶点A引平面α的斜线AP，且使∠PAB=∠PAC，求证斜线AP在平面α内的射影平分∠BAC及其对顶角。例2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E1，F1分别在A1B1,C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小

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