2019年高考理科数学考前30天-计算题专训(十)

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十）17．（本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cosB3，sinAcosBccosAsinB0．51）求边b的值；2）求△ABC的周长的最大值．【答案】（1）由sinAcosBccosAsinB0得sinAcosBcosAsinBcsinB．∴sinCcsinB，即sinCsinB．c由正弦定理得sinBsinC，故b1．bc（2）由余弦定理得，a2c2b22accosB16ac．521616ac2≤，∴ac≤5．525因此当ac时，△ABC的周长的最大值为51．18．（本小题满分12分）2018年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区比赛，学生假如此中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其他的比赛，而每个学生最多也只好参加5次比赛．规定：若前4次比赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不可以参加比赛．假定某学生每次成绩达全区前20名的概率都是1，每次比赛成绩达全区前20名与否相互独立．41）求该学生进入省队的概率．2）假如该学生进入省队或参加完5次比赛就结束，记该学生参加比赛的次数为，求的散布列及的数学希望．【答案】（1）记“该生进入省队”的事件为事件A，其对峙事件为A，34则PAC14133381．4444128∴PA1PA18147．1281281（2）该生参加比赛次数的可能取值为2，3，4，5．121，P3C121313，P24164443224P4C311313278127．44442562566413327．P5C144464故的散布列为：2345P13272716326464E2133427527269．163264646419．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为菱形，ABC60，PAAB2，过BD作平面BDE与直线PA平行，交PC于E．1）求证：E为PC的中点；2）求二面角AEDB的余弦值．【答案】（1）证明：连结AC，设ACIBDO，连结OE，则O为AC的中点，且面PACI面BDEOE，∵PA∥平面BDE，∴PA∥OE，∴E为PC的中点．（2）∵PA∥OE，∴OE底面ABCD，∴OEAC．又∵ACBD，OEIBDO，∴AC平面BED．过点O作ED的垂线，交ED于M，连结AM．∵OMED，∴AMED，∴AMO为所求的平面角．ODOEEDOM，∴OM3，又OA1，∴AM7．222∴cosAMOOM21，∴二面角AEDB的余弦值为21．AM7720．（本小题满分12分）椭圆x2y21ab0的右焦点为F12,0，过F1作圆a2b2x2y2b2的切线交y轴于点Q，切点N为线段F1Q的中点．1）求椭圆的方程；2）曲线yx2m与椭圆交于四点，若这四个点都在同一个圆上，求此圆的圆心坐标．【答案】（1）由已知得c2b，且c2，∴b2，∴a2b2c23b26．因此椭圆的方程为x2y21；62（2）由曲线yx2m知曲线的图象对于y轴对称，又椭圆x2y21的图象也是对于y轴对称，因此圆心在y轴上，62设圆心为M0,t，曲线yx2m与椭圆在一、四象限交于Ax1,y1，Bx,y两点，则y1x12m，y2x22m．22把x2ym代入x2y21得3y2ym60，∴y1y21，623又由MAMB得x12y1t2x22y2t2，即x2x2yt2yt2yyyy2tx2x2yy2t，221212112211∵x1x2，∴y1y22t11，∴t1．33因此此圆的圆心坐标为0,1．321．（本小题满分12分）已知函数fxalnx1x21ax，此中a1．2（1）求函数fx的单一区间；（2）证明：对随意nN*时，ln11ln12L11．nnln2n2n3【答案】（1）fxa1ax1xa0，xx，xx①若a≤0，当0x1时，fx0，当x1时，fx0．因此fx的单一递加区间为1,，单一递减区间为0,1；②若，当ax1时，fx0，当0xa或x1时，fx0，0a1因此fx的单一递加区间为0,a，1,，单一递减区间为a,1；（2）证明：当a1时，由（1）知fx在x1处获得最小值，2