2022年长沙市中考数学模拟试题详细解答

{来源}2022年湖南长沙中考数学试卷{适用范围:3．九年级}{标题}2022年湖南省长沙市中考数学试卷考试时间：120分钟满分：120分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，合计36分．{题目}1．(2022年长沙T1)下列各数中，比﹣3小的数是()A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1{答案}A{解析}本题考查了有理数的大小比较，正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由于，所以﹣5＜﹣3＜﹣1，因此本题选A．{分值}3{章节:[1-1-2-4]绝对值}{考点:有理数的大小比较}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2．(2022年长沙T2)根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2022年，长沙电网建设改造投资规模达保安全供用电需求数学记数法表示为()A．15×109 B．×109 C．×1010 D．×1011{答案}C{解析}本题考查了用科学记数法表示一个绝对值较大的数，科学记数法就是把一个数写成a×10n的形式(其中1≤＜10，n为整数)，其具体步骤是：(1)确定a，a是整数位数只有一位的数；(2)确定n；当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含整数位数上的零)×1010，因此本题选C．{分值}3{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}3．(2022年长沙T3)下列计算正确的是()A．3a＋2b＝5ab B．(a3)2＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．(a＋b)2＝a2＋b2{答案}B{解析}本题考查了整式的运算，A选项是整式的加法，其实质是合并同类项，3a与2b不是同类项，故不能相加；B选项是幂的乘方，底数不变，指数相乘，故正确；C选项是同底数幂的除法，底数不变，指数相减，故正确结果为a4；D选项是和的完全平方公式，展开口诀为：“首平方，尾平方，积的2倍夹中间”故正确结果为a2＋2ab＋b2．因此本题选B．{分值}3{章节:[1-14-2]乘法公式}{考点:整式加减}{考点:幂的乘方}{考点:同底数幂的除法}{考点:完全平方公式}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}4．(2022年长沙T4)下列事件中，是必然事件的是()A．购买一张彩票，中奖 B．射击运动员射击一次，命中靶心C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是180°{答案}D{解析}本题考查了事件的分类，A、B、C选项都是随机事件；D选项是必然事件；因此本题选D．{分值}3{章节:[1-25-1-1]随机事件}{考点:事件的类型}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}5．(2022年长沙T5)如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是()A．80° B．90° C．100° D．110°{答案}C{解析}本题考查了考查了对顶角的定义，平行线的性质，由对顶角的定义可得∠AED＝∠1＝80°，又因为AB∥CD，所以由两直线平行同旁内角互补可得：∠2＝180°－∠AED＝100°，因此本题选C．{分值}3{章节:[1-5-3]平行线的性质}{考点:对顶角、邻补角}{考点:两直线平行同旁内角互补}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}6．(2022年长沙T6)某个几何体的三视图如图所示，该几何体是(){答案}D{解析}本题考查了由三视图判断几何体，从正面看和侧面看都是三角形的只要D选项，因此本题选D．{分值}3{章节:[1-29-2]三视图}{考点:由三视图判断几何体}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}7．(2022年长沙T7)在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的()A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差{答案}B{解析}本题考查了中位数，中位数反映的是一组数据中等水平，要判断11名参赛同学中的小明是否进入前5名，只需比较自己的成绩与第6名的成绩即可．因此本题选B．{分值}3{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}{考点:中位数}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}8．(2022年长沙T8)一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是()A．2π B．4π C．12π D．24π{答案}C{解析}本题考查了扇形的面积，由扇形的面积公式S＝＝，因此本题选C．{分值}3{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}{考点:扇形的面积}{{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}9．(2022年长沙T9)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是()A．20° B．30° C．45° D．60°{答案}B{解析}本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角，直角三角形两锐角互余，由垂直平分线的性质可知：AD＝BD即由等边对等角得：∠DAB＝∠B＝30°，再由三角形的外角性质得∠ADC＝∠DAB＋∠B＝60°，在Rt△ADC中，∠C＝90°所以∠CAD＝90°－∠ADC＝90°－60°＝30°，因此本题选B．{分值}3{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}{考点:直角三角形两锐角互余}{考点:三角形的外角}{考点:垂直平分线的性质}{考点:等边对等角}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}10．(2022年长沙T10)如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是()A．30nmile B．60nmile C．120nmile D．(30＋30)nmile{答案}D{解析}本题考查了与方位角有关的解直角三角形，如图，在Rt△ACD中，由题意可知：AC＝60，∠ACD＝30°，∠ADC＝90°，所以AD＝AC＝30，CD＝ACcos30°＝60×＝30，在Rt△BCD中，由题意可知：∠BCD＝45°，∠BDC＝90°，所以BD＝CD＝30，所以AB＝30＋30，因此本题选D．{分值}3{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}{考点:解直角三角形－方位角}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}11．(2022年长沙T11)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是()A． B． C． D．{答案}A{解析}本题考查了从实际问题中抽象二元一次方程组模型，根据题意发现等量关系是解题的关键，由“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺”可列方程为y＝x＋，由“将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”可列方程为＝x－1，因此本题选A．{分值}3{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组}{考点:简单的列二元一次方程组应用题}{类别:数学文化}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}12．(2022年长沙T12)如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋BD的最小值是()A．2 B．4 C．5 D．10 {答案}B{解析}本题考查了垂线的性质、正切、勾股定理，过点D作DF⊥AB于点F，由同角的余角相等得：∠BDF＝∠A，所以tan∠BDF＝tan∠A＝2即，∴即DF＝BD，∴CD＋BD＝CD＋DF，由“垂线段最短”可知：当C、D、F三点共线且CF⊥AB时，CD＋DF值最小，最小值即为CF的长度．此时，设AF＝x，则CF＝2x，又因为AC＝10，所以由勾股定理得x2＋4x2＝100，解得x＝2，所以CF＝4．{分值}3{章节:[1-28-3]锐角三角函数}{考点:垂线的性质}{考点:勾股定理}{考点:正切}{考点:几何选择压轴}{类别:常考题}{难度:4-较高难度}{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，合计18分．{题目}13．(2022年长沙T13)式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．{答案}x≥5{解析}本题考查了二次根式有意义的条件，由二次根式有意义的条件可知：x－5≥0即x≥5．{分值}3{章节:[1-16-1]二次根式}{考点:二次根式的有意义的条件}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}14．(2022年长沙T14)分解因式：am2－9a＝．{答案}a(m－3)(m＋3){解析}本题考查了提公因式法因式分解和平方差因式分解，对一个多项式因式分解时，先观察式子特点，如果有公因式先提取公因式后利用公式进行因式分解，特别要注意：因式分解一定要彻底，分解到每一个多项式都不能再分解为止．{分值}3{章节:[1-14-3]因式分解}{考点:因式分解－提公因式法}{考点:因式分解－平方差}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}15．(2022年长沙T15)不等式组的解集是．{答案}﹣1≤x＜2{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解每一个不等式，再取每个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法：①借助数轴；②利用口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小无解集”．解不等式x＋1≥0得x≥﹣1，解不等式3x－6＜0得x＜2，所以不等式组的解集为﹣1≤x＜2．{分值}3{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}{考点:解一元一次不等式组}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}16．(2022年长沙T16)在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球试验次数100100050001000050000100000“摸出黑球”的次数36387202240091997040008“摸出黑球”的频率(结果保留小数点后三位)根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是．(结果保留小数点后一位){答案}{解析}本题考查了用频率估计概率，当大量重复做某一试验时，某一事件发生的频率就会在某一数值附近摆动，这个数值就是概率．大量重复试验时，可以用频率估计概率．{分值}3{章节:[1-25-3]用频率估计概率}{考点:利用频率估计概率}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}17．(2022年长沙T17)如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是m．{答案}100{解析}本题考查了三角形中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以AB＝2DE＝100(m)．{分值}3{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}{考点:三角形中位线}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}18．(2022年长沙T18)如图，函数y＝(k为常数，k>0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点(点M在点A的左侧)，直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM是等边三角形，则k＝2＋；④若MF＝MB，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是(只填序号){答案}①③④{解析}本题考查了，，因此本题选．{分值}3{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}{考点:反比例函数与一次函数的综合}{考点:代数填空压轴}{类别:常考题}{难度:5-高难度}{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共8个小题，合计66分．{题目}19．(2022年长沙T19)计算：{解析}本题考查了绝对值的意义、负指数的定义、二次根式的除法、特殊角的三角函数值．{答案}解：原式＝＋2－－1＝1{分值}6{章节:[1-28-3]锐角三角函数}{难度:2-简单}{类别:常考题}{考点:绝对值的意义}{考点:负指数的定义}{考点:二次根式的除法法则}{考点:特殊角的三角函数值}{题目}20．(2022年长沙T20)先化简，再求值：，其中a＝3．{解析}本题考查了分式的混合运算，按照运算顺序依次计算，若有括号时，先算括号里的．{答案}解：原式＝＝，当a＝3时，原式＝＝．{分值}6{章节:[1-15-2-2]分式的加减}{难度:3-中等难度}{类别:易错题}{考点:因式分解－提公因式法}{考点:因式分解－完全平方式}{考点:约分}{考点:通分}{考点:两个分式的加减}{考点:分式的混合运算}{题目}21．(2022年长沙T21)某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．等级频数频率优秀2142%良好m40%合格6n%待合格36%根据以上信息，解答下列问题：(1)本次调查随机抽取了名学生，表中m＝，n＝；(2)补全条形统计图；(3)若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．{解析}本题考查了．{答案}解：(1)50；20；12；(2)(3)2000×(42%＋40%)＝1640(人)，答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人．{分值}8{章节:[1-10-1]统计调查}{难度:2-简单}{类别:常考题}{考点:频数与频率}{考点:统计表}{考点:条形统计图}{考点:用样本估计总体}{题目}22．(2022年长沙T22)如图，正方形ABCD，点E，F分别在边AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．(1)求证：BE＝AF；(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．{解析}本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定SAS、勾股定理、相似三角形的判定(两角相等)、相似三角形的性质．证明两条线段相等的问题，通常考虑这两条线段所在的三角形全等；求线段长度的问题，通常考虑由“相似(或勾股定理、锐角三角函数)”建立方程解之，体现了方程思想．{答案}解：(1)∵四边形ABCD是正方形，DE＝CF，∴AB＝AD＝CD，∠BAE＝∠ADF＝90°，AE＝DF，在△ABE和△DAF中，AB＝AD，∠BAE＝∠ADF，AE＝DF，∴△ABE≌△DAF，∴BE＝AF．(2)∵AB＝4，DE＝1，∴AE＝3，在Rt△BAE中，由勾股定理得：BE＝5，∵△ABE≌△DAF，∴∠EAG＝∠EBA，∵∠BAE＝90°，∴∠EBA＋∠AEB＝90°，∴∠EAG＋∠AEB＝90°，即∠AGE＝90°，在△ABE和△GAE中，∠BAE＝∠AGE＝90°，∠BEA＝∠AEG，∴△ABE∽△GAE，∴即，∴AG＝．{分值}{章节:[1-18-2-3]正方形}{难度:3-中等难度}{类别:思想方法}{类别:常考题}{考点:正方形的性质}{考点:全等三角形的判定SAS}{考点:勾股定理}{考点:相似三角形的判定(两角相等)}{考点:相似三角形的性质}{题目}23．(2022年长沙T23)近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2．42万人次．1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？{解析}本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率，增长率问题只要通过审题弄清楚基础量a，最终量b，变化次数，套公式a(1＋x)n＝b即可解决．{答案}解：(1)设增长率为x由题意得：2(1＋x)2＝解得：x1＝＝10%，x2＝﹣(舍)答：增长率为10%(2)×(1＋10%)＝(万人)答：按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到万人次{分值}{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}}{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}{题目}24．(2022年长沙T24)根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比．(1)某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”)．①四条边成比例的两个凸四边形相似；(命题)②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(命题)③两个大小不同的正方形相似．(命题)(2)如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．(3)如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．{解析}本题考查了命题真假的判断、相似三角形的判定(两边夹角)、相似三角形的性质、平行线分线段成比例．判断两个四边形是否相似，紧扣定义，分别证明四个角都相等，四条边都成比例．{答案}解：(1)假；假；真；(2)如图，分别连接BD、B1D1，∵∠BCD＝∠B1C1D1，，∴△BCD∽△B1C1D1，∴∠CBD＝∠C1B1D1，∠CDB＝∠C1D1B1，，又∵∠ABC＝∠A1B1C1，∴∠ABD＝∠A1B1D1，，∴，∠ADB＝∠A1D1B1，∠DAB＝∠D1A1B1，∴，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，∠ADC＝∠A1D1C1，∠DAB＝∠D1A1B1，∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．(3)∵四边形ABFE与四边形EFCD相似，∴，∵EF＝OE＋OF，∴，∵EF∥AB∥CD，∴，，∴，∴，∵AD＝DE＋AE，∴，∴2AE＝DE＋AE，即AE＝DE，∴{分值}{章节:[1-27-3]图形的相似}{难度:4-较高难度}{类别:易错题}{类别:新定义}{考点:平行线分线段成比例}{考点:相似三角形的判定(两边夹角)}{考点:相似三角形的性质}{考点:相似三角形的应用}{考点:相似多边形的性质}{题目}25．(2022年长沙T25)已知抛物线y＝﹣2x2＋(b－2)x＋(c－2022)(b，c为常数)．(1)若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b，c的值；(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；(3)在(1)的条件下，存在正实数m，n(m<n)，当m≤x≤n时，恰好有，求m，n的值．{解析}本题考查了抛物线与一元二次方程的关系、解一元二次方程．{答案}解：(1)由题可设：y＝﹣2(x－1)2＋1去括号得：y＝﹣2x2＋4x－1∴，解得(2)设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别为(x0，y0)，(﹣x0，﹣y0)，代入解析式可得：，∴两式相加可得：﹣4x02＋2(c－2022)＝0，∴c＝2x02＋2022，∴c≥2022(3)由(1)可知抛物线y＝﹣2x2＋4x－1＝﹣2(x－1)2＋1，∴y≤1，∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好有，∴，∴即m≥1，∴1≤m≤n，∵抛物线对称轴x＝1，开口向下，∴当m≤x≤n时，y随x增大而减小，∴当x＝m时，ymax＝﹣2m2＋4m－1，当x＝n时，ymax＝﹣2n2＋4n－1，又∵∴，将①整理得：2n3－4n2