优选课件：人教B版高中数学必修第四册112 平面的基本事实与推论

11.2平面的基本事实与推论课标阐释思维脉络1.理解平面的三个基本事实与三个推论,会运用三种语言表示事实和推论.2.能进行文字语言、图形语言、符号语言之间的互相转化.激趣诱思知识点拨日常生活中存在如下的现象:固定照相机或测量用的平板仪的支撑架都设计成三脚架;自行车、摩托车加一个侧撑就可平稳地放在地面上;一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了.你知道这些设计的原理吗?激趣诱思知识点拨知识点一:点、线、面之间的位置关系及表示

文字语言图形语言符号语言点A在直线l上A∈l点A不在直线l上A∉l点A在平面α内A∈α点A不在平面α内A∉α激趣诱思知识点拨文字语言图形语言符号语言直线l在平面α内l⊂α直线l不在平面α内l⊄α直线l和直线m相交于点Al∩m=A平面α与平面β相交于直线aα∩β=a激趣诱思知识点拨微思考1“直线l不在平面α内”就是说“直线l与平面α平行”对吗?提示:不对,直线l不在平面α内说明直线l与平面α平行或者直线l与平面α相交.微思考2若A∈a,a⊂α,是否可以推出A∈α?提示:根据直线在平面内定义可知,若A∈a,a⊂α,则A∈α.激趣诱思知识点拨微练习如图所示,平面ABEF记作平面α,平面ABCD记作平面β,根据图形填写:(1)A∈α,B

α,E

α,C

α,D

α.

(2)α∩β=

.

(3)A∈β,B

β,C

β,D

β,E

β,F

β.

(4)AB

α,AB

β,CD

α,CD

β,BF

α,BF

β.答案:(1)∈

∈

∉

∉

(2)AB

(3)∈

∈

∈

∉

∉

(4)⊂

⊂

⊄

⊂

⊂

⊄激趣诱思知识点拨

知识点二:平面的基本事实

文字语言图形语言符号语言基本事实1经过不在一条直线上的3个点,有且只有一个平面,即不共线的3点确定一个平面若A,B,C三点不共线,则有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内如果A∈α,B∈α,那么直线AB⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,这条直线通常称为两个平面的交线如果A∈α,A∈β,则α∩β=a且A∈a激趣诱思知识点拨名师点析

1.基本事实1中,“有且只有一个”有两层含义,“有”表示存在,“只有一个”表示唯一,故“有且只有一个”表示存在并且唯一.本事实的作用:①确定平面;②证明点、线共面.2.基本事实2中,阐述了两个观点:一是整条线在平面内;二是直线上所有点在平面内.本事实的作用:可判断直线是否在平面内,点是否在平面内,也可用直线来检验平面.3.基本事实3中,此事实中强调的是两个不重合的平面,只要它们有公共点,其交集就是一条直线,若无特别说明,提到的两个平面,都指不重合的两个平面.激趣诱思知识点拨微思考1经过空间中的三点,能作出几个平面?提示:当三点共线时,能作出无数个平面,当三点不共线时,只能过这三点作出唯一的一个平面.微思考2两个平面的交线可能是一条线段吗?提示:不可能.由基本事实3知,两个平面若相交,则它们的交线是一条直线.激趣诱思知识点拨微练习1如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,且M∈l,N∈l,那么(

)

A.l⊂α B.l⊄α

C.l∩α=M D.l∩α=N答案:A解析:因为M∈a,N∈b,a⊂α,b⊂α,所以M∈α,N∈α,根据基本事实2可知l⊂α.故选A.激趣诱思知识点拨微练习2若两个不重合的平面有公共点,则公共点有(

)A.1个

B.2个C.1个或无数个

D.无数个且在同一条直线上答案:D解析:利用基本事实3可知若两个平面有一个公共点,则它们就一定有一条交线,而线是由无数个点构成的,所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点.激趣诱思知识点拨微练习3已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则(

)A.P∉α,Q∈α B.P∈α,Q∉αC.P∉α,Q∉α D.Q∈α答案:D解析:∵Q∈m,m⊂α,∴Q∈α.∵P∉m,∴有可能P∈α,也可能有P∉α.激趣诱思知识点拨知识点三:平面基本事实的推论

文字语言图形语言符号语言推论1经过一条直线与直线外一点,有且只有一个平面,即直线与直线外一点确定一个平面点A∉直线BC⇒存在唯一的平面α,使A∈α,直线BC⊂α推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面直线AB∩直线AC=A⇒存在唯一的平面α,使直线AB⊂α,且直线AC⊂α推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面l∥m⇒存在唯一的平面α,使l⊂α,且m⊂α激趣诱思知识点拨微思考经过空间任意两条直线能确定一个平面吗?提示:不一定.只有经过空间两条相交或平行的直线才能确定一个平面.激趣诱思知识点拨微练习1三点可确定平面的个数是(

)

A.0 B.1C.2 D.1或无数个答案:D解析:当这三点共线时,可确定无数个平面;当这三点不共线时,可确定一个平面.微练习2三条直线两两相交,可确定

个平面.

答案:一或三解析:当三条直线共点时可确定三个或一个,当三条直线不共点时可确定一个平面.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测文字、图形、符号三种语言的转化例1用符号语言和文字语言分别表示下面的图形.解:符号语言:l⊂α,m∩α=M,M∉l.文字语言:直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点M,点M不在直线l上.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测变式训练

1用文字语言表示下列符号语言,并画图表示(其中P是点,a,b,m是直线,α,β是平面):α∩β=m,a⊂α,b⊂β,a∩m=P,b∩m=P.解:用文字语言表示为:分别在两个相交平面α,β内的两条直线a和b相交,且交点P在平面α,β的交线m上.图形如图所示(画法不唯一).探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测证明多线共面问题例2求证:如果两两平行的三条直线a,b,c都与另一条直线l相交,那么这四条直线共面.证明:如图所示,因为a∥b,可知直线a与b确定一个平面,设为α.因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α.又因为A∈l,B∈l,所以由基本事实2可知l⊂α.因为b∥c,所以直线b与c确定一个平面β,同理可知l⊂β.因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由经过两条相交直线,有且只有一个平面,可知平面α与平面β重合,所以直线a,b,c和l共面.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测变式训练

2过直线l外一点P,引两条直线PA,PB和直线l分别交于A,B两点.求证:三条直线PA,PB,l共面.证明:如图所示,∵PA∩PB=P,∴过PA,PB确定一个平面α.∴A∈α,B∈α.∵A∈l,B∈l,∴l⊂α.∴PA,PB,l共面.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测证明多点共线问题例3已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测证明:∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知:点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P,Q,R三点共线.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟

证明点线共面的常用方法(1)归一法:先由部分元素确定一个平面,再证其余元素也在这个平面内,其中第一步要应用基本事实1,第二步要应用基本事实2.(2)重合法:应用基本事实2,先由部分元素分别确定平面,然后应用基本事实1证明这几个平面重合.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测变式训练

3

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,体对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M.求证:C1,O,M三点共线.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测证明:由AA1∥CC1,则AA1与CC1确定一个平面ACC1A1.∵A1C⊂平面ACC1A1,而O∈A1C,∴O∈平面ACC1A1.又A1C∩平面BC1D=O,∴O∈平面BC1D.∴O点在平面BC1D与平面ACC1A1的交线上.又AC∩BD=M,∴M∈平面BC1D且M∈平面ACC1A1.又C1∈平面BC1D且C1∈平面ACC1A1,∴平面ACC1A1∩平面BC1D=C1M,∴O∈C1M,即C1,O,M三点共线.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测证明三线共点问题例4如图,在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3,求证:EF,GH,BD交于一点.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测证明:如图可知,平面ABD∩平面BCD=BD.所以FH∥GE且GH,EF交于点O.因为GH⊂平面ABD,O∈GH.所以O∈平面ABD.因为EF⊂平面BCD,O∈EF,所以O∈平面BCD.所以O∈BD.所以EF,GH,BD交于一点.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟

证明三线共点的常用方法先说明两条直线共面且交于一点,再说明这个点在两个平面内.于是该点在这两个平面的交线上,从而得到三线共点.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测延伸探究

(1)例4中将证明EF,GH,BD交于一点改为判断E,F,G,H四点是否共面并证明.(2)例4中如果将条件改为在AB,BC,CD,DA上分别取点G,E,F,H并且满足GH与EF相交于一点O,结论如何?探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测故GE∥HF且GE≠HF,所以E,F,G,H四点共面且组成梯形.(2)EF,GH,BD交于点O.证明:因为GH与EF相交于一点O,GH在平面ABD内,EF在平面BCD内,所以O在两平面的交线上,而平面ABD与平面BCD交于直线BD,所以O在BD上,即EF,GH,BD交于点O.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测交线问题例5如图所示,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列点、直线的平面与正方体表面的交线.(1)过点G及直线AC;(2)过三点E,F,D1.分析找出两个平面的两个公共点,则过这两个公共点的直线为两平面的交线.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测解:(1)画法:连接GA交A1D1于点M;连接GC交C1D1于点N;连接MN,AC,则MA,CN,MN,AC为所求平面与正方体表面的交线.如图①所示.(2)画法:连接EF交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q;连接D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N;连接MF,NE,则D1M,MF,FE,EN,ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图②所示.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟

(1)画两平面的交线时,关键是找到这两个平面的两个公共点,这两个公共点的连线即是.在找公共点的过程中往往要借助于基本事实2和基本事实3.(2)还要注意:①在平面几何中,凡是所引的辅助线都要画成虚线.②在立体几何中,被遮挡的部分画成虚线,没被遮挡的部分则画成实线.在学习时,一定要正确添加辅助线,否则将影响空间立体感的形成,不利于空间想象力的培养.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测分类讨论思想的应用典例三个平面将空间分成几部分?请画出图形.分析平面具有无限延展性,任一平面都将空间分为两部分.可先对两个平面在空间中的位置分类讨论,再让第三个平面以不同的情况介入,分类解决.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测解:(1)当平面α、平面β、平面γ互相平行(即α∥β∥γ)时,将空间分成4部分,如图①所示.①

探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测(2)当平面α与平面β平行,平面γ与它们相交(即α∥β,γ与其相交)时,将空间分成6部分,如图②所示.②

(3)当平面α、平面β、平面γ都相交,且三条交线重合时,将空间分成6部分,如图③所示.③

探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测(4)当平面α、平面β、平面γ都相交,且三条交线共点,但互不重合时,将空间分成8部分,如图④所示.④

探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测(5)当平面α、平面β、平面γ两两相交,且三条交线平行时,将空间分成7部分,如图⑤所示.⑤

探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测1.下面是一些命题的叙述语(A,B表示点,a表示直线,α,β表示平面):①∵A∈α,B∈α,∴AB∈α;②∵A∈α,A∈β,∴α∩β=A;③∵A∉α,a⊂α,∴A∉a;④∵A∈a,a⊄α,∴A∉α.其中命题和叙述方法都正确的个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.3答案:B解析:③正确.①错,其中的AB∈α应为AB⊂α.②错,其中α,β应该交于一条过A点的直线.④错,因为点A可能是直线a与平面α的交点.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测2.(2020陕西绥德中学高一期末)下列说法错误的是(

)A.平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点B.经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面C.经过两条相交直线,有且只有一个平面D.如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合答案:A解析:对于A,平面与平面相交成一条直线,因此它们有无数个公共点,A错误;对于B,直线和直线外一点确定一个平面,B正确;对于C,两条相交直线确定一个平面,C正确;对于D,不共线的三点确定一个平面,D正确.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成