优选课件：人教B版高中数学必修第四册92正弦定理与余弦定理的应用

9.2正弦定理与余弦定理的应用核心互动探究探究点一测量不可到达的两点之间的距离【典例1】1.如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,则河的宽度为________.

2.如图,设A,B两点在河的两岸,要测量这两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC=60m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,求A,B两点的距离.【思维导引】1.过点C作CD⊥AB,求CD即可.2.在三角形中由正弦定理计算距离.【解析】1.在△ABC中,过点C作CD⊥AB,因为AB=120m,∠CAB=30°,∠CBA=75°,所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=75°,所以AC=AB=120m,则河的宽度为CD=ACsin30°=60m.答案:60m2.∠ABC=180°-75°-45°=60°,所以由正弦定理得,所以AB=(m).即A,B两点间的距离为20m.

【类题通法】求距离问题时应注意的两点(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.【定向训练】1.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于(

)A.30(

+1)m B.120(

-1)mC.180(

-1)m D.240(

-1)m【解题指南】记A点正下方为O,在△AOB与△AOC中,根据题中数据,分别求出OB,OC,则BC=OC-OB.也可以先求出AB,再利用正弦定理计算BC.【解析】选B.方法一:记A点正下方地面上对应的点为O,由题意可得OA=60m,∠ABO=75°,∠ACO=30°,在Rt△AOB中,由=tan75°=tan(45°+30°)=得到OB==60(2-)(m),在Rt△AOC中,由=tan30°=得到OC==60(m),所以河流的宽度BC=OC-OB=60-60(2-)=120(-1)m.方法二:记A点正下方地面上对应的点为O,由题意可得OA=60m,∠ABO=75°,∠ACO=30°,在Rt△AOB中,sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=,所以AB=m,在△ABC中,∠BAC=45°,由正弦定理得,所以BC==120(-1)m.2.如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1km.试探究图中B,D间的距离与另外哪两点间的距离相等,然后求B,D间的距离(计算结果用根号表示).【解题指南】先求∠ADC与∠BCD,进而可发现CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA;而要求BD,可利用正弦定理在△ABC中求BA即可.【解析】在△ADC中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,所以CD=AC=0.1km,又因为∠BCD=180°-60°-60°=60°,故CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA,即B,D间的距离与另外B,A两点间的距离相等.在△ABC中,即AB=km,因此BD=km,故B,D间的距离为km.探究点二航行中的距离问题【典例2】如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,求A,B两处岛屿间的距离.【思维导引】先在△ACD中求出AD,再在△DCB中求出BD,接着在△ABD中由余弦定理求得AB.【解析】在△ACD中,∠ADC=15°+90°=105°,∠ACD=30°,所以∠CAD=45°,由正弦定理可得:解得AD=(海里).在Rt△DCB中,∠BDC=45°,所以BD=CD=40(海里).在△ABD中,由余弦定理可得:AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=800+3200-2×20×40×=2400,解得AB=20(海里).答:A,B两处岛屿间的距离为20海里.

【类题通法】航行问题的解题技巧(1)在航行等问题中,通常是把方位角(方向角)与几何图形结合起来,求出几何图形的有关角.(2)几何图形的应用是解决实际问题的重要辅助手段,一是从图形的完整性方面画出图形;二是把多边形向三角形转化.【定向训练】一艘海轮从A出发,沿北偏东80°的方向航行6nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东20°的方向航行6nmile后到达海岛C.如果直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?【解题指南】要求航行方向及航行距离,只要在△ABC中求出∠BAC以及AC即可.【解析】在△ABC中,AB=BC=6nmile,∠ABC=180°-80°+20°=120°,所以∠BAC=∠BCA=30°,由余弦定理得AC=又∠BAC=30°,所以80°-∠BAC=50°.答:此船应该沿北偏东50°的方向航行,需要航行6nmile.【补偿训练】如图所示,某观测站C在城A的南偏西20°的方向,从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路,在C处观测到距离C31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20km后到达D处,测得C,D两处的距离为21km,这时此车距离A城多少千米?【解析】在△BCD中,BC=31km,BD=20km,CD=21km,由余弦定理得cos∠BDC=所以cos∠ADC=,所以sin∠ADC=在△ACD中,由条件知CD=21km,∠BAC=20°+40°=60°,所以sin∠ACD=sin(60°+∠ADC)=由正弦定理得所以AD==15(km).故这时此车距离A城15km.探究点三高度、角度问题【典例3】1.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.

2.如图,已知两条公路AB,AC的交汇点A处有一学校,现拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,在两公路旁M,N(异于点A)处设两个销售点,且满足∠A=∠PMN=75°,MN=(

+

)千米,PM=2

千米,设∠AMN=θ.(1)试用θ表示AM,并写出θ的范围;(2)当θ为多大时,工厂产生的噪声对学校的影响最小(即工厂与学校的距离最远).(注:sin75°=

)【思维导引】1.将空间几何问题转化为平面几何问题,解三角形.2.(1)利用正弦定理解决;(2)由余弦定理转化为求三角函数的最小值.【解析】1.如图所示,由已知得∠BAC=30°,AB=600m,∠EBC=75°,∠CBD=30°,在△ABC中,∠ACB=∠EBC-∠BAC=45°,由得BC==300(m).在Rt△BCD中,CD=BC·tan∠CBD=300×=100(m).答案:1002.(1)因为∠AMN=θ,在△AMN中,由正弦定理得因为MN=,所以AM=4sin(75°+θ)(0°<θ<105°).(2)连接AP,在△APM中,AM=4sin(75°+θ),所以由余弦定理得AP2=AM2+MP2-2AM·MPcos∠AMP=16sin2(75°+θ)+12-16·sin(75°+θ)cos(75°+θ)=8[1-cos(2θ+150°)]-8

sin(2θ+150°)+12=20-8[

sin(2θ+150°)+cos(2θ+150°)]=20-16sin(2θ+180°)=20+16sin2θ(0°<θ<105°),当且仅当2θ=90°,即θ=45°时,AP2取得最大值36,即AP取得最大值6.所以当θ=45°时,工厂产生的噪声对学校的影响最小.

【类题通法】计算高度的注意事项(1)解决有关高度问题时,正确理解仰角、俯角是关键.(2)在实际问题中,当研究空间与平面(地面)的问题时,通常画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,把空间问题转化为平面问题,明确三角形中的边长和角度,确定应用正弦定理或余弦定理计算.提醒:【定向训练】1.如图,在山脚A测得山顶P的仰角为30°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B,在B处测得山顶P的仰角为60°,则山高PQ= (

)A.a米 B.

米 C.

a米 D.

a米【解题指南】设∠QAP=α=30°,∠QAB=β=15°,∠CBP=γ=60°,在△PAB中,∠PAB=α-β=15°,∠BPA=

=γ-α=30°,由正弦定理可求PB,根据PQ=PC+CQ=PB·sinγ+asinβ可得结果.【解析】选C.设∠QAP=α=30°,∠QAB=β=15°,∠CBP=γ=60°,在△PAB中,∠PAB=α-β=15°,∠BPA==γ-α=30°,由正弦定理得,所以PB=

a.所以PQ=PC+CQ=PB·sinγ+asinβ=

a×sin60°+asin15°=

a(米).2.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度向正东方向匀速行驶,经过t小时小艇与轮船相遇.假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短的时间与轮船相遇,并说明理由.【解题指南】先画出简图,再对照图形理解题意,然后确定各个角度、各条边长(边长有已知的,有用字母表示的),并尝试用正、余弦定理,函数,不等式的知识解答.【解析】设小艇航行速度的大小是v海里/时,如图所示,设小艇与轮船在B处相遇.由余弦定理得:BO2=AO2+AB2-2AO·ABcosA.所以(vt)2=400+(30t)2-2×20×30tcos(90°-30°),即(v2-900)t2+600t-400=0(其中0<v≤30),①当0<v<30时,则Δ=360000+1600(v2-900)=1600(v2-675),令Δ=0,即1600(v2-675)=0,则v=15,1°当0<v<15时,两船不会相遇;2°当15≤v<30时,当时,令x=则x∈[0,15),

当且仅当x=0,即v=15时,等号成立;当时,同理可得<t≤;所以当15≤v<30时,t>;②当v=30时,可求得t=;综合①②可知,当v=30时,t取得最小值,且最小值是,此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20,所以可设计方案如下:小艇的航行方向是北偏东30°,航行速度为30海里/时,此时小艇能以最短的时间与轮船相遇.【课堂小结】课堂素养达标1.为测一河两岸相对两电线杆A,B间的距离,在距A点12米的C处(AC⊥AB)测得∠ACB=30°,则A,B间的距离应为 (

)A.6米 B.4

米 C.6

米 D.12

米【解析】选B.在△ABC中,A=90°,∠ACB=30°,由tan30°=,得AB=ACtan30°=4(米).2.在某次测量中,A在B的北偏东55°,则B在A的 (

)A.北偏西35° B.