(完整版)高职专升本第二章导数及其应用习题及答案

应用数学习题集第二章导数及其应用一.选择题f(x)1．若在x0处可导，则以下结论错误的是（D）。f(x)f(x)A在x0处有极限；B在x0处连续；Cf(x)在x0处可微；Df'(x)limf(x)必成立。xxf(x)2．若在x0处可导，则（B）是错误的。(02-03电大试题)f(x)A函数在点x0处有定义；Blimf(x)A，但Af(x)；0xx0f(x)f(x)C函数在x0处连续；D函数在x0处可微。f(x)f(x)3．在x0处不连续，则在x0处（A）A必不可导；B有时可导；C必无定义；D必无极限。f(x)4．函数=|2x|在x=0处的导数（D）。A等于0；B等于2；C等于-2；D不存在。f(x)5．函数=|sinx|在点x=0处的导数（D）。A等于-1；B等于0；C等于1；D不存在。6．yln|x|，则y’=（B）。A1|x|111；B；C；D。xx|x|7．曲线y=sinx在点(0,0)处的切线方程是（C）。y1xCy=xDy=-xAy=2xB28．f(x)xcosx，则f"(x)=（D）。(02-03电大试题)Acosx+xsinxBcosx-xsinxC2sinx+xcosxD-2sinx-xcosx9．函数中在[1，e]上满足Lagrange定理条件的函数是（B）。1Ay=ln(lnx)；By=lnx；Cy=；Dy=ln(2-x)。lnxf(x)10．若在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，Lagrange定理的结论是至少存在一点ξ，使（A）。1Af'()f(b)f(a)；Bf'()；baf(b)f(a)f'()(ba)；Df'()f(b)f(a)C。'()011．fx0f(x)，则x是函数的（D）。(02-03电大试题)0A.极大值点；B.最大值点；C.极小值点；D.驻点。f(x)12．x是连续函数在(a,b)内的极小值点，则（C）。0A必有f'(x)0；Bf'(x)必不存在；00'()0Cfxf'(x)不存在；Dx∈(a,b)时，必有f(x)f(x)。或00013．y=arctanex，则dy=（C）。ex1edxxdx。1e2xA；B1e2x；C1e2x；D1e2x14．设f(x)xcosx，则f'(x)=（C）。2A1-sinx2；B1+sinx2；C1-sinx2·2x；D(1-sinx2)·2x。t15．设f(t)，则f'(t)=（B）。t21A1t213t21；Dt212t；B(t21)2；C(t1)t21。2216．limaxxa(a0)的值是（D）。xaxaA0；B1；C∞；Daa(lna1)。f(x)17．若x1与x2分别是函数在(a,b)内的一个极大点和一个极小点，则（D）必成立。Af(x)f(x)；Bf'(x)f'(x)0；1212C对x∈(a,b)，f(x)f(x)，f(x)f(x)；Df'(x)、f'(x)可能为0，也可能不存在。121218若limf(x)f(x)1，则f(x)f(x)一定是的（D）。0(xx)200xx0A最大值；B极小值；C最小值；D极大值。二.填空题：1．已知=lnx，则limln(xx)lnx=1。xxf(x)x022．若函数yln3，则y’=0。3．曲线y=x3+4在点(0,4)处的切线平行于x轴。4．抛物线y=x2在点(1/2,1/4)处的切线的倾斜角是45°。f(x)5．已知=x·sinx，则f"()=2。dyy=。dxxexy6．方程xy所确定的隐函数的导数f(x)lim()f(0)7．若函数在x=0处可微，则fx=。x0cotxdx8．dln(sinx)=。tanxdx=。9．dln(cosx)(sin)10．deexcosexdx。x11．半径为x的金属圆片，面积为S(x)。加热后半径伸长了△x，应用微分方法求出△S≈S’(x)△x。12．limlnx0。exx13．函数y=arctan(x2+1)的递增区间是(0,)。14．函数y=ln(2x4+8)的递减区间是(,0)。15．函数y=sinx-x在其定义域内的单调性是单调减少。f(x)16．极值存在的必要条件：如果在点x0处取得极值且在点x0处可导，则f(x)0。17．若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内f'(x)0，则函数的最小值为f(b)。18．设函数yf(x)二阶可导，若f'(x)0、f"(x)0，则f(x)是f(x)的极大值。00019．已知生产某种产品的成本函数为C(q)802q，则产量q50时，该产品的平均成本为3.6。20．微分近似计算函数值公式f(xx)f(x)f'(x)x。三、解答题：111．求函数y的导数。1x1x112解：因为y1x，所以1x1x3y'2(1)2。(1x)(1x)222．求函数ylnxsinx的导数。1sinxlnxcosx解：y'(lnx)'sinxlnx(sinx)'xsinxxlnxcosx。sinxsin2xxsinx22yxex3．求函数cosx的导数。解：y'excosxxexcosxxexsinxex(cosxxcosxxsinx)。4．求方程yx2在点(3,9)处的切线方程。解：曲线yx2在点(3,9)处的切线的斜率为yx2在点(3,9)处的导数因为y'|2x|6，所以切线的方程为x3x3y96(x3)即6xy905．求函数ysin2xcos2x的导数。解：y'2sinx(sinx)'cos2xsin2x(sin2x)22sinxcosxcos2x2sin2xsin2x2sinx(cosxcos2xsinxsinx2x)2sinxcos3x。x的导数。6．求函数ylntan2解：y'xsec2x1111。sinxxx2sincos2222tan217．求函数y的导数。cosnx解：y'(cosnx)'ncosn1x(cosx)'nsinx。cosxn18．利用对数求导法求函数y(cosx)sinx的导数。解：两边取自然对数，得lnysinxlncosxx两边对求导，得4y'cosxlncosxsinxsinxycosxy'y(cosxlncosxsinxtanx)(cosx)sinx(cosxlncosxsinxtanx)。9．利用对数求导法求函数y(sinx)lnx的导数。解：两边取自然对数，得lnylnxlnsinxx两边对求导，得y'1lnsinxlnxcosxyxsinx1y'y1lnsinxlnxcotx(sinx)lnxlnsinxlnxcotxxxdy所确定的隐函数的导数。dxy10．求方程xyx解：两边取自然对数，得ylnxxlnyx两边对求导，得y'lnxy1lnyxy'xydyy(xlnyy)整理，得dxx(ylnxx)。11．求方程arctanylnx2yxdy2所确定的隐函数的导数。dxx解：两边对求导，得1y'xy12x2yy'2xyx2y22x2y221xdyxy整理，得dxxy。dy所确定的隐函数的导数。dxy12．求方程xeyexx解：两边对求导，得eyxeyy'y'exyex5dyeyyex整理，得dxexxey13．己知函数yxex，求y(n)。解：因为y'exxexex(x1)，y''ex(x1)exex(x2)，y'''ex(x2)exex(x3)，……所以，y(n)ex(xn)14．已知y(n2)x，求y(n)。lnxlnxx1解：y(n1)lnx1x，ln2xln2x1ln2x(lnx1)2lnx12lnxxxln3xy(n)x。ln4x15．求函数yarcsinx的微分。1dx。2x(1x)解：dyd(arcsinx)d(x)1x16．求函数yecotx的微分。解：dyd(ecotx)ecotxd(cotx)ecotxcsc2xdx。17．半径为10cm的金属圆片，加热后半径伸长了0.05cm，求所增加面积的精确值与近似值。解：S(rr)2r22rr(r)2，dSd(r2)2rdr。当r10，drr0.05时，S1.0025，dS。即增加面积的精确值为1.0025，近似值为。18．判断函数f(x)lnx在区间[1,e]上是否满足Lagrange定理？如果满足就求出定理中的。f(x)(0,)内连续可导，所以f(x)在区间[1,e]上解：因为f(x)lnx是初等函数，在其定义域连续，在区间(1,e)内可导，满足Lagrange定理条件。因而在区间内至少存在一点，使得(1,e)f'()1lneln11e1e16即e1。19．利用L’Hospital法则求极限limxlnx。xxlnx11解：limxlnxx型limxlnxx1xlnxxxx11lim型lim0。xxlnxxxlnx220．利用L’Hospital法则求极限limlntan5x。lntan8xx0lntan5x解：lim型lntan8xx01sec25x55sin16x516limtan5xlim11sec8x88sin10x810x0x02tan8x21．利用L’Hospital法则求极限limxx。x0解：limxxlimexlnxexlim0xlnx，x0x01lnxx因为limxlnxlim型limlimx0，11x0x0x0x0xx2所以limxxe01。x022．求函数yexx1的单调区间。解：令y'ex10，解得驻点，把定义域x0x0(,)分成(,0)和(0,)两个子区间。列表x(,0)(0,)0x00--++f'(x)f(x)↘↗由表可知：函数f(x)在(,0)内递减，在(0,)内递增。yxlnx23．求函数2的极值点和极值。711解：令y'2xlnxx2x(2lnx1)0，解得x0或xex02。因为不在函数的定义域(0,)分成0,ee,两个子区间。列表x111(0,)内，舍去；xe2把2和211e,x0,e12e2+22lnx10-0f'(x)-+极小值1f(x)↘↗2ey112时，函数有极小值由表可知：当xe。2e1xe2224．求函数y2xx4的极值点和极值。解：令y'4x4x34x(1x2)4x(1x)(1x)0，解得x0和x1。驻点x0和x1把函数的定义域(,)分成(,1)，(1,0)，(0,1)和(1,)四个子区间。列表x(,1)(1,0)(0,1)(1,)0001011xx--+-+++++1x00+++---0f'(x)f(x)+↗极大值极小值0极大值↗↘↘11x0y0由表可知：当时，函数有极小值；当x1y1时，函数有极大值。25．求函数f(x)xln(1x)的单调区间与极值解：Qf(x)xln(1x)x(1,)f(x)111x由f(x)=0，知x=0x(1,0)(0,)0y08y0]Zf(x)的单调下降区间为（-1，0），上升区间为(0,)f(x)的极小值f(0)026若f(x)是可导的奇函数，试证f'(x)是偶函数。f(x)证：因是可导的奇函数，知f(x)f(x)，求导，有f'(x)f'(x)，所以f'(x)f'(x)，即f'(x)是偶函数。H27．验证Lagrange中值定理对函数yax2bxc(a0)所求得的点ξ恒在正中间。解：函数yax2bxc(a0)在任意一个区间[m,n]上连续，在(m,n)内可导，因此在(m,n)内至少存在一点ξ使f'()f(n)f(m)nm由已知条件：f(n)f(m)(an2bnc)(am2bmc)(nm)[a(nm)b]f(n)f(m)a(nm)bnmf'()2ab于是2aba(mn)bmn即228.求曲线y6x24x2x4的凹凸区间和拐点解：y6x24x2x4xRy648x4x3y4812x212(x24)由y0知x2,22,22,x22yy-0+092689fx,22,所以曲线的凹区间2,2拐点2,292,68所以曲线fx的凸区间29.求曲线yxex的凹凸区间和拐点解：yexxexyexexxex所以yexx2由于y0x2,22,x2y-0y2e2fx2,所以曲线的凹区间,2拐点2,2e2fx所以曲线的凸区间30.求曲线yx44x32x5的凹凸区间和拐点解：y4x312x212y12x224x由y12xx20知：x0x212,00,22,x02yy+0-0+517fx所以曲线的凹区间,02,0,52,17fx0,2所以曲线的凸区间拐点1533231.求函数yxx24x在区间[-1，2]上的最值。解yx25x4(x1)(x4)令y0，求得区间[-1，2]上的驻点x1。10因为f(1),f(1),f(2)2，所以函数的最大值为f(1)，最小值为411111663641f(1)。6S32.设有一根长为L的铁丝，现将其分为两段，分别构造成圆形和正方形。若记圆形的面积为1,正方形SSSS的面积为，求证：当+最小时，121S4。22证：设圆的半径为x，正方形的边长为y。由已知2x4yL所以yLx。因此42L22L22f(x)SSxy2xxxLx，(0xL)22424416122f(x)2xL44L令f(x)0得唯一驻点x82L2S