二阶非齐次线性微分方程的解法研究

1dt11dt1dt数学分析中所研究的函数，就是指自变量与因变量之间的一种关系。但在实际问题中，往往很难找到自变量与因变量之间的直接联系（即函数关系，反而比较容易从变化过程中求出自变量，因变量及它们的导数或微分的关系式。这种联系着自变量、未知函数及它们的导数或微分的关系式，称之为微分方程。微分方程特别是线性微分方程在实际问题中有着广泛的应用本文除简洁介绍n阶线性微分方程的主要基本理论外，着重对二阶常系数线性微分方程的解法进行研究。1线性微方程的本理与初等法1.1基本论[1][2]dxdt

xtndtn

tttn

（）dxnxtdtdtn

tt0n

（1.2方程（1.1称为n阶非齐次线性微分方程，方程（1.2称为n阶齐次线性微分方程。下面给出方程（1.1和（1.2）的解的性质和结构。定理（齐线性方程解的叠加原理）如果x1

,tn

是方程（1.2的n解它们的线性组cc,c112n12是任意的常数。

n定理2）的通解结构定理）如果1性无关的解，则方程（1.2）的通解可表示为：xcx1122n

,tn

是方程（1.2的个线（1.3其cc12

c

n

是任意的常数，且（1.3包括了方程（）的所有解。1

1nn1nn定理3（非齐线性方程解的叠加原理）如x1nn1nn12定理1.1）的通解结构定理）如果x1

是方程（1.2的基本解组，而）的某一解，则方程（）的通解可表示为：1122nn

（1.4其cc12

c

n

是任意的常数，且（1.4包括了方程（）的所有解。1.2初等法假设方程（1.1和（1.2）中的所有系数都是常数，即dnnxftdtndtdnxxdtndtn

（1.5（1.6方程（1.5称为n阶常系数非齐次线性方程，方程（1.6称为n阶常系数齐次线性方程。齐线性方的初解法①常系数齐线性方对于常系数齐线性方程1.6）的求解，关键在于找出它的基本解组，n个线性无关解。参照一阶常系数齐线性方程的求解，对于方程（1.6）我们也试求其形如e解，其待定常数，将其代入方程（1.6）得：

的

a

n

0由于对于t都

，则：2

nn1nnFnn1nn

0

（1.7式（1.7称为方程（）的特征方程。而方程（1.6的解的形式将由式（1.7的特征根决定。这就是所谓的欧拉待定指数函数法。例1.求解方程

dxx0dt解：特征方程

特征根

1

42故所求通解为x1

t

e2

4t

，其c为任意常数1dd2x例2.求解方程x0dt4dt解：特征方程

特征根

（二重根）故所求通解为x(t)ttt,其数123i②欧拉方程所谓欧拉方程就是指如下特殊的变系数方程：

n

d

n

1

n

dnn

x0

（1.8经变换x

t

,t，(1.8)：dydyy0dtdt

（1.9方1.9形如y=e

的解方1.8形如

的解y

代1.8得特征方程：

1

n

（1.10）3

2nnn至此，对于方程（1.8的求解方法可参照方程（）的求解非齐线性程的等解法①常数变易法在求解一阶非齐线性方程的通解时，我们使用了常数变易法，这一方法同样适用于求解非齐线性方程（1.1具体方法与步骤如下：1）写出方程（1.2）的通解：cx1122n2）常数变易，即令xc1122

（1.11）3）把（1.11）及其一阶到n阶导数（在附加了个条件）代入方程（）,可得个确c

i

,n)的方程组（（A）

2nxx0

解方程组（A）c()ii

i,n4）逐个积分，ci

i

i

i,5）写出方程（1.1）的通解：xc122n=

i

iii

i

n数ii例3.求方

2

于t0的通解解：对应齐线性方程

tx

解之得

1xAt2

，AB为任意常数易知基本解组为

1t

2原方程可改写为

x

1t

x

(*)4

1121nn则运用常数变易法，令x1121nn1tc11解ctt,cttr6

2

,入上式(*)得故原方程的通解为rt12

2

1t3

3

,

r,r为任意常数12②比较系数法现在讨论常系数非齐线性方程（1.5dnnxftdtndt的求特解问题

（1.5事实上，当方程1.5的非齐次项f状时，可采用一种简便有效的求特解方法————比较系数法。类型设fm1

m

t)

，其bim)为实常数，那么i方（1.5有特解：k(BtmB0

temm

其中k为特征重数，而BB0

B

m

为待定常数，可通过比较系数法来确定。类型设（或不超过m次多项式则方（有特解：x

[P

，

其中k为特征重数m多项式，可通过比较系数法来确定。例4.求解解：特征方程

5

特征根

1

2

则对应齐线性方程通解为x1

t

2

f

t

是特征根，取k=1方程有特解tBe

t

Bte

t

，代入原方程，Be

t

t1B4解为

14

t故原方程的通解为1

t

2

14

t

,

c,c为任意常数12例5.求t的解解：特征方程

特征根

2i

2i则对应齐线性方程通解为ctt)e

tf

co

不是特征根，故取方程有特解Acossin)

，代入原方程，得(5Aeo(4eio则

AB解得

5A414B41故特解为x

141

t4sint)

故原方程的通解为cos2ttet1

141

(5cost4sin)e

其cc为任意常数12至此，关于方程（1.5的求解大体可分为两大步骤：6

1）先求出对应齐线性方程的基本解组；2）根据t的具体情况，运用比较系数法，求出特解，随后组合便得方程（的通解。2二阶常系数非齐性微分程的法研究线性微分方程的理论研究已比较完善，应用范围也很广泛，特别是二阶常系数线性微分方程在力学、电工学等方面应用最广泛。根据前面的知识，我们知道对于二阶常系数非齐线性方程的求解为两大步骤求出对应二阶常系数齐线性方程的通解；二是求解出二阶常系数非齐线性方程的一个特解，随后组合便得非齐线性方程的通解。二阶常系数非齐线性方程ypyqyfx

（2.1）二阶常系数齐线性方程

ypyqy

（2.2）2.1

特解的法研究求解齐线性方程）的方法已经趋于完善，因此求得方程）一个特解便成为求解方程（）的关键。下面介绍几种求特解的方法。2.1.1升阶法[3]对于方程ypyqyfx

（2.1）①当x为项式时，设fxa0

n

a1

n

a

n

xa

n

，此时方程（）两边同时对求导n次，得ypyqya0

n1

a1

n2

a

n1y

1)

py

n

qy

a

0

a1y

2)

py

qy

a

0

显然，方程）的解存在，且满足上述方程。最后一个方程的一个明显解（不妨7

设q0,时，

a0q

.此时(ny(

由y

与y通过倒数第二个方程可得y

依次往上推，一直推到（可得方程（2.1）的一个特解y上面这种方法称为升阶法。此种方法比一般教科书所介绍的比较系数法更为简便。下面举几个例子来探讨比较一下。例求方程x的一个特解解：方程（1）两边同时对x求导，得y方程（2）两边同时对x求导，得

（1）（2）y

令4y得y

，再将其代（12xyx

2

x2因此方程（1）的一个特解yx例求方程y的一个特解解：方程（3）两边同时对x求导，得

（3）8

y

（4）方程（4）两边同时对x求导，得y令

得y

得y

再将其代入（32

得

2

1，解得y3

31故方程（3）的一个特解为y3

3②当x1

a

x)e

)

时，令y则

,

ue

代入方程（整理得

)u

)axnxn1

x

这样，类型②就可转变为类型①。从这里可以看出，升阶法不需要讨是否为特征根的问题。因此，求解问题的过程得以简化。例求方程y

xe

3x

（5）的一个特解解：令y

,则方程（5）可化为利用方法①，方程（6）两边同时对x求导，得

（6）（79

u

）得

17再

1代入（6x7110解之得方程（6）的一个特解为x749110因此方程（5）的一个特解为yx)e749

3x③当f余弦函数时我们首先将其转化为复指数的形式然后按②的方法进行求解。例4.求方程y的一个特解

（8）解：以方程（8）的非齐次项f

ix

，作方程y

ix

（9）令y

ix

，再利用方法②，可求因此方程（9）的特解为xsin故方程（8）的一个特解为cosx④当f函数、正弦函数或余弦函数某种组合时，这时可根据迭加原理进行求解。例5．求方程yx的一个特解解：方程（10）的右端由两项组成，故根据迭加原理，可先分别求下列两个方程

（10）y

5

2

（11）y

（12）10

rr的特解，而这两个特解之和即为方程（）的一个特解由方法①，可求得（）的特解为21

1262x5由方法②，可求得（）的特解为2

34

xe

x因此方程（）的一个特解为yy1

2

1262xxex54252.1.2公式法[6][7]对于方程（2.1f式时，可采用比较系数法求特解具有一定局限性。下面介绍当特征r且无论f况下的特解公式。12定理

设二阶常系数非齐线性方程

f

（2.1）且该微分方程的特征根（实根或虚根）r,r两个一阶线性微分方程：122

yf1yf2且设它们的特解分别为,，r，则方程（2.1）有特解22

1y112

)证明：因r,rrq的根1r

prr2

2

2显

f

pr)01

r

f

pr)011

11221211221212且r1

r

f

x

2pr1

rx

f

x

2

左端=

1r12

re1

r

f

2

r

f12

p+rerfxrxfexr12

qr1

rfxedxxfexdx设

1ferfexr121则rrfdxerfexr12

1r1

rrefxxf1rerxfedxfxrx2这左

f故y

为方程（）的一个特解例1.求方程y的一个特解解：特征方程特征根

r2rr2,r12构造微分方程

xe2，y

xe

2由一阶微分方程通解公式，可得上两方程的特解分别为y1

12

x2e2，12

1x11x1y

2

2x故原方程的特解为y

1r1

1

2x

1(x2

2

例2.求方程y的一个特解解：特征方程r特征根

ri，1

r2构造微分方程

ycosy

由一阶微分方程通解公式，可得上两方程的特解分别为1

1i24

xi

2

1i24

2

故原方程的特解为y

1r1

(y12

11)x242.1.3积分法[8][9]对于方程y

（2.1）y

）定理

设2.2）的一个非零解，y1y）在区间[0，x]上的一个特解。1证明：

113

xxqx11rxr1xxxqx11rxr1x11

利用参变量积分的求导公式，得y

y1

0

y1y

f

x

y1

0

y1

x

f

y

f

11

0

1

p1

0

1ff

1

1

故y

是方程（）的一个特解，证毕符合方程非零解解出而同时得到。设1r,r是两个特征值，y121,rr12yrr1er例1.求y一个特解解：特征方程rr特征根

r

i故取

sin2,

y故特解为1

12

x0

esin)tsin214

x1x1x1x1x1xe4

x0

xcos(2xt)1e4

x

[2x

cos(2t)dt]1xcos2xexsin24例2.求yx的一个特解解：特征方程rr特征根故取

rr1

y故特解为y1

x

)xttdtx()tdt

415

x22.2通解的法研究从上面所学的知识，我们知道对于方程2.1）的求解，一般情况下要分两步来完成其过程繁琐计算量大易出错现在我们尝试两步并一步走直接探寻方（）的通解公式。2.2.1公式法[10]设方程（2.1程为r,r，达理12prqr，从而y12

f)12

ryf1(y

y)1

(2

y)f1

y，115

0011xxe则

qyf

yyy21解方程组得rx

x

,y

rx

f

故方程（2.1）的通解为y

r

(r)

[

f

]dx由此可得：定理7

若

f的特征根r,r（包括共轭复根12则方程的通解可表示为：

r

(r)

[

f

]dx（定理证明参考文献[11]）推论

若y

f有两个相同的实r方程的通12解为

r

f

.例1.求解方程y解：特征方程r2r

2x特征根

rr212由定理7得，所求通解为

r

(r)

[

f

]dx3

3x

12

2

xx2e2

2

e31例2.求解方程2x解：特征方程r0特征根rri1

12

2x16

001112012作辅助方程001112012

2ix故所求辅助方程的通解为：

e

2ix

1(xei

ix

ix

)dx0

1(xe3e3ix392i

2ix

)11ixe2ixcix39ii

14故所求通解y)cossinxx2sin2x39利用定理7在某些特殊情当积分为可积时得通解但须进行二次积分，有一定局限性我们不妨利用该通解公式令积分常数均为0即得原方程的一个特解，然后根据非齐次方程的通解结构求出通解。定理

若rr121（1）rr时，原方程特解为[r21

r

f

rx

f特别地，rr且为共轭复根bi时，12特解0

eaxb

bx]（2）rrr，原方程特解为[x120（定理证明参考文献[11]，[12]）例3.求y

x的通解解：特征方程

r

r0特征根

rr1由定理8，原方程有特解：cos

xdx17

2

，

0故所求通解为：e12

e

cos)2

为任意常数例4.求y

2x的通解12解：特征方程r

2

r特征根

rr12定理8，由原方程有特解：0

3x

[x

e

2x1

32

xe

2x1

3x2

]

3

[ln(1

2

xx]故所求通解为cx)e12

3x

3x

[ln(1

2

)x2arctan]例5.求y

2e3

2x

的通解解：特征方程rr特征根

ri,ri1定理8，由原方程有特解：0

ex2xxx2xdxcose2xcos

2xdx]e[sinx2cos2x

cos2x

2sin3x

]=

e2

2x2cosx

1x

)]=

e4x4218

故所求通解为yc2sin)12

ex4x422.2.2常数变法[15]通过对常微分方程的学习我们知道常数变易法广泛应用于非齐次线性微分方程的求解下面将常数变易法应用于二阶常系数线性微分方程的求解样适用有效简捷。对于方程

f

（2.1）y

0

（2.2）对方程（2.2）的特征方r

2

0

（2.3）有实根和复根的情形分别加以考虑：①若r为方程（）的一实根，

rx

是（2.2）的一解，由常数变易法，可设（2.1）的解为c

rx

，则y）将（2.4）和c

rx

代入（2.1

f这是关

解c

[

r)x

(r)

f从而方程（2.1）的通解公式为yrx)x

f

（2.5）②r（）的一复根a,b且0，则sin是方程（2.2）的一解，由常数变易法，可设（2.1）的解为可得方程（2.1）的通解公式为：19

sinbx，与情形①的推导类似，

sinsiny

sinbx

a)x2

（2.6）例1.求