2023高考数学一轮复习：三角函数 检测试卷（培优题）

2023年高考数学一轮复习测评卷

三角函数

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.函数/(x)=siXn]+coXsW的最小正周期和最大值分别是()

A.3兀和0B.3兀和2C.6兀和啦D.6兀和2

2.把函数y=/(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，再把所得曲

线向右平移3•个单位长度，得到函数旷=5拘1％-7)的图像，则/(x)=()

3.函数/(x)=cosx-cos2x,试判断函数的奇偶性及最大值()

A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2

99

C.奇函数，最大值为qD.偶函数，最大值为三

8o

什八八esin8(1+sin26)

4.若tan8=-2,则——--------()

5.下列区间中，函数/(x)=7sin[xq)单调递增的区间是()

6.已知函数/(x)=2cos(0x+9)3>>O,O<e<7r)的图象关于原点对称，且在区间

-y,—上是减函数，若函数/(x)在［0,句上的图象与直线>=-2有且仅有一个交点,

则。的最大值为()

431

3432

7.我国著名数学家华罗庚曾说.“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔

离分家万事休在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已

知函数/(X)在一不乃的大致图象如图所示，则函数/(x)的解析式可能为()

A./(x)=ln|x|-cosxB./(x)=ln|x|-sinx

C./(x)=ln|x|+cosxD.〃x)=ln|x|+sinx

8.函数/(x)=2sin3x+0)3>>O,O<°<%)的图象如图，把函数/(x)的图象上所有

的点向右平移:个单位长度，可得到函数y=g(x)的图象，下列结论中：

①夕=亨；②函数g(x)的最小正周期为万；

③函数g(x)在区间-g气上单调递增；④函数g(x)关于点(-中心对称

其中正确结论的个数是().

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下图是函数产sin（Gx+g）的部分图像，则sin（5+p）=（）

7X兀7U3兀

A.sin（x+—）B.sin（--2x）C.cos（2x+y）D.cos（--2x）

10.筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用

（图1）,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.

图1图2

现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，简车的轴心距离水面的高度为2

米，设简车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛

水筒尸刚浮出水面为初始时刻，经过1秒后，下列命题正确的是（）（参考数据:

cos48°«—)

A.d=2-3sin（*r+eJ,其中sin6=g,且

B.d=2+3sinf—,其中sin0=2,且Oej。,生

k30）3\2

C.当f~38时，盛水筒P再次进入水中

D.当/々22时，盛水筒尸到达最高点

11.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到

使用.如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心。距离水面

的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒尸到水面的距离为4（单位：m）（在水面下则〃为

负数），若以盛水筒尸刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间，（单位：S）之间的关系

为4=Asin(of+9)+K(A>0,69>0»—■—<(p.则以下说法正确的有()

71

A.K=2B.co=—

20

IT40

C.0=-D.盛水筒出水后到达最高点的最小时间为一S

63

12.定义在实数集R的函数/(x)=Acos3x+o)(A>0,ty>0,0<°<乃)的图象的一个

最高点为(-2,3),与之相邻的一个对称中心为《可，将“X)的图象向右平移;个单

位长度得到函数g(x)的图象，则()

A.J(x)的振幅为3

B./(X)的频率为万

5TT7T

c.g(x)的单调递增区间为-J，万

D.g(x)在0,|上只有一个零点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若点P(cose,sin。)与点Q(cos(0+2),sin(，+9))关于丁轴对称，写出一个符合题意的6=

14.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.。为圆孔及轮廓圆弧

AB所在圆的圆心，4是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线8c的切点，四边

3

形£>ErG为矩形，BC1DG,垂足为C,tan/ODC==，BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,

A到直线£>E和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为cm2

15.在AA6c'中，角A,B,C的对边分别为“，b，c.已知

2(tanA+tanB)=蚂4+咽0,则cosC的最小值为

cosBcosA

16.已知函数/(x)=sin(x+tJ+26+—6在［0,团］上恰有10个零点，则

m的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设函数〃x)=sinx+cosx(xeR).

(I)求函数y=+的最小正周期；

jr

H在0,—上的最大值.

18.(2021・重庆高三模拟)已知函数/(x)=(sinx+cosx)-+6-2Gcos2x(xeR).

(1)求/(x)的单调递增区间；

(2)若AABC的外接圆的直径为28，且锐角A满足/(A)=l+g,求AABC面积的

最大值.

19.（2021.上海高三三模）如图，某机械厂要将长6m,宽2m的长方形铁皮4BCO进行

剪裁，己知点尸为AD的中点，点E在边上，剪裁时先将四边形COKE沿直线打翻

折到MNFE处（点C、D分别落在直线BC下方点M、N处,FN交边BC于点、尸）再沿直

线PE剪裁，若设NEFP=6.

（1）试用。表示PF的长，并求出。的取值范围；

（2）若使剪裁得到的四边形MNPE面积最大，请给出剪裁方案，并说明理由.

20.（2021•重庆高三模拟）如图，某市一学校H位于该市火车站O北偏东45。方向，且OH

=472km,已知OM,ON是经过火车站O的两条互相垂直的笔直公路，CE,DF及圆弧

C。都是学校道路，其中CE〃OM,DF//ON,以学校，为圆心，半径为2km的四分之一圆

弧分别与CE,力尸相切于点C,D当地政府欲投资开发AAOB区域发展经济，其中A,B分

别在公路OM,ON上,且AB与圆弧CD相切，设△AOB的面积为Skm?.

TVF

oAM

(1)求S关于6的函数解析式；

(2)当。为何值时，AAOB面积S为最小，政府投资最低？

21.(2021.浙江高三模拟)已知函数〃x)=2sin((yx+3)-1<0<3,附<色的图象经

过点

(1)求/(x)的解析式；

(2)将函数y=/(x)的图象向左平移。个单位长度得到函数y=g(x)的图

象,若g(x)为奇函数，且/'(a-。)=三,外，求cos2a的值.

22.已知。£（0,耳）且满足：sin+sin（^4-^-）=~~~~,

TF

⑴求cos（26+一）的值;

3

/(x)=sinxcos(^+—)+cosxsin(^+—)\_[0,—]

(2)已知函数66，若方程,I刃—a在区间2内

有两个不同的解，求实数”的取值范围.

答案及解析

1.【答案】C

2P

【解析】由题，/(A：)=V2sinf|+^L所以的最小正周期为，=T=6P,最大

值为0.

2.【答案】B

【解析】解法一：函数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的g■倍，纵坐标不变,

77

得到y=/(2x)的图象，再把所得曲线向右平移;个单位长度，应当得到

y=f的图象，

根据己知得到了函数y=sin[x-()的图象，所以—=sinx-^-

t兀ret7t

，则x=一+—,%——=—+—,

234212

所以/«)=sin.所以/(x)=sin：+工

解法二:由已知的函数y=sin

第一步：向左平移g个单位长度，得到y=sin[x+2_7j=sin[x+i^j的图象,

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到，=5皿（楙+1）的

图象，

即为y=/（x）的图象，所以/（x）=sin]＞总.

3.【答案】D

【解析】由题意，/（一%）=85（—%）-以九（一2%）=85%一852刀=1/'（工），所以该函数为

偶函数，

1V9

乂/(x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+l=-2COSX——+一，

4J8

19

所以当cosx=—时•，f（x）取最大值"

48

4.【答案】C

【解析】将式子进行齐次化处理得:

sin^(1+sin2^)sin6仅in*6+cos?6+2sin8cose)

=sine(sin6+cos。)

sinS+cos。sin6+cos6

_sin6>(sin6>+cos6,)_tai?6+tan6_4-2_2

sin20+cos201+tan201+45

5.【答案】A

f7171\/\

【解析】因为函数丁=5皿》的单调递增区间为2匕r—万,2而'+5962）,

71,_.7C7C--7C/.—\

对于函数/(x)=7sinX--,由2%万—~<cx—v2攵乃+,(左£Z),

解得2攵万一(<x<2ATT+^(ZeZ),

取攵=0,

,A选项满足条件，B不满足条件;

取攵=1,

率2+5TT84

T5T,CD选项均不

满足条件.

6.【答案】B

TT

【解析】/（X）=2COS3>X+8）（0〉O,O<0<;T）的图象关于原点对称，，夕=1,

冗

即/（x）=2cos（69x+—）=-2sineyx,

42兀j［27r

因为/'（X）区间一,，7上是减函数，所以y=2sinox在一,，一三是增函数，

,—,7C.7C.—..2k兀7T2kjvTC.—

令2Zzr--VcoxW2k兀H—,keZ,解倚----------<xW-----1---,kGZ>

2269269CD260

7124

又一万■，一三足y=2sin&x含原点的增区间，所以令z=0，

兀71

则—所以|?2°,又勿>0,则解得0<@，3,

2（o2<v2万万4

.T"2co

•••/（X）在［0,句上的图象与直线y=-2有且仅有一个交点，

即f（x）在［0,4］上仅有一个最小值，所以y=2sins在［0,7t\仅有一个最大值,

JTJT2k.冗

由正弦函数的性质，令Sx=—+?k冗,keZ,即五二一+——、keZ,

22coea

JTI

所以有Oil}—乃，解得④..一,

2G2

i33

综上可得一效必一，即&的最大值为一.

244

7.【答案】B

【解析】根据函数图象可得其对应的函数为非奇非偶函数，而A,C中的函数为偶函数，故

排除A,C.

设题干中函数图象与x轴交点的横坐标分别为冷吃,且为＜0(尤2,且归|＜马.

对于B,令/(x)=ln|x|—sinx=o,即ln|x|=sinx,作出y=ln|x|和y=sinx的函数图

象，如图所示：

由图象可知，函数y=ln|x|—sinx的图象与％轴交点的横坐标满足药＜0＜x2,目」即＜%,

符合题意；

对D,令/(x)=ln|x|+sinx=0,即In|x|=-sinx,作出y=ln国和y=-sinx的函数

图象，如图所示：

由图象可知，函数y=ln|x|+sinx的图象与x轴交点的横坐标满足再＜0＜々，且冈＞%2,

故D不符合题意.

8.【答案】C

【解析】解：由图可知：3声’

124

117T2乃11万

「・---<—<----，

1209

,1824

即--<69<----，

1111

乂•//⑼=2sin0=百,0<°<"，

271

由图可知：9=—,

3

又...据"=2s嗯万啰+“=2,

11万,

/.71(0+°=7+2k兀,kGZ,

「11}

且祇°$-，万，

71T2I—2z2)

•・倍吁)哈"

故人=1,

,2K,1111万，解得：0=2,满足条件,

\(P=---时，---7VC0=-

312(5

/./(x)=2sin(2x+1),

故g(无)=2sin2卜一看V—>l=2sinf2%+-\

)3)13)

对①，由上述可知①错误;

对②，•.・g(x)=2sin(2小-0

••.g(x)的最小正周期为彳=万,故②正确:

')I

对③，令2k兀-----<2x+-<2k7r+—,keZ,

232

37rTC

即kTi-----<x<k7i-\-----,keZ,

1212

5兀jr7Tjr57r7T

令人=(),此时单调递增区间为一不7,不'且一W‘lT~一"有"，77'故③正确;

L4JL乙J,1乙L4JL乙

一2,()不是对称中心，故④错误;

9.【答案】BC

T27t7T27r27r

【解析】由函数图像可知：一=一左一一=-则。=一二一=2,所以不选A,

2362T71

271

—7t-\---1c5万37r

当T_36_5%时,y-—12x]2+cp=j-+2Z;r(ZeZ),

212

2/、

解得：9=2攵乃+eZ),

即函数的解析式为:

(2

y=sin2x+一乃+2攵»

I3

(八乃)>5冗乃八、

injcos2x4———cos(------2x)

l6J6

10.【答案】BD

【解析】

由题意知，如上图，若。为筒乍的轴心的位置，AC为水面，P为筒车经过f秒后的位置,

筒车的角速度0=22—71Is,令sin?OACsinq=^2且。e(o,5J,

60303

sinP=sin0--=器，故OB=0P?sin(q

,而1=2-OB，

：.d=2-3sin(q-4)=2+3sin(々-q),故A错误，B正确;

当X8时，翳180?48?,且sin48”避cas6=^~，

33

!,故盛水筒没有进入

：.d=2-3sin(48?q)=2-3(sin48?cosqcos48?sinq)P

水中，C错误;

当fa22时，过

90?42?,asin42!=cos480«-,即。a42°,

303

：.d=2+3cos(42?q)=2+3cos0?5,故盛水筒尸到达最高点，D正确.

II.【答案】ABD

【解析】解：•••筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，，丁二色二纵),

1.5

则(0=—=—,故B正确;

4020

4+2+2-4

振幅A为筒车的半径，即4=4,K=--------------=2,故A正确;

2

由题意，/=0时，d=0,：.0=4sin(p+2,即s山*=-万

冗冗冗

—＜(P＜一,•,*(p——,故C错误：

226

d=4sin—t----+2,

(206)

L四,人.(九).(717ry

由d=6,得6=4sin——t——+2".sin~—t——=1t,

(2()6J(2()6)

7171Tl40

:,—t一一=一+2%〃，ZEZ,得£=一+40匕keZ.

20623

40

.•.当k=0时，/取最小值为不(s),故D正确.

12.【答案】AD

TTTTTTV27r

【解析】由题意，可得一=2—(一乙)=々，所以T=万，可得w=2=2,

46124T

所以/(x)=3cos(2x+0),所以函数Ax)的振幅为3,故A正确；

111

函数/(x)的频率为了=互=彳，故B错误；

T

TTJiTT

因为/(—上)=3cos[2x(—&)+如=3,所以＜p—%=2k兀,keZ,

TT7T

因为0＜夕＜乃，所以°二一,即/(x)=3cos(2x+—),

66

所以g(%)=3cos[2(以一令+自=3cos(2x--),

Ji57r7t

令一4+2攵4421WZkTjkcZ,可得----＜x＜一+k兀,kGZ,

61212

5TT7T

所以g(x)的单调递增区间为[-五+6•，/+hr]次eZ,而选项C只是其中一个单调递

增区间，故C错误；

由2x-代=2+女%,，4eZ,解得x=1+wZ,

623

所以函数g(x)在0,y上只有一个零点.

故选：AD

13.【答案】2(满足即可)

1212

【解析】：P(cos6,sin。)与Qcos0+—,sin0+—|关于y轴对称,

I16JI6〃

TT

即ae+二关于y轴对称，

6

TT

。+—+。="+2ki,keZ,

6

57r

则0=k"-----,kGZ,

12

57r

当我二0时，可取。的一个值为一.

12

故答案为：—（满足6=A:乃+2/eZ即可）.

1212

14.【答案】4H—71

2

【解析】设O8=OA=r,由题意AM=AN=7,防=12,所以NF=5,

因为AP=5,所以ZAGP=45°，

因为BH//DG,所以乙4”。=45°，

因为AG与圆弧A6相切于A点，所以。AJ_AG,

即△Q4”为等腰直角一角形；

在直角△。。£>中，。。=5—当厂，D0=7-—r.

因为tanNOOC=盥=：,所以21_述r=25_域「，

DQ522

解得r=2V2：

等腰直角△OAH的面积为H=L20x2遮=4：

2

扇形408的面积52=9言乂倒a)2=3万，

157r

所以阴影部分的面积为E+52—万乃=4+万.

故答案为：4H-----.

2

6【答案】1

JsinAsinBsinAsinB

【解析】解:由题意可知,2-------+--------

\cosAcosBcosAcosBcosAcosB

化简得2sin(A+3)=sinA+sin5,

所以2sinC=sinA+sinB.

b

根据正弦定理：三士，可得2。=。+〃①.

sinAsin4smC

coscJ+'ic，,由①可得/=J_(a+b)2,

lab4'7

3232ab

所％。上「=|£M.2磊

H一15

当q=2时，等号成立.所以cos。的最小值为L.

ba2

故答案为：—•

2

X兀)石.兀

273sin2—I-----5/3=sinxH—十-y/3

1212；I6j

/(x)=0<=>2sin0,

・・・/(x)在［0,〃H上恰有10个零点,

=0在［0,m］上恰有10个解,

.八兀1八A7JZR557c61兀

・・9JI„m—<1OTI,解得---加<----，

66996

故答案为:

17.【答案】(1)乃；(2)1+立

2

7C\

【解析】(1)由辅助角公式得/(x)=sinx+cosx=J5sinX+1J，则

V2sinx+—=2sin2x+——=l-cos2x+--二1-sin2x

<4>I4JI2)

2万

所以该函数的最小正周期7-M

(乃、

(2)由题意,y=f(x)f尤一=V2sinx+—■V2sinx=2sinx+—sinx

I4；I4J

=2sinx-——sinx+--cosx=V2sin2x+V2sinxcosx

I22J

rrl-cos2xV2._V2.A/2吟夜

—>/2------------1-----sin2x——sin2x-------cos2xH-------sin2x----d-------,

22222<4j2

八乃一c兀冗37c

由0,--可得--,

2J4[_44」

所以当即》=艺时，函数取最大值1+也.

4282

18.【答案】⑴\--Jr-kTC,—+kK|,kwZ；(2)最大值为2G.

<1212)4

【解析】解：(1)

/(x)=l+sin2x+V3-2^3x1+>入=sin2x-y/3cos2x+1=2sin—+1，令

--+2kn<2x--<-+2kn,解得单调递增区间为(一二+%肛弃+匕],ZwZ：

232I1212J

(2)/(A)=2sin(2A-()+l=6+l,解得4=?.

又令外接圆半径为R，则2/?=26，所以R=石.

所以6c=(2/?sin8)(2RsinC)=12sinBsinC=12x；[cos(8-C)-cos(B+0],又

2

因为3+C=—71,

3

（27r、17T

所以Z?c=6cos2B----d■—V9（当且仅当B=—）

LI3J2」3

所以SA>1/jc=1人csinA=-^-bc<—y/3，所以面积最大值为2G.

△ABC24474

19.【答案】（1）PF=-4；7（（）<e<W］；（2）当NEEP=工时，沿直线PE剪裁,

sin2外2）2

四边形跖VPE面积最大，最大值为6-26m2,理由见解析.

【解析】（1）因为NEEP=8,凡翻折的对称性可知NEED="

又根据4D//8C,所以NEEP=6,则PF=PE.

故NFPE=兀—26,

又因为NFi/ME,所以NFPE=NPEM=兀-26，

22

又M7V=2,所以刊——=—7^，

sin（4一2，）sin26^

TT

又点C、O分别落在直线BC下方点M、N处，所以0＜。＜一，

2

所以"焉［j<3

2

（2）由（1）知，PF=.—Q<0<^\,则PN=3———

sin2〃sin20

ME=PN+———=3——-------=3—2Q+C°S20）

tan（i-2。）sin20tan20sin20

c4cos20_2cos。

=3------------3--------,

2sin。cos。sin。

所以四边形MNPE面积为S=6-4+220

sin20

令」=4+2c°s2"=」§山26一2（；0§2夕=4=＞J7+4sin（26一0）=4,

sin2。

所以4£[-V『+4,J『+4],解得（舍负），

当且仅当。=?时；四边形MNPE面积有最大值6-26m2.

20.【答案】（1）s=2[2（smd+cose）—l]，，.。二]；（2）6=三.

sinOcos。v2J4

【解析】解：（1）以点O为坐标原点建立如图直角坐标系，则“（4,4）,

在府AABO中，设AB=/,又乙OAB=e，故04=/cos9,OB=/sine,

X

所以直线A3的方程为+」=1,即xsin^+ycos^-/sin^cos^=0,

/cos。/sin。

因为直线43与圆〃相切，所以〃到直线的距离等于半径2,即

14sin+4cos0-l^mOcos6\

二2①,

7sin2^+cos26

又点H在直线AB的上方,故4sin在+4cose-/sm68s6>0,

所以①式可化简为4sin6+4cos8—/sin夕cos9=2,即/=4(sin"+c°s")2

sincos

MOA4(sin^+cos^)-24(sine+cos6)-2

,0B

sin。cos。

14(sin6+cos6)-24(sin^+cos^)-2

所以△A08的面积为S=-OAOB=-X-----------------------X-----------------------

22sin。cos。

2[2(sin6+cos。)-1了

sincosa"f;

2[2(sin3+cos一1]

即S关于。的函数解析式为s，匹!0,3

singcosB

(e+沙iw(i,2痣-1],

(2)令/=2(sin8+cose)-l,0&0,1,则f=2夜sin

n•八八厂+2t—3i、]S=—=J，—,te(l,2V2-ll

且sin6cose=------------,所以/+2/-33^2^/V」,

8------------------7H----r1

8rt

\

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