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文档简介

2023年高考数学一轮复习测评卷

三角函数

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的.

1.函数/(x)=siXn]+coXsW的最小正周期和最大值分别是()

A.3兀和0B.3兀和2C.6兀和啦D.6兀和2

2.把函数y=/(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的;倍,纵坐标不变,再把所得曲

线向右平移3•个单位长度,得到函数旷=5拘1%-7)的图像,则/(x)=()

3.函数/(x)=cosx-cos2x,试判断函数的奇偶性及最大值()

A.奇函数,最大值为2B.偶函数,最大值为2

99

C.奇函数,最大值为qD.偶函数,最大值为三

8o

什八八esin8(1+sin26)

4.若tan8=-2,则——--------()

5.下列区间中,函数/(x)=7sin[xq)单调递增的区间是()

6.已知函数/(x)=2cos(0x+9)3>>O,O<e<7r)的图象关于原点对称,且在区间

-y,—上是减函数,若函数/(x)在[0,句上的图象与直线>=-2有且仅有一个交点,

则。的最大值为()

431

3432

7.我国著名数学家华罗庚曾说.“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔

离分家万事休在数学的学习和研究中,有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已

知函数/(X)在一不乃的大致图象如图所示,则函数/(x)的解析式可能为()

A./(x)=ln|x|-cosxB./(x)=ln|x|-sinx

C./(x)=ln|x|+cosxD.〃x)=ln|x|+sinx

8.函数/(x)=2sin3x+0)3>>O,O<°<%)的图象如图,把函数/(x)的图象上所有

的点向右平移:个单位长度,可得到函数y=g(x)的图象,下列结论中:

①夕=亨;②函数g(x)的最小正周期为万;

③函数g(x)在区间-g气上单调递增;④函数g(x)关于点(-中心对称

其中正确结论的个数是().

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合

题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.下图是函数产sin(Gx+g)的部分图像,则sin(5+p)=()

7X兀7U3兀

A.sin(x+—)B.sin(--2x)C.cos(2x+y)D.cos(--2x)

10.筒车是我国古代发明的一种灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用

(图1),明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).

图1图2

现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈,简车的轴心距离水面的高度为2

米,设简车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:米)(在水面下则d为负数),若以盛

水筒尸刚浮出水面为初始时刻,经过1秒后,下列命题正确的是()(参考数据:

cos48°«—)

A.d=2-3sin(*r+eJ,其中sin6=g,且

B.d=2+3sinf—,其中sin0=2,且Oej。,生

k30)3\2

C.当f~38时,盛水筒P再次进入水中

D.当/々22时,盛水筒尸到达最高点

11.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到

使用.如图,一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心。距离水面

的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒尸到水面的距离为4(单位:m)(在水面下则〃为

负数),若以盛水筒尸刚浮出水面时开始计算时间,则d与时间,(单位:S)之间的关系

为4=Asin(of+9)+K(A>0,69>0»—■—<(p.则以下说法正确的有()

71

A.K=2B.co=—

20

IT40

C.0=-D.盛水筒出水后到达最高点的最小时间为一S

63

12.定义在实数集R的函数/(x)=Acos3x+o)(A>0,ty>0,0<°<乃)的图象的一个

最高点为(-2,3),与之相邻的一个对称中心为《可,将“X)的图象向右平移;个单

位长度得到函数g(x)的图象,则()

A.J(x)的振幅为3

B./(X)的频率为万

5TT7T

c.g(x)的单调递增区间为-J,万

D.g(x)在0,|上只有一个零点

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.若点P(cose,sin。)与点Q(cos(0+2),sin(,+9))关于丁轴对称,写出一个符合题意的6=

14.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.。为圆孔及轮廓圆弧

AB所在圆的圆心,4是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线8c的切点,四边

3

形£>ErG为矩形,BC1DG,垂足为C,tan/ODC==,BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,

A到直线£>E和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为cm2

15.在AA6c'中,角A,B,C的对边分别为“,b,c.已知

2(tanA+tanB)=蚂4+咽0,则cosC的最小值为

cosBcosA

16.已知函数/(x)=sin(x+tJ+26+—6在[0,团]上恰有10个零点,则

m的取值范围是.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设函数〃x)=sinx+cosx(xeR).

(I)求函数y=+的最小正周期;

jr

H在0,—上的最大值.

18.(2021・重庆高三模拟)已知函数/(x)=(sinx+cosx)-+6-2Gcos2x(xeR).

(1)求/(x)的单调递增区间;

(2)若AABC的外接圆的直径为28,且锐角A满足/(A)=l+g,求AABC面积的

最大值.

19.(2021.上海高三三模)如图,某机械厂要将长6m,宽2m的长方形铁皮4BCO进行

剪裁,己知点尸为AD的中点,点E在边上,剪裁时先将四边形COKE沿直线打翻

折到MNFE处(点C、D分别落在直线BC下方点M、N处,FN交边BC于点、尸)再沿直

线PE剪裁,若设NEFP=6.

(1)试用。表示PF的长,并求出。的取值范围;

(2)若使剪裁得到的四边形MNPE面积最大,请给出剪裁方案,并说明理由.

20.(2021•重庆高三模拟)如图,某市一学校H位于该市火车站O北偏东45。方向,且OH

=472km,已知OM,ON是经过火车站O的两条互相垂直的笔直公路,CE,DF及圆弧

C。都是学校道路,其中CE〃OM,DF//ON,以学校,为圆心,半径为2km的四分之一圆

弧分别与CE,力尸相切于点C,D当地政府欲投资开发AAOB区域发展经济,其中A,B分

别在公路OM,ON上,且AB与圆弧CD相切,设△AOB的面积为Skm?.

TVF

oAM

(1)求S关于6的函数解析式;

(2)当。为何值时,AAOB面积S为最小,政府投资最低?

21.(2021.浙江高三模拟)已知函数〃x)=2sin((yx+3)-1<0<3,附<色的图象经

过点

(1)求/(x)的解析式;

(2)将函数y=/(x)的图象向左平移。个单位长度得到函数y=g(x)的图

象,若g(x)为奇函数,且/'(a-。)=三,外,求cos2a的值.

22.已知。£(0,耳)且满足:sin+sin(^4-^-)=~~~~,

TF

⑴求cos(26+一)的值;

3

/(x)=sinxcos(^+—)+cosxsin(^+—)\_[0,—]

(2)已知函数66,若方程,I刃—a在区间2内

有两个不同的解,求实数”的取值范围.

答案及解析

1.【答案】C

2P

【解析】由题,/(A:)=V2sinf|+^L所以的最小正周期为,=T=6P,最大

值为0.

2.【答案】B

【解析】解法一:函数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的g■倍,纵坐标不变,

77

得到y=/(2x)的图象,再把所得曲线向右平移;个单位长度,应当得到

y=f的图象,

根据己知得到了函数y=sin[x-()的图象,所以—=sinx-^-

t兀ret7t

,则x=一+—,%——=—+—,

234212

所以/«)=sin.所以/(x)=sin:+工

解法二:由已知的函数y=sin

第一步:向左平移g个单位长度,得到y=sin[x+2_7j=sin[x+i^j的图象,

第二步:图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到,=5皿(楙+1)的

图象,

即为y=/(x)的图象,所以/(x)=sin]>总.

3.【答案】D

【解析】由题意,/(一%)=85(—%)-以九(一2%)=85%一852刀=1/'(工),所以该函数为

偶函数,

1V9

乂/(x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+l=-2COSX——+一,

4J8

19

所以当cosx=—时•,f(x)取最大值"

48

4.【答案】C

【解析】将式子进行齐次化处理得:

sin^(1+sin2^)sin6仅in*6+cos?6+2sin8cose)

=sine(sin6+cos。)

sinS+cos。sin6+cos6

_sin6>(sin6>+cos6,)_tai?6+tan6_4-2_2

sin20+cos201+tan201+45

5.【答案】A

f7171\/\

【解析】因为函数丁=5皿》的单调递增区间为2匕r—万,2而'+5962),

71,_.7C7C--7C/.—\

对于函数/(x)=7sinX--,由2%万—~<cx—v2攵乃+,(左£Z),

解得2攵万一(<x<2ATT+^(ZeZ),

取攵=0,

,A选项满足条件,B不满足条件;

取攵=1,

率2+5TT84

T5T,CD选项均不

满足条件.

6.【答案】B

TT

【解析】/(X)=2COS3>X+8)(0〉O,O<0<;T)的图象关于原点对称,,夕=1,

即/(x)=2cos(69x+—)=-2sineyx,

42兀j[27r

因为/'(X)区间一,,7上是减函数,所以y=2sinox在一,,一三是增函数,

,—,7C.7C.—..2k兀7T2kjvTC.—

令2Zzr--VcoxW2k兀H—,keZ,解倚----------<xW-----1---,kGZ>

2269269CD260

7124

又一万■,一三足y=2sin&x含原点的增区间,所以令z=0,

兀71

则—所以|?2°,又勿>0,则解得0<@,3,

2(o2<v2万万4

.T"2co

•••/(X)在[0,句上的图象与直线y=-2有且仅有一个交点,

即f(x)在[0,4]上仅有一个最小值,所以y=2sins在[0,7t\仅有一个最大值,

JTJT2k.冗

由正弦函数的性质,令Sx=—+?k冗,keZ,即五二一+——、keZ,

22coea

JTI

所以有Oil}—乃,解得④..一,

2G2

i33

综上可得一效必一,即&的最大值为一.

244

7.【答案】B

【解析】根据函数图象可得其对应的函数为非奇非偶函数,而A,C中的函数为偶函数,故

排除A,C.

设题干中函数图象与x轴交点的横坐标分别为冷吃,且为<0(尤2,且归|<马.

对于B,令/(x)=ln|x|—sinx=o,即ln|x|=sinx,作出y=ln|x|和y=sinx的函数图

象,如图所示:

由图象可知,函数y=ln|x|—sinx的图象与%轴交点的横坐标满足药<0<x2,目」即<%,

符合题意;

对D,令/(x)=ln|x|+sinx=0,即In|x|=-sinx,作出y=ln国和y=-sinx的函数

图象,如图所示:

由图象可知,函数y=ln|x|+sinx的图象与x轴交点的横坐标满足再<0<々,且冈>%2,

故D不符合题意.

8.【答案】C

【解析】解:由图可知:3声’

124

117T2乃11万

「・---<—<----,

1209

,1824

即--<69<----,

1111

乂•//⑼=2sin0=百,0<°<",

271

由图可知:9=—,

3

又...据"=2s嗯万啰+“=2,

11万,

/.71(0+°=7+2k兀,kGZ,

「11}

且祇°$-,万,

71T2I—2z2)

•・倍吁)哈"

故人=1,

,2K,1111万,解得:0=2,满足条件,

\(P=---时,---7VC0=-

312(5

/./(x)=2sin(2x+1),

故g(无)=2sin2卜一看V—>l=2sinf2%+-\

)3)13)

对①,由上述可知①错误;

对②,•.・g(x)=2sin(2小-0

••.g(x)的最小正周期为彳=万,故②正确:

')I

对③,令2k兀-----<2x+-<2k7r+—,keZ,

232

37rTC

即kTi-----<x<k7i-\-----,keZ,

1212

5兀jr7Tjr57r7T

令人=(),此时单调递增区间为一不7,不'且一W‘lT~一"有",77'故③正确;

L4JL乙J,1乙L4JL乙

一2,()不是对称中心,故④错误;

9.【答案】BC

T27t7T27r27r

【解析】由函数图像可知:一=一左一一=-则。=一二一=2,所以不选A,

2362T71

271

—7t-\---1c5万37r

当T_36_5%时,y-—12x]2+cp=j-+2Z;r(ZeZ),

212

2/、

解得:9=2攵乃+eZ),

即函数的解析式为:

(2

y=sin2x+一乃+2攵»

I3

(八乃)>5冗乃八、

injcos2x4———cos(------2x)

l6J6

10.【答案】BD

【解析】

由题意知,如上图,若。为筒乍的轴心的位置,AC为水面,P为筒车经过f秒后的位置,

筒车的角速度0=22—71Is,令sin?OACsinq=^2且。e(o,5J,

60303

sinP=sin0--=器,故OB=0P?sin(q

,而1=2-OB,

:.d=2-3sin(q-4)=2+3sin(々-q),故A错误,B正确;

当X8时,翳180?48?,且sin48”避cas6=^~,

33

!,故盛水筒没有进入

:.d=2-3sin(48?q)=2-3(sin48?cosqcos48?sinq)P

水中,C错误;

当fa22时,过

90?42?,asin42!=cos480«-,即。a42°,

303

:.d=2+3cos(42?q)=2+3cos0?5,故盛水筒尸到达最高点,D正确.

II.【答案】ABD

【解析】解:•••筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,,丁二色二纵),

1.5

则(0=—=—,故B正确;

4020

4+2+2-4

振幅A为筒车的半径,即4=4,K=--------------=2,故A正确;

2

由题意,/=0时,d=0,:.0=4sin(p+2,即s山*=-万

冗冗冗

—<(P<一,•,*(p——,故C错误:

226

d=4sin—t----+2,

(206)

L四,人.(九).(717ry

由d=6,得6=4sin——t——+2".sin~—t——=1t,

(2()6J(2()6)

7171Tl40

:,—t一一=一+2%〃,ZEZ,得£=一+40匕keZ.

20623

40

.•.当k=0时,/取最小值为不(s),故D正确.

12.【答案】AD

TTTTTTV27r

【解析】由题意,可得一=2—(一乙)=々,所以T=万,可得w=2=2,

46124T

所以/(x)=3cos(2x+0),所以函数Ax)的振幅为3,故A正确;

111

函数/(x)的频率为了=互=彳,故B错误;

T

TTJiTT

因为/(—上)=3cos[2x(—&)+如=3,所以<p—%=2k兀,keZ,

TT7T

因为0<夕<乃,所以°二一,即/(x)=3cos(2x+—),

66

所以g(%)=3cos[2(以一令+自=3cos(2x--),

Ji57r7t

令一4+2攵4421WZkTjkcZ,可得----<x<一+k兀,kGZ,

61212

5TT7T

所以g(x)的单调递增区间为[-五+6•,/+hr]次eZ,而选项C只是其中一个单调递

增区间,故C错误;

由2x-代=2+女%,,4eZ,解得x=1+wZ,

623

所以函数g(x)在0,y上只有一个零点.

故选:AD

13.【答案】2(满足即可)

1212

【解析】:P(cos6,sin。)与Qcos0+—,sin0+—|关于y轴对称,

I16JI6〃

TT

即ae+二关于y轴对称,

6

TT

。+—+。="+2ki,keZ,

6

57r

则0=k"-----,kGZ,

12

57r

当我二0时,可取。的一个值为一.

12

故答案为:—(满足6=A:乃+2/eZ即可).

1212

14.【答案】4H—71

2

【解析】设O8=OA=r,由题意AM=AN=7,防=12,所以NF=5,

因为AP=5,所以ZAGP=45°,

因为BH//DG,所以乙4”。=45°,

因为AG与圆弧A6相切于A点,所以。AJ_AG,

即△Q4”为等腰直角一角形;

在直角△。。£>中,。。=5—当厂,D0=7-—r.

因为tanNOOC=盥=:,所以21_述r=25_域「,

DQ522

解得r=2V2:

等腰直角△OAH的面积为H=L20x2遮=4:

2

扇形408的面积52=9言乂倒a)2=3万,

157r

所以阴影部分的面积为E+52—万乃=4+万.

故答案为:4H-----.

2

6【答案】1

JsinAsinBsinAsinB

【解析】解:由题意可知,2-------+--------

\cosAcosBcosAcosBcosAcosB

化简得2sin(A+3)=sinA+sin5,

所以2sinC=sinA+sinB.

b

根据正弦定理:三士,可得2。=。+〃①.

sinAsin4smC

coscJ+'ic,,由①可得/=J_(a+b)2,

lab4'7

3232ab

所%。上「=|£M.2磊

H一15

当q=2时,等号成立.所以cos。的最小值为L.

ba2

故答案为:—•

2

X兀)石.兀

273sin2—I-----5/3=sinxH—十-y/3

1212;I6j

/(x)=0<=>2sin0,

・・・/(x)在[0,〃H上恰有10个零点,

=0在[0,m]上恰有10个解,

.八兀1八A7JZR557c61兀

・・9JI„m—<1OTI,解得---加<----,

66996

故答案为:

17.【答案】(1)乃;(2)1+立

2

7C\

【解析】(1)由辅助角公式得/(x)=sinx+cosx=J5sinX+1J,则

V2sinx+—=2sin2x+——=l-cos2x+--二1-sin2x

<4>I4JI2)

2万

所以该函数的最小正周期7-M

(乃、

(2)由题意,y=f(x)f尤一=V2sinx+—■V2sinx=2sinx+—sinx

I4;I4J

=2sinx-——sinx+--cosx=V2sin2x+V2sinxcosx

I22J

rrl-cos2xV2._V2.A/2吟夜

—>/2------------1-----sin2x——sin2x-------cos2xH-------sin2x----d-------,

22222<4j2

八乃一c兀冗37c

由0,--可得--,

2J4[_44」

所以当即》=艺时,函数取最大值1+也.

4282

18.【答案】⑴\--Jr-kTC,—+kK|,kwZ;(2)最大值为2G.

<1212)4

【解析】解:(1)

/(x)=l+sin2x+V3-2^3x1+>入=sin2x-y/3cos2x+1=2sin—+1,令

--+2kn<2x--<-+2kn,解得单调递增区间为(一二+%肛弃+匕],ZwZ:

232I1212J

(2)/(A)=2sin(2A-()+l=6+l,解得4=?.

又令外接圆半径为R,则2/?=26,所以R=石.

所以6c=(2/?sin8)(2RsinC)=12sinBsinC=12x;[cos(8-C)-cos(B+0],又

2

因为3+C=—71,

3

(27r、17T

所以Z?c=6cos2B----d■—V9(当且仅当B=—)

LI3J2」3

所以SA>1/jc=1人csinA=-^-bc<—y/3,所以面积最大值为2G.

△ABC24474

19.【答案】(1)PF=-4;7(()<e<W];(2)当NEEP=工时,沿直线PE剪裁,

sin2外2)2

四边形跖VPE面积最大,最大值为6-26m2,理由见解析.

【解析】(1)因为NEEP=8,凡翻折的对称性可知NEED="

又根据4D//8C,所以NEEP=6,则PF=PE.

故NFPE=兀—26,

又因为NFi/ME,所以NFPE=NPEM=兀-26,

22

又M7V=2,所以刊——=—7^,

sin(4一2,)sin26^

TT

又点C、O分别落在直线BC下方点M、N处,所以0<。<一,

2

所以"焉[j<3

2

(2)由(1)知,PF=.—Q<0<^\,则PN=3———

sin2〃sin20

ME=PN+———=3——-------=3—2Q+C°S20)

tan(i-2。)sin20tan20sin20

c4cos20_2cos。

=3------------3--------,

2sin。cos。sin。

所以四边形MNPE面积为S=6-4+220

sin20

令」=4+2c°s2"=」§山26一2(;0§2夕=4=>J7+4sin(26一0)=4,

sin2。

所以4£[-V『+4,J『+4],解得(舍负),

当且仅当。=?时;四边形MNPE面积有最大值6-26m2.

20.【答案】(1)s=2[2(smd+cose)—l],,.。二];(2)6=三.

sinOcos。v2J4

【解析】解:(1)以点O为坐标原点建立如图直角坐标系,则“(4,4),

在府AABO中,设AB=/,又乙OAB=e,故04=/cos9,OB=/sine,

X

所以直线A3的方程为+」=1,即xsin^+ycos^-/sin^cos^=0,

/cos。/sin。

因为直线43与圆〃相切,所以〃到直线的距离等于半径2,即

14sin+4cos0-l^mOcos6\

二2①,

7sin2^+cos26

又点H在直线AB的上方,故4sin在+4cose-/sm68s6>0,

所以①式可化简为4sin6+4cos8—/sin夕cos9=2,即/=4(sin"+c°s")2

sincos

MOA4(sin^+cos^)-24(sine+cos6)-2

,0B

sin。cos。

14(sin6+cos6)-24(sin^+cos^)-2

所以△A08的面积为S=-OAOB=-X-----------------------X-----------------------

22sin。cos。

2[2(sin6+cos。)-1了

sincosa"f;

2[2(sin3+cos一1]

即S关于。的函数解析式为s,匹!0,3

singcosB

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