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文档简介
2023年高考数学一轮复习测评卷
三角函数
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.函数/(x)=siXn]+coXsW的最小正周期和最大值分别是()
A.3兀和0B.3兀和2C.6兀和啦D.6兀和2
2.把函数y=/(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的;倍,纵坐标不变,再把所得曲
线向右平移3•个单位长度,得到函数旷=5拘1%-7)的图像,则/(x)=()
3.函数/(x)=cosx-cos2x,试判断函数的奇偶性及最大值()
A.奇函数,最大值为2B.偶函数,最大值为2
99
C.奇函数,最大值为qD.偶函数,最大值为三
8o
什八八esin8(1+sin26)
4.若tan8=-2,则——--------()
5.下列区间中,函数/(x)=7sin[xq)单调递增的区间是()
6.已知函数/(x)=2cos(0x+9)3>>O,O<e<7r)的图象关于原点对称,且在区间
-y,—上是减函数,若函数/(x)在[0,句上的图象与直线>=-2有且仅有一个交点,
则。的最大值为()
431
3432
7.我国著名数学家华罗庚曾说.“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔
离分家万事休在数学的学习和研究中,有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已
知函数/(X)在一不乃的大致图象如图所示,则函数/(x)的解析式可能为()
A./(x)=ln|x|-cosxB./(x)=ln|x|-sinx
C./(x)=ln|x|+cosxD.〃x)=ln|x|+sinx
8.函数/(x)=2sin3x+0)3>>O,O<°<%)的图象如图,把函数/(x)的图象上所有
的点向右平移:个单位长度,可得到函数y=g(x)的图象,下列结论中:
①夕=亨;②函数g(x)的最小正周期为万;
③函数g(x)在区间-g气上单调递增;④函数g(x)关于点(-中心对称
其中正确结论的个数是().
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下图是函数产sin(Gx+g)的部分图像,则sin(5+p)=()
7X兀7U3兀
A.sin(x+—)B.sin(--2x)C.cos(2x+y)D.cos(--2x)
10.筒车是我国古代发明的一种灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用
(图1),明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).
图1图2
现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈,简车的轴心距离水面的高度为2
米,设简车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:米)(在水面下则d为负数),若以盛
水筒尸刚浮出水面为初始时刻,经过1秒后,下列命题正确的是()(参考数据:
cos48°«—)
A.d=2-3sin(*r+eJ,其中sin6=g,且
B.d=2+3sinf—,其中sin0=2,且Oej。,生
k30)3\2
C.当f~38时,盛水筒P再次进入水中
D.当/々22时,盛水筒尸到达最高点
11.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到
使用.如图,一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心。距离水面
的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒尸到水面的距离为4(单位:m)(在水面下则〃为
负数),若以盛水筒尸刚浮出水面时开始计算时间,则d与时间,(单位:S)之间的关系
为4=Asin(of+9)+K(A>0,69>0»—■—<(p.则以下说法正确的有()
71
A.K=2B.co=—
20
IT40
C.0=-D.盛水筒出水后到达最高点的最小时间为一S
63
12.定义在实数集R的函数/(x)=Acos3x+o)(A>0,ty>0,0<°<乃)的图象的一个
最高点为(-2,3),与之相邻的一个对称中心为《可,将“X)的图象向右平移;个单
位长度得到函数g(x)的图象,则()
A.J(x)的振幅为3
B./(X)的频率为万
5TT7T
c.g(x)的单调递增区间为-J,万
D.g(x)在0,|上只有一个零点
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若点P(cose,sin。)与点Q(cos(0+2),sin(,+9))关于丁轴对称,写出一个符合题意的6=
14.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.。为圆孔及轮廓圆弧
AB所在圆的圆心,4是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线8c的切点,四边
3
形£>ErG为矩形,BC1DG,垂足为C,tan/ODC==,BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,
A到直线£>E和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为cm2
15.在AA6c'中,角A,B,C的对边分别为“,b,c.已知
2(tanA+tanB)=蚂4+咽0,则cosC的最小值为
cosBcosA
16.已知函数/(x)=sin(x+tJ+26+—6在[0,团]上恰有10个零点,则
m的取值范围是.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设函数〃x)=sinx+cosx(xeR).
(I)求函数y=+的最小正周期;
jr
H在0,—上的最大值.
18.(2021・重庆高三模拟)已知函数/(x)=(sinx+cosx)-+6-2Gcos2x(xeR).
(1)求/(x)的单调递增区间;
(2)若AABC的外接圆的直径为28,且锐角A满足/(A)=l+g,求AABC面积的
最大值.
19.(2021.上海高三三模)如图,某机械厂要将长6m,宽2m的长方形铁皮4BCO进行
剪裁,己知点尸为AD的中点,点E在边上,剪裁时先将四边形COKE沿直线打翻
折到MNFE处(点C、D分别落在直线BC下方点M、N处,FN交边BC于点、尸)再沿直
线PE剪裁,若设NEFP=6.
(1)试用。表示PF的长,并求出。的取值范围;
(2)若使剪裁得到的四边形MNPE面积最大,请给出剪裁方案,并说明理由.
20.(2021•重庆高三模拟)如图,某市一学校H位于该市火车站O北偏东45。方向,且OH
=472km,已知OM,ON是经过火车站O的两条互相垂直的笔直公路,CE,DF及圆弧
C。都是学校道路,其中CE〃OM,DF//ON,以学校,为圆心,半径为2km的四分之一圆
弧分别与CE,力尸相切于点C,D当地政府欲投资开发AAOB区域发展经济,其中A,B分
别在公路OM,ON上,且AB与圆弧CD相切,设△AOB的面积为Skm?.
TVF
oAM
(1)求S关于6的函数解析式;
(2)当。为何值时,AAOB面积S为最小,政府投资最低?
21.(2021.浙江高三模拟)已知函数〃x)=2sin((yx+3)-1<0<3,附<色的图象经
过点
(1)求/(x)的解析式;
(2)将函数y=/(x)的图象向左平移。个单位长度得到函数y=g(x)的图
象,若g(x)为奇函数,且/'(a-。)=三,外,求cos2a的值.
22.已知。£(0,耳)且满足:sin+sin(^4-^-)=~~~~,
TF
⑴求cos(26+一)的值;
3
/(x)=sinxcos(^+—)+cosxsin(^+—)\_[0,—]
(2)已知函数66,若方程,I刃—a在区间2内
有两个不同的解,求实数”的取值范围.
答案及解析
1.【答案】C
2P
【解析】由题,/(A:)=V2sinf|+^L所以的最小正周期为,=T=6P,最大
值为0.
2.【答案】B
【解析】解法一:函数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的g■倍,纵坐标不变,
77
得到y=/(2x)的图象,再把所得曲线向右平移;个单位长度,应当得到
y=f的图象,
根据己知得到了函数y=sin[x-()的图象,所以—=sinx-^-
t兀ret7t
,则x=一+—,%——=—+—,
234212
所以/«)=sin.所以/(x)=sin:+工
解法二:由已知的函数y=sin
第一步:向左平移g个单位长度,得到y=sin[x+2_7j=sin[x+i^j的图象,
第二步:图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到,=5皿(楙+1)的
图象,
即为y=/(x)的图象,所以/(x)=sin]>总.
3.【答案】D
【解析】由题意,/(一%)=85(—%)-以九(一2%)=85%一852刀=1/'(工),所以该函数为
偶函数,
1V9
乂/(x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+l=-2COSX——+一,
4J8
19
所以当cosx=—时•,f(x)取最大值"
48
4.【答案】C
【解析】将式子进行齐次化处理得:
sin^(1+sin2^)sin6仅in*6+cos?6+2sin8cose)
=sine(sin6+cos。)
sinS+cos。sin6+cos6
_sin6>(sin6>+cos6,)_tai?6+tan6_4-2_2
sin20+cos201+tan201+45
5.【答案】A
f7171\/\
【解析】因为函数丁=5皿》的单调递增区间为2匕r—万,2而'+5962),
71,_.7C7C--7C/.—\
对于函数/(x)=7sinX--,由2%万—~<cx—v2攵乃+,(左£Z),
解得2攵万一(<x<2ATT+^(ZeZ),
取攵=0,
,A选项满足条件,B不满足条件;
取攵=1,
率2+5TT84
T5T,CD选项均不
满足条件.
6.【答案】B
TT
【解析】/(X)=2COS3>X+8)(0〉O,O<0<;T)的图象关于原点对称,,夕=1,
冗
即/(x)=2cos(69x+—)=-2sineyx,
42兀j[27r
因为/'(X)区间一,,7上是减函数,所以y=2sinox在一,,一三是增函数,
,—,7C.7C.—..2k兀7T2kjvTC.—
令2Zzr--VcoxW2k兀H—,keZ,解倚----------<xW-----1---,kGZ>
2269269CD260
7124
又一万■,一三足y=2sin&x含原点的增区间,所以令z=0,
兀71
则—所以|?2°,又勿>0,则解得0<@,3,
2(o2<v2万万4
.T"2co
•••/(X)在[0,句上的图象与直线y=-2有且仅有一个交点,
即f(x)在[0,4]上仅有一个最小值,所以y=2sins在[0,7t\仅有一个最大值,
JTJT2k.冗
由正弦函数的性质,令Sx=—+?k冗,keZ,即五二一+——、keZ,
22coea
JTI
所以有Oil}—乃,解得④..一,
2G2
i33
综上可得一效必一,即&的最大值为一.
244
7.【答案】B
【解析】根据函数图象可得其对应的函数为非奇非偶函数,而A,C中的函数为偶函数,故
排除A,C.
设题干中函数图象与x轴交点的横坐标分别为冷吃,且为<0(尤2,且归|<马.
对于B,令/(x)=ln|x|—sinx=o,即ln|x|=sinx,作出y=ln|x|和y=sinx的函数图
象,如图所示:
由图象可知,函数y=ln|x|—sinx的图象与%轴交点的横坐标满足药<0<x2,目」即<%,
符合题意;
对D,令/(x)=ln|x|+sinx=0,即In|x|=-sinx,作出y=ln国和y=-sinx的函数
图象,如图所示:
由图象可知,函数y=ln|x|+sinx的图象与x轴交点的横坐标满足再<0<々,且冈>%2,
故D不符合题意.
8.【答案】C
【解析】解:由图可知:3声’
124
117T2乃11万
「・---<—<----,
1209
,1824
即--<69<----,
1111
乂•//⑼=2sin0=百,0<°<",
271
由图可知:9=—,
3
又...据"=2s嗯万啰+“=2,
11万,
/.71(0+°=7+2k兀,kGZ,
「11}
且祇°$-,万,
71T2I—2z2)
•・倍吁)哈"
故人=1,
,2K,1111万,解得:0=2,满足条件,
\(P=---时,---7VC0=-
312(5
/./(x)=2sin(2x+1),
故g(无)=2sin2卜一看V—>l=2sinf2%+-\
)3)13)
对①,由上述可知①错误;
对②,•.・g(x)=2sin(2小-0
••.g(x)的最小正周期为彳=万,故②正确:
')I
对③,令2k兀-----<2x+-<2k7r+—,keZ,
232
37rTC
即kTi-----<x<k7i-\-----,keZ,
1212
5兀jr7Tjr57r7T
令人=(),此时单调递增区间为一不7,不'且一W‘lT~一"有",77'故③正确;
L4JL乙J,1乙L4JL乙
一2,()不是对称中心,故④错误;
9.【答案】BC
T27t7T27r27r
【解析】由函数图像可知:一=一左一一=-则。=一二一=2,所以不选A,
2362T71
271
—7t-\---1c5万37r
当T_36_5%时,y-—12x]2+cp=j-+2Z;r(ZeZ),
212
2/、
解得:9=2攵乃+eZ),
即函数的解析式为:
(2
y=sin2x+一乃+2攵»
I3
(八乃)>5冗乃八、
injcos2x4———cos(------2x)
l6J6
10.【答案】BD
【解析】
由题意知,如上图,若。为筒乍的轴心的位置,AC为水面,P为筒车经过f秒后的位置,
筒车的角速度0=22—71Is,令sin?OACsinq=^2且。e(o,5J,
60303
sinP=sin0--=器,故OB=0P?sin(q
,而1=2-OB,
:.d=2-3sin(q-4)=2+3sin(々-q),故A错误,B正确;
当X8时,翳180?48?,且sin48”避cas6=^~,
33
!,故盛水筒没有进入
:.d=2-3sin(48?q)=2-3(sin48?cosqcos48?sinq)P
水中,C错误;
当fa22时,过
90?42?,asin42!=cos480«-,即。a42°,
303
:.d=2+3cos(42?q)=2+3cos0?5,故盛水筒尸到达最高点,D正确.
II.【答案】ABD
【解析】解:•••筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,,丁二色二纵),
1.5
则(0=—=—,故B正确;
4020
4+2+2-4
振幅A为筒车的半径,即4=4,K=--------------=2,故A正确;
2
由题意,/=0时,d=0,:.0=4sin(p+2,即s山*=-万
冗冗冗
—<(P<一,•,*(p——,故C错误:
226
d=4sin—t----+2,
(206)
L四,人.(九).(717ry
由d=6,得6=4sin——t——+2".sin~—t——=1t,
(2()6J(2()6)
7171Tl40
:,—t一一=一+2%〃,ZEZ,得£=一+40匕keZ.
20623
40
.•.当k=0时,/取最小值为不(s),故D正确.
12.【答案】AD
TTTTTTV27r
【解析】由题意,可得一=2—(一乙)=々,所以T=万,可得w=2=2,
46124T
所以/(x)=3cos(2x+0),所以函数Ax)的振幅为3,故A正确;
111
函数/(x)的频率为了=互=彳,故B错误;
T
TTJiTT
因为/(—上)=3cos[2x(—&)+如=3,所以<p—%=2k兀,keZ,
TT7T
因为0<夕<乃,所以°二一,即/(x)=3cos(2x+—),
66
所以g(%)=3cos[2(以一令+自=3cos(2x--),
Ji57r7t
令一4+2攵4421WZkTjkcZ,可得----<x<一+k兀,kGZ,
61212
5TT7T
所以g(x)的单调递增区间为[-五+6•,/+hr]次eZ,而选项C只是其中一个单调递
增区间,故C错误;
由2x-代=2+女%,,4eZ,解得x=1+wZ,
623
所以函数g(x)在0,y上只有一个零点.
故选:AD
13.【答案】2(满足即可)
1212
【解析】:P(cos6,sin。)与Qcos0+—,sin0+—|关于y轴对称,
I16JI6〃
TT
即ae+二关于y轴对称,
6
TT
。+—+。="+2ki,keZ,
6
57r
则0=k"-----,kGZ,
12
57r
当我二0时,可取。的一个值为一.
12
故答案为:—(满足6=A:乃+2/eZ即可).
1212
14.【答案】4H—71
2
【解析】设O8=OA=r,由题意AM=AN=7,防=12,所以NF=5,
因为AP=5,所以ZAGP=45°,
因为BH//DG,所以乙4”。=45°,
因为AG与圆弧A6相切于A点,所以。AJ_AG,
即△Q4”为等腰直角一角形;
在直角△。。£>中,。。=5—当厂,D0=7-—r.
因为tanNOOC=盥=:,所以21_述r=25_域「,
DQ522
解得r=2V2:
等腰直角△OAH的面积为H=L20x2遮=4:
2
扇形408的面积52=9言乂倒a)2=3万,
157r
所以阴影部分的面积为E+52—万乃=4+万.
故答案为:4H-----.
2
6【答案】1
JsinAsinBsinAsinB
【解析】解:由题意可知,2-------+--------
\cosAcosBcosAcosBcosAcosB
化简得2sin(A+3)=sinA+sin5,
所以2sinC=sinA+sinB.
b
根据正弦定理:三士,可得2。=。+〃①.
sinAsin4smC
coscJ+'ic,,由①可得/=J_(a+b)2,
lab4'7
3232ab
所%。上「=|£M.2磊
H一15
当q=2时,等号成立.所以cos。的最小值为L.
ba2
故答案为:—•
2
X兀)石.兀
273sin2—I-----5/3=sinxH—十-y/3
1212;I6j
/(x)=0<=>2sin0,
・・・/(x)在[0,〃H上恰有10个零点,
=0在[0,m]上恰有10个解,
.八兀1八A7JZR557c61兀
・・9JI„m—<1OTI,解得---加<----,
66996
故答案为:
17.【答案】(1)乃;(2)1+立
2
7C\
【解析】(1)由辅助角公式得/(x)=sinx+cosx=J5sinX+1J,则
V2sinx+—=2sin2x+——=l-cos2x+--二1-sin2x
<4>I4JI2)
2万
所以该函数的最小正周期7-M
(乃、
(2)由题意,y=f(x)f尤一=V2sinx+—■V2sinx=2sinx+—sinx
I4;I4J
=2sinx-——sinx+--cosx=V2sin2x+V2sinxcosx
I22J
rrl-cos2xV2._V2.A/2吟夜
—>/2------------1-----sin2x——sin2x-------cos2xH-------sin2x----d-------,
22222<4j2
八乃一c兀冗37c
由0,--可得--,
2J4[_44」
所以当即》=艺时,函数取最大值1+也.
4282
18.【答案】⑴\--Jr-kTC,—+kK|,kwZ;(2)最大值为2G.
<1212)4
【解析】解:(1)
/(x)=l+sin2x+V3-2^3x1+>入=sin2x-y/3cos2x+1=2sin—+1,令
--+2kn<2x--<-+2kn,解得单调递增区间为(一二+%肛弃+匕],ZwZ:
232I1212J
(2)/(A)=2sin(2A-()+l=6+l,解得4=?.
又令外接圆半径为R,则2/?=26,所以R=石.
所以6c=(2/?sin8)(2RsinC)=12sinBsinC=12x;[cos(8-C)-cos(B+0],又
2
因为3+C=—71,
3
(27r、17T
所以Z?c=6cos2B----d■—V9(当且仅当B=—)
LI3J2」3
所以SA>1/jc=1人csinA=-^-bc<—y/3,所以面积最大值为2G.
△ABC24474
19.【答案】(1)PF=-4;7(()<e<W];(2)当NEEP=工时,沿直线PE剪裁,
sin2外2)2
四边形跖VPE面积最大,最大值为6-26m2,理由见解析.
【解析】(1)因为NEEP=8,凡翻折的对称性可知NEED="
又根据4D//8C,所以NEEP=6,则PF=PE.
故NFPE=兀—26,
又因为NFi/ME,所以NFPE=NPEM=兀-26,
22
又M7V=2,所以刊——=—7^,
sin(4一2,)sin26^
TT
又点C、O分别落在直线BC下方点M、N处,所以0<。<一,
2
所以"焉[j<3
2
(2)由(1)知,PF=.—Q<0<^\,则PN=3———
sin2〃sin20
ME=PN+———=3——-------=3—2Q+C°S20)
tan(i-2。)sin20tan20sin20
c4cos20_2cos。
=3------------3--------,
2sin。cos。sin。
所以四边形MNPE面积为S=6-4+220
sin20
令」=4+2c°s2"=」§山26一2(;0§2夕=4=>J7+4sin(26一0)=4,
sin2。
所以4£[-V『+4,J『+4],解得(舍负),
当且仅当。=?时;四边形MNPE面积有最大值6-26m2.
20.【答案】(1)s=2[2(smd+cose)—l],,.。二];(2)6=三.
sinOcos。v2J4
【解析】解:(1)以点O为坐标原点建立如图直角坐标系,则“(4,4),
在府AABO中,设AB=/,又乙OAB=e,故04=/cos9,OB=/sine,
X
所以直线A3的方程为+」=1,即xsin^+ycos^-/sin^cos^=0,
/cos。/sin。
因为直线43与圆〃相切,所以〃到直线的距离等于半径2,即
14sin+4cos0-l^mOcos6\
二2①,
7sin2^+cos26
又点H在直线AB的上方,故4sin在+4cose-/sm68s6>0,
所以①式可化简为4sin6+4cos8—/sin夕cos9=2,即/=4(sin"+c°s")2
sincos
MOA4(sin^+cos^)-24(sine+cos6)-2
,0B
sin。cos。
14(sin6+cos6)-24(sin^+cos^)-2
所以△A08的面积为S=-OAOB=-X-----------------------X-----------------------
22sin。cos。
2[2(sin6+cos。)-1了
sincosa"f;
2[2(sin3+cos一1]
即S关于。的函数解析式为s,匹!0,3
singcosB
(e+沙iw(i,2痣-1],
(2)令/=2(sin8+cose)-l,0&0,1,则f=2夜sin
n•八八厂+2t—3i、]S=—=J,—,te(l,2V2-ll
且sin6cose=------------,所以/+2/-33^2^/V」,
8------------------7H----r1
8rt
\
令机逑里,13i
.分母2;+g,其中
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