初三数学反比例函数的专项培优练习题及答案解析

初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)及答案解析一、反例函数．在平面直角坐标系内，双曲线：y=

（＞）别与直OA：和线：﹣x+10，于CD两点，并且．（）出双曲的解析式；（）结CD，求四边形OCDB的积．【答案】（1）解：过点、C、D作x轴的垂线，垂足分别是、、F，AMO=CEO=，直：和线：﹣x+10，AOB=，CEODEB

==3，设﹣m，）其中m＞，C，），点C、在曲线上，9m

（﹣）解得：或（去）C3，），k=9，双线y=

（0）（）：由（1）知D（，）（，，（，）BF=1，

OE=3，，

+S+SS

OCDB

CDFE=×3×3+×1+3）

，四形的积是17【解析】【分析】（）点A、、作x轴垂线，垂足分别是、、，由直线和y=﹣可知ABO=45°，eq\o\ac(△,)，而可知

==3，后设设（﹣，m），其中m＞，从而可知C的坐标为3m，）利用C、在比例函数图象上列出方程即可求出的．2）分别求eq\o\ac(△,)OCEeq\o\ac(△,)DFB、形CDFE的面积即可求出答案．2．如图，直线y=﹣与反比例函数y=的象相交于A（，）B两点，延长AO交反比例函数图象于点连接．（）和的值；（）接写出次函数值小于反比例函数值的自变量x的值范围；（）y轴上是否存在一点P，使eq\o\ac(△,)=eq\o\ac(△,)AOB？存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．【答案】（）：将A（，）别代入y=﹣和

得：4=﹣，

，解得：b=5，（）：一次数值小于反比例函数值的自变量x的值范围为＞或＜x＜（）：过A作AN轴过作BMx轴由1）知，，直的表达式为﹣，比例函数的表达式为：由

，解得：，或x=1B（，），

==

，

，

，过作y轴，过作CDy轴，设P（，）

eq\o\ac(△,S)

OP•CD+OP•AE=

OP（），解得：t=﹣，（3）P（，）．【解析】【析】（）待定系法即可得到结论；（）根据图象中的信息即可得到结论；（）作AMx轴过作BNx轴由（）知，，，得到直线的表达式为：，比例函数的表达式为：）于是得到

列方程，得（，，由已知条件得到

，过A作y轴，过作y轴，设（，）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．3．如图，已知直线y=x+k和双曲线y=

（为正整数）交于，两．

12n12neq\o\ac(△,)AOB12n12n12neq\o\ac(△,)AOB12n（）时，求、两的坐标；（）时，eq\o\ac(△,)的积；（）时eq\o\ac(△,)的积记为S，当时eq\o\ac(△,)的面积记为S，，依此类推，当k=n时eq\o\ac(△,)的面积记为S，若S+S+…+S=【答案】（）：当k=1时直线y=x+k和曲线y=解得，，A（1，2），（，﹣）

，求n的值．化为：和，（）：当k=2时直线y=x+k和曲线y=解得，，A（1，3），（，﹣）设直线AB的析式为，

化为：和y=，

，直AB的解析式为：y=x+2直AB与y轴的交点0，），

=×2×1+×2×3=4；（）：当k=1时，=×1×（），当时S×2×（），…当时，S=n（）n+n，

12n12nS+S+…+S=

，

×（

…+n

）（）

，整理得：

，解得：．【解析】【分析】（）图像的交点就是求联立的方程组的解；（斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；）利用个的平方和公式和等差数列的和公式可求.4．如图，一次函数的象分别与反比例函数的象在第一象限交于点（，3），与y轴的负半轴交于点，且OA=OB．（）函数y=kx+b和y=的表达式；（）知点（0，）试在该一次函数图象上确定一点M，使得，此点的坐标．【答案】（）：把点A（，）入函数y=得：a=3×4=12，y=

．

=5，OA=OBOB=5，点的标为（，），把B0﹣）（，）入得：解得：﹣．

（）：点M在一次函数y=2x﹣上，设M的标为x，﹣），，解得：，点M的标为2.5，）．【解析】【分析】（1）求反比例函数关系式，由，求出B坐标，再代入一次函数解析式中求出解析式；2M点纵坐标可用的式子表示出来，可套两点间距离公式，表示出、，二者相等，可求出x.5．如图，在平面直角坐标系中eq\o\ac(△,，)的顶点A在x轴半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点B在一象限，线段

，

的长是一元二次方程

的两根，，．（）接写出的标点C的坐标；（）反比例数（）图点作

的图象经过点，k的值；轴于点；轴是否存在点，以，，为点的三角形与以，，为顶点的三角形相似存在，直接写出满足条件的点的标；若不存在，请说明理由．【答案】（）；（）：如图过点作

，垂足为，

，设

，，在RtΔBEC中

=12，，整理得：解得：

，（不合题意舍去），

，把

，，代入，

，（）：存在如图，若点P在OD上，eq\o\ac(△,若)△，则，，解得：或OP=6，（2）P（，）如图，

若点P在OD上方eq\o\ac(△,)△，则，，解得：，（）；如图，若点P在OD上方eq\o\ac(△,)BDP△，则，解得：（4+2如图，

或OP=4-2）；

，（不合题意舍去），

若点P在轴半轴eq\o\ac(△,)△，则，解得：

或4-2

，（不合题意舍去），则点坐标为0，4-2

）故点的标为：

或

或

或

或【解析】【解答】解：（）解一元二次方程

，解得：所以所以

，，，；【分析】（）首先利用直接开平方法求出方程OA=OC=6，而得出A,C两点的坐标；

的两根，从而得出（）如，点作

，垂足为，根等腰直角三形的性质得出

，设

，EC=12-x，在RtΔBEC中利用股定理建立方程，求解并检验即可得出的长从而得出点的坐标，然后利待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（）存．如2，若P在上eq\o\ac(△,)，据相似三角形对应边成比例得出，根据比例列出方程，求解即可得出P点的坐标；如图3，若点在OD上方eq\o\ac(△,)△，根相似三角形对应边成比例得出则

根据比例式列出方程，求解并检验即可得出点的坐标；如图4，若点P在OD上方eq\o\ac(△,)PDB△，据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；如图5，若点P在轴半轴eq\o\ac(△,)PDBAOP，根相似三角形对应边成比例得出可得出答案。

，根比例式列出方程，求解并检验即可得出P点坐标，综上所述即

6．如图，直线y=2x+6与比例函数y=（＞）的图象交于点A（，m，与x轴交于点B，平行于轴的直线y=n（＜＜交反比例函数的图象于点M，交AB于N，接BM（）的和反比例函数的表达式；（）察图象直接写出当x＞时等式2x+6﹣＜0的集；（）线y=n沿轴向平移当为何值时eq\o\ac(△,)的面积最大？最大值是多少？【答案】（）：直经点（，），A（1，8），反例函数经过（，）k=8，反例函数的解式为y=．（）：不等2x+6﹣＜的集为＜x1．（）：由题，点M，的标为M（，）（＜＜6，

，）

﹣eq\o\ac(△,)

＜，＞=|MN|×|y|=×（﹣

）﹣（﹣3）

，n=3时eq\o\ac(△,)的面积最大，最大值为．【解析】【分析】（）出点A的标，利待定系数法即可解决问题；（）图象直求得；

（）建二次数，利用二次函数的最值即可解决问.7．如图，在平面直角坐标系xOy中直线y=相交于点A（，3）．

x与反比例函数y=在第一象限内的图象（）该反比函数的关系式；（）直线y=x沿y轴向上平移8个位后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B连接AB这时恰好AB，的；（）（）的条件下，在射线OA上在一点，eq\o\ac(△,使)∽△BAO，点的坐标．【答案】（）：点A（m3）直线y=x上3=

m，点（点（

，），）反比例数上，

y=

×3=9

，（）：直线上平移个位后表达式为：x+8AB，直线AB过A（

，）直AB解析式：﹣

x+12，

x+8=﹣

，x=B（

．，）在eq\o\ac(△,)AOB中，，（）：APB△，

，由（），

，即，OA=6，OP=14过点作AHx轴于，）A（3，，在eq\o\ac(△,)AOH中

=

，AOH=30°过点P作x轴G，在eq\o\ac(△,)中，POG=30°，OP=14，PG=7，

（

，）【解析】【分】（）先确定出点A坐，再用待定系数法求出反比例函数解析式；（）求出直AB解析式，进而得出点坐秒即可得出结论；3）利用相似三角形的性质得出AP进而求出OP，求，最后用含30°直角三角形的性质即可得出结论．8．如图，反比例函数的象与一次函数y=kx+b的象交于，两点，点A的坐标为（，）点B的坐标为（，1）．（）反比例数与一次函数的表达式；（）为y轴上一个动点，若eq\o\ac(△,S)=10，点E的标．【答案】（）：把点A（，）入y=把点（，）代入y=，得，

，得，则y=

．则点的坐标为，）．由直线y=kx+b过（，），点B，）得，解得，

eq\o\ac(△,)12eq\o\ac(△,)12eq\o\ac(△,)则所求一次函数的表达式为﹣

x+7（）：如图直线AB与轴交点为P，设点E的坐标为0，）连接，，则点P的坐标为07．﹣．

eq\o\ac(△,)

﹣=10，

×|m﹣（12﹣）=10．﹣．m=5m=9．点的坐标为（，）（9．【解析】【分】（）把点A的标代入反比例函数解析式，求出反比例函数的解析式，把点B的标代入求出的反比例函数解析式，得出n的，得出点B的坐标，再把A、B的坐标代入直线y=kx+b，求出k、的，而得出一次函数的解析式；2）设点E的坐标为（，）连接，，先求出点的标（07）得出﹣，根据eq\o\ac(△,S)

AEB

﹣=10，出的，从而得出点E的标．9．已知，抛物线

的图象经过点，．（）这个抛线的解析式；（）图，是物线对称轴上一点，连接的坐标；

，，求出当

的值最小时点（）图2，

是线段

上的一点，过点

作

轴，与抛物线交于

点，若直线把

分成面积之比为

的两部分，请求出点坐标．【答案】（）：将

，

的坐标分别代入．

得解这个方程组，得，所以，抛物线的解析式为（）：如1，于点、关于轴对称，所以连接，直线所求的点，

与轴交点即为由

，令

，得，解得

，

，点的坐标为

，又

，易得直线

的解析式为：

．当时，点坐（）：设点坐标为

，

，所以

所在的直线方程为

．那么，

与直线

的交点坐标为

，与抛物线由题意，得①

，即

的交点坐标为．，解这个方程，得，即②解这个方程，得

或（去）．或（去），

，综上所述，点坐标为

，

或，．

【解析】【分析】（将点、的标代入可得出、的值，继而得出这个抛物线的解析式；（）于点、关于轴对称，所以连接

，直线

与轴交点即为所求的点，用待定系数法确定直

的解析式，然后求得该直线与轴交点坐标即可；（）图，

交

于，

，根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，设点的坐标为然后分类讨论：分别利用

，

或

，．，列关于的方程，然后分别解关于

的方程，从而得到点标10．（）图1所，在

中，

，

，点

在斜边

上，点

在直角边

上，若，求证：（）图2所，

.在矩形

中，，

，点在

上，连接，点

作

交(或①若

的延长于.，求

的长；②若恰好与点重合，请在备用图上画出图形，并求

的长.

【答案】（）明：在

中，，，

，

，

，

，

，.（）：四边形

是矩形，

，

，

，

，

，，，，，②如所示，设

，；

，，由得，

，即，整理，得：解得：，所以的长为

或

，.

，【解析】【分析】（）用平角的定义和三角形的内角和证明

即可证得结论；（）仿（）题证明

，再利用相似三角形的性质即可求得结果；②由得解方程即可求得结果

，设

，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，

11．平面直角坐标系中若和Q两关原点对称，则称点P与Q是个“和谐点对，示[P，Q，比如P1，）Q（﹣，）是个和点对”．（）出反比函数＝图象上的一和谐点对；（）知二次数y＝mx+n，①若函数图象上存在一个和谐点，，中A的坐标为（，4，求，n的值；②在①的条件下，在y轴上取一点（，），当为角时，求b的值范围【答案】（）：y，可[P（1）Q（﹣，）；（）：A（，）和B为谐点对，B点坐标为（2，4），将和B两坐标代入y＝2+mxn，可得

，②如：

；（）M点x轴上方时，若AMB直角（点x轴），eq\o\ac(△,则)为直角三角形，A（2，4）且和为谐点对B点标为（，﹣）原在AB线上且O为AB中点，AB＝，A（2，4），

OA＝AB＝

，，在eq\o\ac(△,Rt)中为AB中点MO＝＝，若AMB锐角，则

；（）M点x轴下方时，同理可得，

，综上所述，的值范围为：

或

．【解析】【分析】（）题目中所给和谐点对的定义可知、即为关于原点对称的两个点，在反比例函数图象上找出两点即可；2①A、为谐点对可求得点B的标，则可得到关于、的程组，可求得其值；当M在轴上方时，可先求AMB为直角时对应的M点坐标，当点M向上运动时满足AMB为锐角；当点M在x轴方时，同理可求得的取值范围．12．图，二次函数（其中，是数，且a>0，）图象与轴别交于点，（点A位于点B的侧），与y轴于点C(0，3)点D在次函数的图象上，AB，连接AD.过作线AE交次函数的图象于点E，平分DAE.（）含的代数式表示；（）证：

为定值；（）该二次数图象的顶点为探索：在轴负半轴上是否存在点G，接，以线段、、的度为三边长的三角形是直角三角形