上海市黄浦区2023年高考数学一模试卷(解析版)-

上海市黄浦区2023年高考数学一模试卷〔解析版〕一、填空题〔本大题共有12题，总分值54分.其中第1～6题每题总分值54分，第7～12题每题总分值54分〕考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．假设集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}，那么A∩Z=．2．抛物线y2=2x的准线方程是．3．假设复数z满足〔i为虚数单位〕，那么z=．4．sin〔α+〕=，α∈〔﹣，0〕，那么tanα=．5．以点〔2，﹣1〕为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是．6．假设二项式的展开式共有6项，那么此展开式中含x4的项的系数是．7．向量〔x，y∈R〕，，假设x2+y2=1，那么的最大值为．8．函数y=f〔x〕是奇函数，且当x≥0时，f〔x〕=log2〔x+1〕．假设函数y=g〔x〕是y=f〔x〕的反函数，那么g〔﹣3〕=．9．在数列{an}中，假设对一切n∈N*都有an=﹣3an+1，且=，那么a1的值为．10．甲、乙两人从6门课程中各选修3门．那么甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有．11．点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限局部交于点P，假设，那么实数λ的值为．12．为常数〕，，且当x1，x2∈[1，4]时，总有f〔x1〕≤g〔x2〕，那么实数a的取值范围是．二、选择题〔本大题共有4题，总分值20分．〕每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分．13．假设x∈R，那么“x＞1〞是“〞的〔〕A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件14．关于直线l，m及平面α，β，以下命题中正确的选项是〔〕A．假设l∥α，α∩β=m，那么l∥m B．假设l∥α，m∥α，那么l∥mC．假设l⊥α，m∥α，那么l⊥m D．假设l∥α，m⊥l，那么m⊥α15．在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为〔﹣1，0〕，〔1，0〕，那么满足tan∠PAB•tan∠PBA=m〔m为非零常数〕的点P的轨迹方程是〔〕A． B．C． D．16．假设函数y=f〔x〕在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，那么称函数f〔x〕是区间I上的“H函数〞．对于命题：①函数是〔0，1〕上的“H函数〞；②函数是〔0，1〕上的“H函数〞．以下判断正确的选项是〔〕A．①和②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题 D．①和②均为假命题三、解答题〔本大题共有5题，总分值76分．〕解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PA⊥底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为．〔1〕求三棱锥P﹣ABC的体积；〔2〕假设M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕．18．双曲线C以F1〔﹣2，0〕、F2〔2，0〕为焦点，且过点P〔7，12〕．〔1〕求双曲线C与其渐近线的方程；〔2〕假设斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且〔O为坐标原点〕．求直线l的方程．19．现有半径为R、圆心角〔∠AOB〕为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如下列图．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在上，且OE=OF，EC=FD，∠ECD=∠CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF的面积为S．〔1〕试求S关于θ的函数关系式；〔2〕求S的最大值．20．集合M是满足以下性质的函数f〔x〕的全体：在定义域内存在实数t，使得f〔t+2〕=f〔t〕+f〔2〕．〔1〕判断f〔x〕=3x+2是否属于集合M，并说明理由；〔2〕假设属于集合M，求实数a的取值范围；〔3〕假设f〔x〕=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f〔x〕∈M．21．数列{an}，{bn}满足bn=an+1﹣an〔n=1，2，3，…〕．〔1〕假设bn=10﹣n，求a16﹣a5的值；〔2〕假设且a1=1，那么数列{a2n+1}中第几项最小？请说明理由；〔3〕假设cn=an+2an+1〔n=1，2，3，…〕，求证：“数列{an}为等差数列〞的充分必要条件是“数列{cn}为等差数列且bn≤bn+1〔n=1，2，3，…〕〞．2023年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题〔本大题共有12题，总分值54分.其中第1～6题每题总分值54分，第7～12题每题总分值54分〕考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．假设集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}，那么A∩Z={0，1，2}．【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩Z即可．【解答】解：集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}={x|﹣2＜x﹣1＜2，x∈R}={x|﹣1＜x＜3，x∈R}，那么A∩Z={0，1，2}．故答案为{0，1，2}．2．抛物线y2=2x的准线方程是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案．【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1，∴准线方程是x=﹣故答案为：﹣3．假设复数z满足〔i为虚数单位〕，那么z=1+2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由，得z=1+2i．故答案为：1+2i．4．sin〔α+〕=，α∈〔﹣，0〕，那么tanα=﹣2．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的根本关系．【分析】由α∈〔﹣，0〕sin〔α+〕=，利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．【解答】解：∵sin〔α+〕=cosα，sin〔α+〕=，∴cosα=，又α∈〔﹣，0〕，∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．5．以点〔2，﹣1〕为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是〔x﹣2〕2+〔y+1〕2=18．【考点】圆的切线方程．【分析】由点到直线的距离求出半径，从而得到圆的方程．【解答】解：将直线x+y=7化为x+y﹣7=0，圆的半径r==3，所以圆的方程为〔x﹣2〕2+〔y+1〕2=18．故答案为〔x﹣2〕2+〔y+1〕2=18．6．假设二项式的展开式共有6项，那么此展开式中含x4的项的系数是10．【考点】二项式定理的应用．【分析】根据题意求得n=5，再在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求得r的值，可得展开式中含x4的项的系数．【解答】解：∵二项式的展开式共有6项，故n=5，那么此展开式的通项公式为Tr+1=•〔﹣1〕r•x10﹣3r，令10﹣3r=4，∴r=2，中含x4的项的系数=10，故答案为：10．7．向量〔x，y∈R〕，，假设x2+y2=1，那么的最大值为+1．【考点】向量的模．【分析】利用≤+r即可得出．【解答】解：设O〔0，0〕，P〔1，2〕．=≤+r=+1=+1．∴的最大值为+1．故答案为：．8．函数y=f〔x〕是奇函数，且当x≥0时，f〔x〕=log2〔x+1〕．假设函数y=g〔x〕是y=f〔x〕的反函数，那么g〔﹣3〕=﹣7．【考点】反函数．【分析】根据反函数与原函数的关系，可知反函数的定义域是原函数的值域，即可求解．【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g〔﹣3〕=﹣g〔3〕，∵反函数的定义域是原函数的值域，∴log2〔x+1〕=3，解得：x=7，即g〔3〕=7，故得g〔﹣3〕=﹣7．故答案为：﹣7．9．在数列{an}中，假设对一切n∈N*都有an=﹣3an+1，且=，那么a1的值为﹣12．【考点】数列的极限．【分析】由题意可得数列{an}为公比为﹣的等比数列，运用数列极限的运算，解方程即可得到所求．【解答】解：在数列{an}中，假设对一切n∈N*都有an=﹣3an+1，可得数列{an}为公比为﹣的等比数列，=，可得====，可得a1=﹣12．故答案为：﹣12．10．甲、乙两人从6门课程中各选修3门．那么甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有200．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，甲、乙所选的课程中至多有1门相同，其包含两种情况：①甲乙所选的课程全不相同，②甲乙所选的课程有1门相同；分别计算每种情况下的选法数目，相加可得答案．【解答】解：根据题意，分两种情况讨论：①甲乙所选的课程全不相同，有C63×C33=20种情况，②甲乙所选的课程有1门相同，有C61×C52×C32=180种情况，那么甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有180+20=200种情况；故答案为：200．11．点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限局部交于点P，假设，那么实数λ的值为．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，求出的坐标，代入，结合隐含条件求得实数λ的值．【解答】解：如图，A〔﹣a，0〕，B〔0，b〕，F〔c，0〕，那么P〔c，〕，∴，，由，得，即b=c，∴a2=b2+c2=2b2，．那么．故答案为：．12．为常数〕，，且当x1，x2∈[1，4]时，总有f〔x1〕≤g〔x2〕，那么实数a的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【分析】依题意可知，当x1，x2∈[1，4]时，f〔x1〕max≤g〔x2〕min，利用对勾函数的单调性质可求g〔x2〕min=g〔1〕=3；再对f〔x〕=2ax2+2x中的二次项系数a分a=0、a＞0、a＜0三类讨论，利用函数的单调性质可求得f〔x〕在区间[1，4]上的最大值，解f〔x〕max≤3即可求得实数a的取值范围．【解答】解：依题意知，当x1，x2∈[1，4]时，f〔x1〕max≤g〔x2〕min，由“对勾'函数单调性知，=2x+=2〔x+〕在区间[1，4]上单调递增，∴g〔x2〕min=g〔1〕=3；∵=2ax2+2x，当a=0时，f〔x〕=2x在区间[1，4]上单调递增，∴f〔x〕max=f〔4〕=8≤3不成立，故a≠0；∴f〔x〕=2ax2+2x为二次函数，其对称轴方程为：x=﹣，当a＞0时，f〔x〕在区间[1，4]上单调递增，f〔x〕max=f〔4〕=8≤3不成立，故a＞0不成立；当a＜0时，1°假设﹣≤1，即a≤﹣时，f〔x〕在区间[1，4]上单调递减，f〔x〕max=f〔1〕=2a+2≤3恒成立，即a≤﹣时满足题意；2°假设1＜﹣＜4，即﹣＜a＜﹣时，f〔x〕max=f〔﹣〕=﹣≤3，解得：﹣＜a≤﹣；3°假设﹣≥4，即﹣≤a＜0时，f〔x〕在区间[1，4]上单调递增，f〔x〕max=f〔4〕=32a+8≤3，解得a≤﹣∉〔﹣，0〕，故不成立，综合1°2°3°知，实数a的取值范围是：〔﹣∞，﹣]．故答案为：．二、选择题〔本大题共有4题，总分值20分．〕每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分．13．假设x∈R，那么“x＞1〞是“〞的〔〕A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由x＞1，一定能得到得到＜1，但当＜1时，不能推出x＞1〔如x=﹣1时〕，故x＞1是＜1的充分不必要条件，应选：A．14．关于直线l，m及平面α，β，以下命题中正确的选项是〔〕A．假设l∥α，α∩β=m，那么l∥m B．假设l∥α，m∥α，那么l∥mC．假设l⊥α，m∥α，那么l⊥m D．假设l∥α，m⊥l，那么m⊥α【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，l与m平行或异面；在B中，l与m相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的性质定理得l⊥m；在D中，m与α相交、平行或m⊂α．【解答】解：由直线l，m及平面α，β，知：在A中，假设l∥α，α∩β=m，那么l与m平行或异面，故A错误；在B中，假设l∥α，m∥α，那么l与m相交、平行或异面，故B错误；在C中，假设l⊥α，m∥α，那么由线面垂直的性质定理得l⊥m，故C正确；在D中，假设l∥α，m⊥l，那么m与α相交、平行或m⊂α，故D错误．应选：C．15．在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为〔﹣1，0〕，〔1，0〕，那么满足tan∠PAB•tan∠PBA=m〔m为非零常数〕的点P的轨迹方程是〔〕A． B．C． D．【考点】轨迹方程．【分析】设P〔x，y〕，那么由题意，〔m≠0〕，化简可得结论．【解答】解：设P〔x，y〕，那么由题意，〔m≠0〕，化简可得，应选C．16．假设函数y=f〔x〕在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，那么称函数f〔x〕是区间I上的“H函数〞．对于命题：①函数是〔0，1〕上的“H函数〞；②函数是〔0，1〕上的“H函数〞．以下判断正确的选项是〔〕A．①和②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题 D．①和②均为假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对函数，G〔x〕=在〔0，1〕上的单调性进行判断，得命题①是真命题．对函数=，H〔x〕=在〔0，1〕上单调性进行判断，得命题②是假命题．【解答】解：对于命题①：令t=，函数=﹣t2+2t，∵t=在〔0，1〕上是增函数，函数y=﹣t2+2t在〔0，1〕上是增函数，∴在〔0，1〕上是增函数；G〔x〕=在〔0，1〕上是减函数，∴函数是〔0，1〕上的“H函数“，故命题①是真命题．对于命题②，函数=是〔0，1〕上的增函数，H〔x〕=是〔0，1〕上的增函数，故命题②是假命题；应选：B．三、解答题〔本大题共有5题，总分值76分．〕解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PA⊥底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为．〔1〕求三棱锥P﹣ABC的体积；〔2〕假设M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】〔1〕在Rt△PAB中计算PA，再代入棱锥的体积公式计算；〔2〕取棱AC的中点N，连接MN，NP，分别求出△PMN的三边长，利用余弦定理计算cos∠PMN即可．【解答】解：〔1〕∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA为PB与平面ABC所成的角，即，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，又AB=6，∴，∴．〔2〕取棱AC的中点N，连接MN，NP，∵M，N分别是棱BC，AC的中点，∴MN∥BA，∴∠PMN为异面直线PM与AB所成的角．∵PA⊥平面ABC，所以PA⊥AM，PA⊥AN，又，AN=AC=3，BM=BC=3，∴AM==3，，，所以，故异面直线PM与AB所成的角为．18．双曲线C以F1〔﹣2，0〕、F2〔2，0〕为焦点，且过点P〔7，12〕．〔1〕求双曲线C与其渐近线的方程；〔2〕假设斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且〔O为坐标原点〕．求直线l的方程．【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的标准方程．【分析】〔1〕设出双曲线C方程，利用条件求出c，a，解得b，即可求出双曲线方程与渐近线的方程；〔2〕设直线l的方程为y=x+t，将其代入方程，通过△＞0，求出t的范围，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，利用韦达定理，通过x1x2+y1y2=0，求解t即可得到直线方程．【解答】解：〔1〕设双曲线C的方程为，半焦距为c，那么c=2，，a=1，…所以b2=c2﹣a2=3，故双曲线C的方程为．…双曲线C的渐近线方程为．…〔2〕设直线l的方程为y=x+t，将其代入方程，可得2x2﹣2tx﹣t2﹣3=0〔*〕…△=4t2+8〔t2+3〕=12t2+24＞0，假设设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么x1，x2是方程〔*〕的两个根，所以，又由，可知x1x2+y1y2=0，…即x1x2+〔x1+t〕〔x2+t〕=0，可得，故﹣〔t2+3〕+t2+t2=0，解得，所以直线l方程为．…19．现有半径为R、圆心角〔∠AOB〕为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如下列图．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在上，且OE=OF，EC=FD，∠ECD=∠CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF的面积为S．〔1〕试求S关于θ的函数关系式；〔2〕求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】〔1〕设M是CD中点，连OM，推出∠COM=∠DOM=，MD=Rsinθ，利用△CEO≌△DFO，转化求解∠DFO=，在△DFO中，利用正弦定理，求解S=S△COD+SODF+SOCE=S△COD+2SODF的解析式即可．〔2〕利用S的解析式，通过三角函数的最值求解即可．【解答】解：〔1〕设M是CD中点，连OM，由OC=OD，可知OM⊥CD，∠COM=∠DOM=，，MD=Rsinθ，又OE=OF，EC=FD，OC=OD，可得△CEO≌△DFO，故∠EOC=∠DOF，可知，…又DF⊥CD，OM⊥CD，所以MO∥DF，故∠DFO=，在△DFO中，有，可得…所以S=S△COD+SODF+SOCE=S△COD+2SODF==…〔2〕…=〔其中〕…当，即时，sin〔2θ+φ〕取最大值1．又，所以S的最大值为．…20．集合M是满足以下性质的函数f〔x〕的全体：在定义域内存在实数t，使得f〔t+2〕=f〔t〕+f〔2〕．〔1〕判断f〔x〕=3x+2是否属于集合M，并说明理由；〔2〕假设属于集合M，求实数a的取值范围；〔3〕假设f〔x〕=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f〔x〕∈M．【考点】抽象函数及其应用．【分析】〔1〕利用f〔x〕=3x+2，通过f〔t+2〕=f〔t〕+f〔2〕推出方程无解，说明f〔x〕=3x+2不属于集合M．〔2〕由属于集合M，推出有实解，即〔a﹣6〕x2+4ax+6〔a﹣2〕=0有实解，假设a=6时，假设a≠6时，利用判断式求解即可．〔3〕当f〔x〕=2x+bx2时，方程f〔x+2〕=f〔x〕+f〔2〕⇔3×2x+4bx﹣4=0，令g〔x〕=3×2x+4bx﹣4，那么g〔x〕在R上的图象是连续的，当b≥0时，当b＜0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b，都有f〔x〕∈M．【解答】解：〔1〕当f〔x〕=3x+2时，方程f〔t+2〕=f〔t〕+f〔2〕⇔3t+8=3t+10…此方程无解，所以不存在实数t，使得f〔t+2〕=f〔t〕+f〔2〕，故f〔x〕=3x+2不属于集合M．…〔2〕由属于集合M，可得方程有实解⇔a[〔x+2〕2+2]=6〔x2+2〕有实解⇔〔a﹣6〕x2+4ax+6〔a﹣2〕=0有实解，…假设a=6时，上述方程有实解；假设a≠6时，有△=16a2﹣24〔a﹣6〕〔a﹣2〕≥0，解得，故所求a的取值范围是．…〔3〕当f〔x〕=2x+bx2时，方程f〔x+2〕=f〔x〕+f〔2〕⇔2x+2+b〔x+2〕2=2x+bx2+4+4b⇔3×2x+4bx﹣4=0，…令g〔x〕=3×2x+4bx﹣4，那么g〔x〕在R上的图象是连续的，当b≥0时，g〔0〕=﹣1＜0，g〔1〕=2+4b＞0，故g〔x〕在〔0，1〕内至少有一个零点；当b＜0时，g〔0〕=﹣1＜0，，故g〔x〕在内至少有一个零点；故对任意的实数b，g〔x〕在R上都有零点，即方程f〔x+2〕=f〔x〕+f〔2〕总有解，所以对任意实数b，都有f〔x〕∈M．…21．数列{an}，{bn}满足bn=an+1﹣an〔n=1，2，3，…〕．〔1〕假设bn=10﹣n，求a16﹣a5的值；〔2〕假设且a1=1，那么数列{a2n+1}中第几项最小？请说明理由；〔3〕假设cn=an+2an+1〔n=1，2，3，…〕，求证：“数列{an}为等差数列〞的充分必要条件是“数列{cn}为等差数列且bn≤bn+1〔n=1，2，3，…〕〞．【考点】数列与函数的综合；数列的应用；数列递推式．【分析】〔1〕判断{bn}是等差数列．然后化简a16﹣a5=〔a16﹣a15〕+〔a15﹣a14〕+〔a14﹣a13〕+…+〔a6﹣a5〕利用等差数列的性质求和即可．〔2〕利用a2n+3﹣a2n+1=22n+1﹣231﹣2n，判断a2n+3＜a2n+1，求出n＜7.5，a2n+3＞a2n+1求出n＞7.5，带带数列{a2n+1}中a17最小，即第8项最小．．法二：化简，求出a2n+1=a1+b1+b2+b3+…+b2n=，利用根本不等式求出最小值得到数列{a2n+1}中的第8项最小．〔3〕假设数列{an}为等差数列，设其公差为d，说明数列{cn}为等差数列．由bn=an+1﹣an=d〔n=1，2，3，…〕，推出bn≤bn+1，假设数列{cn}为等差数列且bn≤bn+1〔n=1，2，3，…〕，设{cn}的公差为D，转化推