全微分的定义

全微分的定义第一页，共十四页，2022年，8月28日ΔxΔyxy如图，一边长分别为x、y的长方形金属薄片，受热后在长和宽两个方向上都发生变化，分别为Δx、Δy，那么该金属薄片的面积A改变了多少？ΔA称为面积函数A=xy的全增量，由两部分组成：Δx，Δy的线性部分当(Δx,Δy)→(0,0)时，是一个比高阶无穷小。第二页，共十四页，2022年，8月28日

定义设函数在点(x，y)的某个邻域内有定义，点（x+Δx，y+Δy）在该邻域内，如果函数在点（x，y）的全增量可以表示为其中A，B与Δx,Δy无关，是当→0时比ρ高阶的无穷小。则称函数在点（x，y）处可微，称函数在点(x,y)处的全微分，记作dz或df(x,y)，即显然，dz≈Δz一、全微分第三页，共十四页，2022年，8月28日二可微的必要和充分条件定理（可微的必要条件）如果函数在点（x，y）处可微，则它在该点处必连续，且它的两个偏导数都存在，并且证明：由函数在点（x，y）处可微有所以即第四页，共十四页，2022年，8月28日因此，函数在点（x，y）连续。又因为中的A，B与Δx，Δy无关，也就是该式对任意的Δx，Δy都成立。不妨取Δy=0，则有上式两边同除以Δx，再令Δx→0，则有即说明存在，且同理可证存在，且故有第五页，共十四页，2022年，8月28日注意：此命题不可逆。即若两偏导数都存在，也不能保证函数在点（x，y）可微。讨论函数：由以前的讨论可知，在点（0，0）处它的两个偏导数都存在，可该函数在此点却不连续，不连续肯定不可微。定理（可微的充分条件）如果函数的两个偏导数在点（x，y）都存在且连续，则该函数再给点可微。第六页，共十四页，2022年，8月28日以上有关概念和定理均可以退到三元及三元以上的函数中去。由于自变量的微分等于自变量的微分，故二元函数的全微分习惯上可写为类似地，三元函数的全微分为例1求函数的全微分。解：先求函数的两个偏导数：第七页，共十四页，2022年，8月28日所以例2求函数在点（2，-1）处的全微分。解：因为所以第八页，共十四页，2022年，8月28日例3设函数在点（0，0）有增量Δx=0.2，Δy=0.3，求全微分dz。解：所以此题可理解为：在点（0，0）处x，y分别有增量Δx=0.2，Δy=0.3时，函数也产生增量Δz，并且Δz≈dz=1.8。第九页，共十四页，2022年，8月28日三全微分在近似计算中的应用应用的公式：例4设一金属圆柱受压变形后，底面半径由原来的20cm变到20.1cm，高由原来的40cm减少到39.5cm，求该金属体体积变化的近似值。解：设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积为V则有所以其中r=20，h=40，Δr=0.1，Δh=-0.5第十页，共十四页，2022年，8月28日由公式（1）得即金属体受压后体积减少了125.6cm3。由公式（1）还可得例5计算的近似值。解：构造函数，则第十一页，共十四页，2022年，8月28日取则所以例5

设一金属圆柱受压变形后，底面半径由原来的20厘米变到20.1厘米，高由原来的40厘米减少到39.5厘米，求该金属体体积变化的近似值。解：如下图所示。第十二页，共十四页，2022年，8月28日20cm40cm20.1cm39.5cm设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积为V，则有此时其中r=20，h=40，Δr=0.1，Δh=-0.5故有—即金