高中数学25从力做的功到向量的数量积教案北师大必修4

2.5从力做的功到向量的数目积（2课时）一、教课目的：1.知识与技术（1）经过物理中“功”等实例，理解平面向量数目积的含义及其物理意义、几何意义

.（2）领会平面向量的数目积与向量投影的关系.（3）掌握平面向量数目积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数目积表示两个向量的夹角，会用数目积判断两个平面向量的垂直关系

.2.过程与方法教材利用同学们熟习的物理知识（“做功”）获得向量的数目积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和稳固相应的知识，教材设置了4个例题；经过解说例题，培育学生逻辑思想能力.感情态度价值观经过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数目积与物理学的做功有着特别密切的联系；让学生进一步意会数形联合的思想；同时以较熟习的物理背景去理解向量的数目积，助于激发学生学习数学的兴趣、踊跃性和勇于创新的精神.

有二.教课重、难点要点:向量数目积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.难点:运算律的理解三.学法与教课器具学法：(1)自主性学习+研究式学习法：(2)反应练习法：以练习来查验知识的应用状况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教课器具:电脑、投影机.四.教课假想【研究新知】（学生阅读教材P107—108，师生共同议论）思虑：请同学们回想物理学中做功的含义，问对F一般的向量a和b，怎样定义这类运算？1.力做的功：W=|F|?|s|coss是F与s的夹角2.定义：平面向量数目积（内积）的定义，a?b=|a||b|cos，并规定0与任何向量的数目积为0。3.向量夹角的观点：范围0≤≤180C[展现投影]=0AAACABBOBA因为两个向量的数目积与向量同实数积有很大差别；所以重申注意的几个问题：B=180OcosO①两个向量的数目积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定。BOOBOAa?b；此后要学到两个向量的外积a×b，而ab是②两个向量的数目积称为内积，写成两个数目的积，书写时要严格划分。③在实数中，若a0，且?=0，则b=0；可是在数目积中，若a0，且?=，不可以abab0推出b=0。因为此中cos有可能为0.这就得性质2.④已知实数、、(b0)，则ab=bca=c.可是?=?a=cabcabbc如右图：a?b=|a||b|cos=|b||OA|ab?c=|b||c|cos=|b||OA|c?=?但acabbcObA⑤在实数中，有(?)=(?)，可是(?)c(?)abcabcababc明显，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.[展现投影]思虑与沟通：思虑与沟通1.射影的观点是怎样定义的，举例（或绘图）说明；并指出应注意哪些问题.B叫做向量b在BB定义：|b|cosa方向上的射影。OOO注意：①射影也是一个数目，不是向量。bbb②当为锐角时射影为正当；O当为钝角时射影为负值；aAO(B1)aAaA1OB10；BO当为直角时射影为OOOOO当b|；=0时射影为|当=180时射影为|b|.思虑与沟通2.怎样定义向量数目积的几何意义？由向量数目积的几何意义你能获得两个向量的数目积哪些的性质（学生议论达成，教师作必需的增补）.几何意义：数目积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。e?a=a?e=|a|cos②aba?b=0③当a与b同向时，?=|a||b|；当a与b反向时，?=|a||b|。abab特其他a?a=|a|2或|a|aa④cos=a?b（|a||b|≠0）|a||b|⑤|ab|≤|a||b|【稳固深入，发展思想】判断以下各题正确与否：①若a=0，则对任一直量b，有a?b=0.(√)②若a，则对任一非零向量b，有?0.(×)0ab③若a0，a?b=0，则b=0.(×)④若a?b=0，则a、b起码有一个为零.(×)⑤若a0，a?b=a?c，则b=c.(×)⑥若a?b=a?c，则b=c当且仅当a0时建立.(×)⑦对随意愿量a、b、c，有(a?b)?ca?(b?c).(×)⑧对随意愿量a，有a2=|a|2.(√)[展现投影]思虑与沟通：思虑：依据向量数目积的定义、物理意义及几何意义，你可否考证以下向量的数目积是否知足以下运算定律（证明的过程可依据学生的实质水平决定）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．互换律：a?b=b?a证：设a，b夹角为，则a?b=|a||b|cos，b?a=|b||a|cosa?b=b?a2.数乘联合律：(a)?b=(a?b)=a?(b)证：若=0，此式明显建立.若>0，(a)?b=|a||b|cos，(?)=|a||b|cos，aba?(b)=|a||b|cos，所以(a)?b=(a?b)=a?(b).若<0，(a)?b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(a?b)=|a||b|cos，a?()=|a|||cos()=||||(cos)bbab=|a||b|cos。所以(a)?b=(a?b)=a?(b).综上可知(a)?b=(a?b)=a?(b)建立.3.分派律：(a+b)?c=a?c+b?cA2证：在平面内取一点O，作OA=a,AB=b，OC=c，bBa∵a+b（即OB）在c方向上的投影1等于a、b在c方向上的投影和，OAcBC即：|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2∴c?(a+b)=c?a+c?b即：(a+b)?c=a?c+b?c.[展现投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适合增补）例1.已知：222b2495解：（1）aba（2）()222222cos27ababaaabbabb例2.已知a、b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a、b的夹角。解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16a?b15b2=0①(a4)(7a2b)=07230?+8b2=0②baab两式相减：2ab=b2代入①或②得：a2=b2设a、b的夹角为，则cos=a?bb21∴=60|a||b|2|b|22D例3.用向量方法证明：菱形对角线相互垂直。证：设AB=DC=a,AD=BC=bACa∵ABCD为菱形∴|a|=|b|b∴AC?BD=(b+a)(ba)=b2a2=|b|2|a|2=0ACBD即菱形对角线相互垂直。【稳固深入，发展思想】教材P109练习1、2题教材P111练习1、2、3、4、5题[学习小结]（学生总结，其余学生增补）①相关观点：向量的夹角、射影、向量的数目积.②向量数目积的几何意义和物理意义.③向量数目积的五条性质.④向量数目积的运算律.五、评论设计1．作业：习题2.5A组第3、4、5、6、7题．2．（备选题）：①在ABC中，设边BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，用向量方法证明：a2

b2

c2

2bccosA②求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。解：如图：

ABCD中