2022年江西省赣州市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022年江西省赣州市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.下列关系正确的是()。A.

B.

C.

D.

2.A.A.

B.

C.

D.

3.

A.0

B.

C.1

D.

4.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于（）．A.A.2B.1C.－lD.－2

5.设z=ln(x2+y)，则等于()。A.

B.

C.

D.

6.

A.绝对收敛

B.条件收敛

C.发散

D.收敛性不能判定

7.设∫0xf(t)dt=xsinx，则f(x)=()A.sinx+xcosxB.sinx-xcosxC.xcosx-sinxD.-(sinx+xcosx)

8.

9.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()．A.A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解10.f(x)是可积的偶函数，则是()。A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶D.可奇可偶

11.

12.下列函数中，在x=0处可导的是（）

A.y=|x|

B.

C.y=x3

D.y=lnx

13.平衡物体发生自锁现象的条件为()。

A.0≤α≤φ

B.0≤φ≤α

C.0<α<90。

D.0<φ<90。

14.

15.如图所示两楔形块A、B自重不计，二者接触面光滑，受大小相等、方向相反且沿同一直线的两个力的作用，则()。

A.A平衡，B不平衡B.A不平衡，B平衡C.A、B均不平衡D.A、B均平衡16.A.A.0

B.

C.

D.∞

17.

18.设函数y=ex-2,则dy=()A.e^(x-3)dxB.e^(x-2)dxC.e^(x-1)dxD.e^xdx

19.设函数f(x)=COS2x，则f′(x)=()．

A.2sin2x

B.-2sin2x

C.sin2x

D.-sin2x

20.A.A.

B.

C.

D.

二、填空题(20题)21.设f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1，2]的最大值为2，最小值为-29，又知a＞0,则a，b的取值为______.

22.

23.微分方程y''+y=0的通解是______.

24.

25.

26.设y=f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极小值，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为________。

27.求微分方程y"-y'-2y=0的通解。28.广义积分．29.设区域D由曲线y=x2，y=x围成，则二重积分30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.过坐标原点且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程为_________.

37.若函数f(x)=x-arctanx，则f'(x)=________.

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

42.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

43.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．44.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．45.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．46.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．47.求微分方程的通解．48.

49.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

50.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．51.

52.

53.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．54.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

55.

56.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则57.58.证明：59.

60.

四、解答题(10题)61.

62.

63.64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.五、高等数学(0题)71.

=________.则f(2)=__________。

六、解答题(0题)72.设z=ysup>2</sup>esup>3x</sup>，求dz。

参考答案

1.B由不定积分的性质可知，故选B．

2.B本题考查的知识点为级数收敛性的定义．

3.A

4.D本题考查的知识点为原函数的概念、复合函数求导．

5.A本题考查的知识点为偏导数的计算。由于故知应选A。

6.A

7.A

8.B

9.B本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构．

已知y1，y2为二阶线性常系数齐次微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个解，由解的结构定理可知C1y1+C2y2为所给方程的解，因此应排除D．又由解的结构定理可知，当y1，y2线性无关时，C1y1+C2y2为y"+p1y'+p2y=0的通解，因此应该选B．

本题中常见的错误是选C．这是由于忽略了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误．解的结构定理中指出：“若y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个线性无关的特解，则C1y1+C2y2为所给微分方程的通解，其中C1，C2为任意常数．”由于所给命题中没有指出)y1，y2为线性无关的特解，可知C1y1+C2y2不一定为方程的通解．但是由解的结构定理知C1y1+C2y2为方程的解，因此应选B．

10.Bf(x)是可积的偶函数；设令t=-u,是奇函数。

11.A解析：

12.C选项A中，y=|x|，在x=0处有尖点，即y=|x|在x=0处不可导；选项B中，在x=0处不存在，即在x=0处不可导；选项C中，y=x3，y'=3x2处处存在，即y=x3处处可导，也就在x=0处可导；选项D中，y=lnx，在x=0处不存在，y=lnx在x=0处不可导（事实上，在x=0点就没定义）.

13.A

14.A

15.C

16.A本题考查的知识点为“有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量”的性质．这表明计算时应该注意问题中的所给条件．

17.D

18.B

19.B由复合函数求导法则，可得

故选B．

20.B

21.

f'(x)=3ax2-12ax，f'(x)=0,则x=0或x=4，而x=4不在[-1，2]中，故舍去.f''(x)=6ax-12a，f''(0)=-12a，因为a＞0，所以，f''(0)＜0，所以x=0是极值点.又因f(-1)=-a-6a+b=b-7a，f(0)=b，f(2)=8a-24a+b=b-16a，因为a＞0,故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小.所以b-16a=-29，即16a=2+29=31，故a=.

22.3/23/2解析：23.y=C1cosx+C2sinx微分方程y''+y=0的特征方程是r2+1=0，故特征根为r=±i，所以方程的通解为y=C1cosx+C2sinx.

24.x=-3x=-3解析：

25.1/z本题考查了二元函数的二阶偏导数的知识点。

26.y=f(x0)y=f(x)在点x0处可导，且y=f(x)有极小值f(x0)，这意味着x0为f(x)的极小值点。由极值的必要条件可知，必有f"(x0)=0，因此曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)=0，即y=f(x0)为所求切线方程。

27.28.1本题考查的知识点为广义积分，应依广义积分定义求解．

29.本题考查的知识点为计算二重积分．积分区域D可以表示为：0≤x≤1，x2≤y≤x，因此

30.

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

31.ln|x-1|+c

32.

33.

34.3

35.

36.3x-7y+5z=0本题考查了平面方程的知识点。已知所求平面与3x-7y+5z-12=0平行,则其法向量为(3,-7,5),故所求方程为3(x-0)+(-7)(y-0)+5(z-0)=0,即3x-7y+5z=0.

37.x2/(1+x2)本题考查了导数的求导公式的知识点。

38.

39.-1

40.41.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

42.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

43.

列表：

说明

44.由二重积分物理意义知

45.

46.

47.

48.

49.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25