2022-2023学年北师大版选择性必修第二册 2.2 导数的概念及其几何意义 课件（27张）

§2导数的概念及其几何意义1.平均变化率

对一般的函数y=f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2),它在区间［x1,x2]的

平均变化率平均变化率通常我们把自变量的变化x2-x1称作自变量x的改变量，记作△x,函数值的变f(x2)-f(x1)称作函数值y的改变量,记作△y.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即用它来刻画函数值在区间［x1,x2]上变化的快慢.观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率

1.了解导数概念的实际背景．2.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数．(重点)3．了解割线的斜率与平均变化率的关系．4．理解导数的几何意义．(重点)5．会求曲线的切线方程.(重点)课标要求1．通过导数概念的学习，培养数学抽象等核心素养．2．借助导数的定义求函数在某点处的导数，提升数学运算等核心素养.3．通过割线的斜率与平均变化率的关系的学习，培养数学抽象、直观想象等核心素养．4．利用导数的几何意义求曲线的切线方程，提升数学运算、逻辑推理等核心素养.素养要求探究点1导数的概念

导数

当x1趋于xo，即△x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值①，那么这个值就是函数y=f(x)在点xo的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x）在点xo处的导数,通常用符号f＇(xo)表示,记作

这个值称为：当x1趋于xo时，平均变化率的极限.例1一条水管中流过的水量y（单位:m3）与时间x（单位:s）的函数关系为y=f(x)=3x.求函数y=f(x)在z=2处的导数f＇(2)，并解释它的实际意义.

例1一条水管中流过的水量y（单位:m3）与时间x（单位:s）的函数关系为y=f(x)=3x.求函数y=f(x)在z=2处的导数f＇(2)，并解释它的实际意义.解

当x趋于2,即△x趋于0时，平均变化率总是3,所以f'(2)=3m3/s.

导数f'(2)表示当x=2s时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度.也就是说,如果水管中的水保持以x=2s时的瞬时速度流动的话,每经过1s,水管中流过的水量为3m3.例2

一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y(单位:kg)与其工作时间x(单位:h)的函数关系为y=f(x).假设函数y=f(x)在x=l和x=3处的导数分别为f'(1)=4和f'(3)=3.5,试解释它们的实际意义.解f'(1)=4表示该工人上班后工作1h的时候，其生产速度（即工作效率）为4kg/h.也就是说，如果保持这一生产速度,那么他每时可以生产4kg的食品.

f'(3)=3.5表示该工人上班后工作3h的时候，其生产速度为3.5kg/h.也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产3.5kg的食品.例3

服药后，人体血液中药物的质量浓度c(单位:μg/mL)是时间t(单位:min)的函数c=c(t).假设函数c=c(t)在t=10和t=100处的导数分别为c'(10)=l.5和c'(100)=-0.6,试解释它们的实际意义.解c'(10)=l.5表示服药后10min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5μg/(mL▪min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1min,血液中药物的质量浓度将上升1.5μg/mL.c'(100)=-0.6表示服药后100min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6μg/(mL▪min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1min,血液中药物的质量浓度将下降0.6μg/mL.探究点2导数的几何意义

如图2-4,设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线，从图象上可以看出：当△x取不同的值时，可以得到不同的割线；当△x趋于0时，点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y=f（x）在点A处的切线，或称直线l和曲线y=f(x）在点A处相切.该切线的斜率就是函数y=f(x)在点xo处的导数f＇(xo).导数的几何意义

函数y=f(x)在xo处的导数f＇(xo),是曲线y=f(x)在点(xo,f(xo))处的切线的斜率.函数y=f(x）在xo处切线的斜率反映了导数的几何意义.例4已知函数y=x2及自变量xo=-2.（1） 分别对△x=l,0.5,0.1求y=x2在区间[xo,xo+△x]上的平均变化率，并画出过点(xo,f(xo))的相应割线；（2） 求函数y=x2在xo处的导数，并画岀曲线y=x2在点(xo,f(xo))处的切线.

例5

求函数y=f(x)=2x3在x=l处的切线的方程.

B2.函数f(x)=1在x=2处的导数等于

.【解析】答案:03.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.【解析】3.函数在处的导数的几何意义，就是函数的图象在点处的切线的斜率（数形结合）