2022-2023学年北师大版必修第二册 2.3.2向量的数乘与向量共线的关系 课件（21张）

向量的数乘与向量共线的关系新知探究问题1

若a是非零向量，则λa与a有什么关系？如果b∥a（a≠0），那么b＝λa是否成立？λa与a是共线向量；如果b∥a（b≠0），那么a＝λb一定成立．追问：若b＝2a，b与a共线吗？

根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线．新知探究问题2

单位向量的求法？如果向量b的单位向量记作b0，则b0＝

．

追问1：如何用单位向量表示一个向量？b＝｜b｜b0．新知探究追问2：若a与b共线，是否存在唯一确定一个值，使得a＝λb，这个值是如何得到的．可以分两种情况讨论，若a与b方向相同，则

是a的单位向量，所以a＝｜a｜•

，

即a＝

，此时λ＝

．

若a与b方向相反，则－

是a的单位向量，所以a＝－｜a｜•

，

即a＝－

，此时λ＝－

．

故存在唯一确定一个值，使得a＝λb．新知探究问题3

你能叙述共线（平行）向量基本定理吗？共线（平行）向量基本定理给定一个非零向量b，则对任意向量a，a//b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得a＝λb．新知探究问题4

定理中把“b≠0”去掉可以吗？定理中b≠0不能去掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若b＝0，a≠0，则不存在实数λ，使得a＝λb．

重合或平行新知探究问题6

能否用向量来刻画直线呢？需要什么条件？能．需知一个点和一个非零向量a．新知探究问题7

直线上任意一点P．由平行向量基本原理，与点P相关的向量有哪些表示方式？设A，B是直线l上任意两点，O是l外一点（如图所示），对直线l上任意一点P，

反之，满足上式的点P一定在直线l上．AOBlP新知探究问题8

直线的向量表示方法有哪些？当t＝

时，确定P的位置．

当t＝

时，P是AB的中点．

初步应用

ABCDE

初步应用例2

设A，B，C，D中的任何三个点不共线，用向量语言描述下列几何图形的几何特征．

（1）四边形ABCD是平行四边形；（2）在梯形ABCD中，上底AD长是下底BC长的一半；（3）D是△ABC的重心．ABCD（1）DABC（2）CDAB（3）

初步应用

解答：由于A，B，P三点共线，

故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1．课堂练习练习：教科书第92页练习1，2，3．归纳小结

（2）向量共线定理有哪两个方面的应用？问题9

本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：（1）A，B，C三点共线．（2）①判断两个向量共线，若存在一个实数λ，使b＝λa（a≠0），则a与b共线．②表示两个共线向量之间的关系．若a与b共线（a≠0），则必存在一个实数λ．使b＝λa．归纳小结（3）向量共线定理应注意什么？（4）通过本节课的学习，你还有收获了哪些研究经验？问题9

本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：（3）向量共线定理不包含0与0共线的情况，因为a≠0．定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，实数λ仍然存在，但λ是任意实数，不唯一；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa．（4）研究经验是：……作业布置作业：教科书第92页，A组4，5，6；第93页B组3，5．1目标检测D

A．平行四边形B．菱形C．矩形D．等腰梯形

2目标检测D

A．垂心B．内心C．外心D．重心

可知P点轨迹必过△ABC的重心．3目标检测

又因为

，所以λ＝

．

4目标检测

（2）求证：M，N，C三点共线．解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∵M为AB的中点，

∴

∴

∵N为BD上靠近B的三等分点，∴