新教材苏教版必修第一册8.1.1函数的零点学案

8．1二分法与求方程近似解8．函数的零点新课程标准解读核心素养，了解函数零点与方程解的关系数学抽象、直观想象、数学运算，了解函数零点存在定理直观想象、逻辑推理路边有一条河，小明从A点走到了B点．[问题]观察图①②，推断哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？知识点函数的零点1．零点的概念把使函数y＝f(x)的值为eq\a\vs4\al(0)的实数x称为函数y＝f(x)的零点．2．函数的零点、方程的根、图象与x轴的交点之间的关系函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，就是它的图象与x轴交点的横坐标．3．函数零点存在定理若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)eq\a\vs4\al(<)0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．1．函数的零点是实数，而不是点．如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1，0)．2．并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)＝eq\f(1,x)，y＝x2＋1均没有零点．3．若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)所有的函数都有零点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实数解x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.()(4)函数的零点不是点，它是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，是方程f(x)＝0的实数解．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．函数f(x)＝log2x的零点是()A．1 B．2C．3 D．4答案：A3．函数f(x)＝2x－eq\f(1,x)的零点所在的区间是()A．(1，＋∞) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))答案：B4．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有______个．答案：3求函数的零点[例1](链接教科书第216页练习2题)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝eq\f(x＋3,x)；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.[解](1)令eq\f(x＋3,x)＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝eq\f(x＋3,x)的零点是x＝－3.(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实数解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝log23.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是x＝3.求函数y＝f(x)零点的方法(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点；(2)几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，求定义在R上的减函数f(x)(f(x)为奇函数)的零点．因为奇函数y＝f(x)是定义在R上的减函数，那么由奇函数的性质可知fy＝f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.[跟踪训练]1．函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,log2x，x>0))的所有零点构成的集合为()A．{1} B．{－1}C．{－1，1} D．{－1，0，1}解析：选C当x≤0时，f(x)＝x＋1＝0⇒x＝－1，当x>0时，f(x)＝log2x＝0⇒x＝1，所以函数f(x)的所有零点构成的集合为{－1，1}．2．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，则mn＝________．解析：因为f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点为1和2，所以1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两个实数解，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2＝－3（m＋1），,1×2＝n，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝2.))所以mn＝4.答案：4函数零点所在区间问题[例2](链接教科书第215页例1)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是()A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)[解析]法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴f(x)在(0，1)内有零点．法二：ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0，1)．[答案]C确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；(2)利用零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点；(3)数形结合法：通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．[跟踪训练]1．函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零点所在的大致区间是()A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(e，＋∞)解析：选B∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln2－1<0，∴在(1，2)内f(x)无零点，A错；又f(3)＝ln3－eq\f(2,3)>0，∴f(2)·f(3)<0，∴f(x)在(2，3)内有零点．2．函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A．(1，3) B．(1，2)C．(0，3) D．(0，2)解析：选C易知函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a在区间(1，2)内是增函数，又函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1，2)内，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）＝2－2－a<0，,f（2）＝22－1－a>0，))所以0<a<3.判断函数零点的个数[例3](1)函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2，x≤0，,2x－6＋lnx，x>0))的零点个数是________；(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x＞m，))其中mb，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．[解析](1)①当x≤0时，由f(x)＝0，即x2－2＝0，解得x＝eq\r(2)或x＝－eq\r(2).因为x≤0，所以x＝－eq\r(2).②当x>0时，法一(函数单调性法)：f(x)＝2x－6＋lnx.而f(1)＝2×1－6＋ln1＝－4<0，f(3)＝2×3－6＋ln3＝ln3>0，所以f(1)·f(3)<0，又函数f(x)的图象是连续的，故由零点存在定理，可得函数f(x)在(1，3)内至少有一个零点．而函数y＝2x－6在(0，＋∞)上单调递增，y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－6＋lnx在(0，＋∞)上单调递增．故函数f(x)＝2x－6＋lnx在(0，＋∞)内有且只有1个零点．综上，函数f(x)共有2个零点．法二(数形结合法)：由f(x)＝0，得2x－6＋lnx＝0，即lnx＝6－2x.如图，分别作出函数y＝lnx和y＝6－2x的图象．显然，由图可知，两函数图象只有一个交点，且在y轴的右侧，故当x>0时，f(x)＝0只有一个解．综上，函数f(x)共有2个零点．(2)如图，当x≤m时，f(x)＝|x|.当x＞m时，f(x)＝x2－2mx＋4m在(m，＋∞)为增函数．若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m＜|因为m＞0，所以m2－3m＞0，解得m[答案](1)2(2)(3，＋∞)判断函数y＝f(x)零点个数的方法(1)解方程法：方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；(2)定理法：借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断；(3)图象法：如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可通过函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数．[跟踪训练]1．(2021·河南郑州质检)已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－cosx，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C如图，作出g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)与h(x)＝cosx的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.2．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以ff(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.答案：30二次函数实数根的分布问题[例4]已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，分别求出下列条件成立的情况下，实数a的取值范围：(1)两个零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内．[解](1)由已知并结合二次函数的图象，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（－2a）2－16≥0，,f（1）＝5－2a＞0，,－\f(－2a,2)＞1.))解得2≤a＜eq\f(5,2)，故实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))).(2)由已知并结合二次函数的图象得f(1)＝5－2a＜0解得a＞eq\f(5,2)，因此实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)).(3)由已知并结合二次函数的图象与零点存在定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）＝4＞0，,f（1）＝5－2a＜0，,f（6）＝40－12a＜0，,f（8）＝68－16a＞0，))解得eq\f(10,3)＜a＜eq\f(17,4)，因此实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，\f(17,4))).二次函数零点的分布，一般有两种题型(1)二次函数在某一个区间内有两个零点，一般情况下需要从以下三个方面考虑：①对应一元二次方程根的判别式；②区间端点函数值的正负；③对应二次函数的图象——抛物线的对称轴x＝－eq\f(b,2a)在区间内．(2)二次函数在某一个区间内仅有一个零点，只需考虑区间端点函数值的正负．[跟踪训练]1．已知函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2，0)和(2，3)内各有一个零点，则实数a的取值范围是()A．(－3，0) B．(－3，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，3)解析：选A已知函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2，0)和(2，3)内各有一个零点，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－2）＞0，,f（0）＜0，,f（2）＜0，,f（3）＞0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8＋a＞0，,a＜0，,3＋a＞0，))解得－3＜a＜0.2．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m解：原方程可化为：x2＋eq\f(2（m＋3）,m)x＋eq\f(14,m)＋2＝0，令f(x)＝x2＋eq\f(2（m＋3）,m)x＋eq\f(14,m)＋2，则f(4)＜0，即16＋eq\f(8（m＋3）,m)＋eq\f(14,m)＋2＜0，即eq\f(19,m)＜－13，解得－eq\f(19,13)＜mm的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,13)，0)).1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是()A．－eq\f(1,2)，－1 B．eq\f(1,2)，1C.eq\f(1,2)，－1 D．－eq\f(1,2)，1解析：选B方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝eq\f(1,2)，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是eq\f(1,2)，1.2．(2021·安徽调研测试)已知a，b，c，d都是常数，且a>b，c>d.若f(x)＝2021＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()A．a>c>d>b B．a>d>c>bC．c>d>a>b D．c>a>b>d解析：选A由题意设g(x)＝(x－a)·(x－b)，则f(x)＝2021＋g(x)，所以g(x)＝0的两个根是a，b，由题意知f(x)＝0的两根c，d就是g(x)＝－2021的两根，画出g(x)(开口向上)以及直线y＝－2021的大致图象，如图所示，则g(x)的图象与直线y＝－2021的交点的横坐标就是c，d，g