新教材人教b版选择性必修第三册6.3利用导数解决实际问题作业

6.3利用导数解决实际问题课后篇巩固提升必备知识基础练1.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)()A.32,16 B.30,15 C.40,20 D.36,18答案A解析要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短,设场地宽为x米,则长为512x米,因此新墙总长L=2x+512x(x>0),则L'=2-512x2.令L'=0,得x=16或x=-16(舍去).此时长为51216=32(米2.(2021山西太原高二期末)现有橡皮泥制作的底面半径为4,高为3的圆锥一个.若将它重新制作成一个底面半径为r,高为h的圆柱(橡皮泥没有浪费),则该圆柱表面积的最小值为()A.20π B.24π C.28π D.32π答案B解析由题意可得圆柱和圆锥的体积相等,底面半径为4,高为3的圆锥的体积为13×π×42×3=16π,底面半径为r,高为h的圆柱的体积为πr2h,所以πr2h=16π,可得r2h=16,即h=16r2,圆柱的表面积为S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr·16r2=2πr2+32πr,S'=4πr-32πr2=4πr3-32πr2,令S'=4πr3-32πr2>0可得r>2,令S'=3.(2020江苏东海第二中学高二月考)如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的容积最大时,底面边长为()A.34 B.23 C.13答案B解析设正六棱柱容器的底面边长为x,0<x<1,则正六棱柱容器的高为32(1-x),所以正六棱柱容器的容积为V(x)=(x+2x)·32x·32(1-x)=94(-x3+x2),所以V'(x)=-274x2+92x,令V'(x)=0,得x=0(舍去)或x=23,则在0,23上,V'(x)>0;在23,1上,V'(x)<0,所以V(x)在0,23上单调递增,在23,1上单调递减,所以当x=23时,V(4.根据以往经验,一超市中的某一商品每月的销售量y(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=60x-20+2(x-50)2,其中20<x<50.已知该商品的成本为20元/件,则该超市每月销售该商品所获得利润的最大值为A.8600元 B.8060元C.6870元 D.4060元答案B解析设超市每月销售该商品所获得的利润为f(x)元,则f(x)=(x-20)60x-20+2(x-50)2=60+2(x-20)(x-50)2,20<x<50,f'(x)=2[(x-50)2+2(x-50)·(x-20)]=6(x-30)(x-50),令f'(x)>0,得20<x<30,则f(x)在(20,30)上单调递增;令f'(x)<0,得30<x<50,则f(x)在(30,50)上单调递减,所以f(x)的最大值为f(30)=8060.故选B5.(2020四川树德中学高二期中)已知球体的半径为3,当球内接正四棱锥的体积最大时,正四棱锥的高和底面边长的比值是()A.1 B.2 C.3 D.2答案A解析如图,△PAC是正四棱锥P-ABCD的对角面,其外接圆是四棱锥外接球的大圆,O是圆心(球心),设正四棱锥底面边长为a,则AC=2a,OA=OP=3,设OE=x(0<x<3),则由AO2=OE2+AE2,得x2+12a2=9,a2=18-2x2,PE=3+x,S四边形ABCD=18-2x2V=13S四边形ABCD·PE=13(18-2x2)(3+x)=23(-x3-3x2+V'=23(-3x2-6x+9)=-2(x-1)(x+3),当0<x<1时,V'>0,V单调递增,当1<x<3时,V'<0,V单调递减∴当x=1时,V取得极大值也是最大值,即Vmax=643此时高PE=4,a=18-2×12=4,PEa6.已知铁道机车运行1小时所需成本由两部分组成,固定部分为m元,变动部分与运行速度v(单位:千米/时)的平方成正比,比例系数为k(k>0).如果机车匀速从甲站开往乙站,则当机车以千米/时的速度运行时,成本最省.

答案m解析由已知机车以速度v匀速运行,设甲、乙两站相距s千米,总成本为y元,则机车匀速从甲站到乙站所需时间t=sv∴y=(m+kv2)sv=skv+mv,求导,得y'=sk-mv2,令y'=0,得v=mk,函数在0,mk上单调递减,在mk,+∞上单调递增,则v=mk为极小值点,∴当v=mk时,y有最小值7.(2020山东省实验中学高二期中)某商场销售某种商品,该商品的成本为3元/千克,每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=1x-3+5(x-6)2,其中3<x<6,当销售价格为元时,商场每日销售该商品所获得的最大利润为答案421解析设商场每日销售该商品所获得的利润为L元,则L=y(x-3)=1x-3+5(x-6)2(x-3)=5x3-75x2+360x-539(3<x<则L'=15x2-150x+360=15(x2-10x+24)=15(x-4)(x-6),令L'>0,得3<x<4;令L'<0,得4<x<6,所以函数L=5x3-75x2+360x-539在(3,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减,所以x=4时,L取得最大值,最大值为21元.8.(2020江苏)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(单位:米)与D到OO'的距离a(单位:米)之间满足关系式h1=140a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(单位:米)与F到OO'的距离b(单位:米)之间满足关系式h2=-1800b3+6b.已知点B到OO'的距离为40(1)求桥AB的长度.(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(单位:万元),桥墩CD每米造价32k(单位:万元)(k>0),O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低解(1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.由条件知,当O'B=40时,BB1=-1800×403+6×40=160,则AA1=160由140O'A2=160,得O'A=80所以AB=O'A+O'B=80+40=120(米).(2)以O为原点,MN,OO'所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).设F(x,y2),x∈(0,40),则y2=-1800x3+6xEF=160-y2=160+1800x3-6x因为CE=80,所以O'C=80-x.设D(x-80,y1),则y1=140(80-x)2所以CD=160-y1=160-140(80-x)2=-140x2+4记桥墩CD和EF的总造价为f(x),则f(x)=k160+=k1800x3-f'(x)=k3800x2-令f'(x)=0,得x=20.所以当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表,x(0,20)20(20,40)f'(x)-0+f(x)↘极小值↗所以当x=20时,f(x)取得最小值.所以当O'E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.9.某商店经销一种商品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数,2≤a≤5)的税收.设每件产品的日售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时,日销售量为10件.(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式;(2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.解(1)设日销售量为kex,则k∴k=10e40,则日售量为10e40则日利润L(x)=(x-30-a)10e40ex=10e答:该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式为L(x)=10e40·x-(2)L'(x)=10e40·31+a①当2≤a≤4时,33≤a+31≤35,当35<x<41时,L'(x)<0.∴当x=35时,L(x)取最大值为10(5-a)e5;②当4<a≤5时,35<a+31≤36,令L'(x)=0,得x=a+31,易知当x=a+31时,L(x)取最大值为10e9-a.综上,得L(x)max=10答:当2≤a≤4时,若每件产品的日售价35元,L(x)取最大值为10(5-a)e5;当4<a≤5时,若每件产品的日售价为(a+31)元,该商品的日利润L(x)最大,最大值为10e9-a.关键能力提升练10.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万千克,每种植1千克藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=-18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量,单位:万千克;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万千克,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕A.8万千克 B.6万千克C.3万千克 D.5万千克答案B解析设销售的利润为g(x),由题意,得g(x)=-18x3+916ax2+12x-1-12x即g(x)=-18x3+916ax2-1.当x=2时,g(2)=-1+94a-1=52,解得a=2,故g(x)=-18x3+98x2-1,g'(x)=-38x2+当x∈(0,6)时,g'(x)>0;当x∈(6,8)时,g'(x)<0.所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减,所以x=6时,利润最大,故选B.11.某产品的销售收入y1(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数,且函数解析式为y1=17x2(x>0),生产成本y2(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数,且函数解析式为y2=2x3-x2(x>0),要使利润最大,则该产品应生产()A.6千台 B.7千台C.8千台 D.9千台答案A解析设利润为y万元,则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0),∴y'=-6x2+36x=-6x(x-6),令y'=0,解得x=0(舍去)或x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点又是函数的最大值点,∴应生产6千台该产品.故选A.12.如图所示,一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两部分组成,屋顶的形状是四棱锥P-ABCD,四边形ABCD是正方形,点O为正方形ABCD的中心,PO⊥平面ABCD,下部的形状是长方体ABCD-A'B'C'D'.已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k>0),下部主体造价与高度成正比,比例系数为8k.若欲造一个上、下总高度为10m,AB=8m的仓库,则当总造价最低时,PO=()A.455m B.433m C.4m D答案B解析如图,设BC的中点为E,连接PE,OE,则OE=4.由于PO⊥平面ABCD,则有PO⊥OE.在Rt△POE中,设∠PEO=θ,则有PO=4tanθ,PE=4cos所以上部屋顶面积为S=4S△PBC=64cosθ,下部主体的高度为h=10-4tan所以仓库的总造价为y=S·k+h·8k=32k·2-sinθcosθ+设f(θ)=2-sinθcosθ0<θ<π2,所以f'(θ令f'(θ)=0,得sinθ=12,所以θ=π则当0<θ<π6时,f'(θ)<0,f(θ)在0,π6上单调递减;当π6<θ<π2时,f'(θ)>0,f(θ)在π6,π2上单调递增;所以当θ=π6时,f(θ)有最小值,此时总造价最低13.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价为p元,销量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8300-170p-p2,则该商品零售价定为元时利润最大,利润的最大值为元.

答案3023000解析设该商品的利润为y元,由题意知,y=Q(p-20)=-p3-150p2+11700p-166000,则y'=-3p2-300p+11700,令y'=0得p=30或p=-130(舍),当p∈(0,30)时,y'>0,当p∈(30,+∞)时,y'<0,因此当p=30时,y有最大值,ymax=23000.14.如图所示,内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在抛物线上运动,C,D在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是.

答案4解析设CD=x,则点C的坐标为x2,0,点B的坐标为x2,1-x22,∴矩形ABCD的面积S=f(x)=x由f'(x)=-34x2+1=得x1=-233(舍),x2=∴x∈0,233时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈233,2时,f'(x)故当x=233时,f(x)取最大值15.已知某公司生产一种零件的年固定成本为5万元,每生产1千件,成本再增加3万元.假设该公司年内共生产该零件x千件并且全部销售完,每1千件的销售收入为D(x)万元,且D(x)=6.6-x230,0<x≤10,195x-1875x答案25解析设年利润为W(x),则W(x)=xD(x)-(3x+5)=3当0<x≤10时,W'(x)=3.6-x2所以W(x)在(0,6)上单调递增,在(6,10]上单调递减,最大值为W(6)=3.6×6-6330-5=9.4(万元当x>10时,W(x)=190-1875x-3x=190-1875x+3x≤190-21875x·3x=190-2当且仅当1875x=3x,即x=25时,等号成立综上所述,当x=25千件时,年利润最大.16.已知正三棱锥的体积为3,则其表面积的最小值为.

答案63解析设正三棱锥的底面边长为a,高为h,如图,过顶点S作底面ABC的垂线,垂足为O,过O作OD垂直AB于D,连接SD,∴AB=a,SO=h.∵SO⊥底面ABC,AB⊂底面ABC,∴AB⊥SO,SO⊥OD.又AB⊥OD,SO∩OD=O,∴AB⊥平面SOD.又SD⊂平面SOD,∴AB⊥SD,即SD为△SAB的高,三棱锥体积3=13×34×a2×h又O为底面中心,∴OD=13ABsin60°=36a,SD=三棱锥的表面积S=34a2+3×12×a×a212+h2=34a2+32a4∴S'=33·h3-2-2h3+12h2h3+1,令S'=0,得h3-2-2h3+1=0,令h3+1=t∴h3+1=3,得h=当0<h<2时,S'<0,当h>2时,S'>0,故S在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故当h=2时,表面积最小,此时S=33·1+2317.如图所示,有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线海岸的岸边A处,乙厂与甲厂在海的同侧,乙厂位于离海岸40km的B处,乙厂到海岸的垂足D与A相距50km.两厂要在此岸边A,D之间合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,则供水站C建在何处才能使水管费用最省?解设C点距D点xkm,则AC=50-x(km),所以BC=BD2又设总的水管费用为y元,依题意,得y=3a(50-x)+5ax2+402y'=-3a+5axx2+402.令在(0,50)上,y只有一个极小值点,根据问题的实际意义,函数在x=30km处取得最小值,此时AC=50-x=20(km).故供水站建在A,D之间距甲厂20km处,可使水管费用最省.18.(2020江西新余一中高二月考)某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本C(x)万元,当年产量小于7万件时,C(x)=13x2+2x(万元);当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+lnx+e3x-17(万元).已知每件产品售价为6元(1)写出年利润p(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大?最大年利润是多少?(取e3≈20)解(1)已知每件产品售价为6元,则x万件产品销售收入为6x万元.依题意,得当0<x<7时,p(x)=6x-13x2-2x-2=-13x2+4当x≥7时,p(x)=6x-6x+lnx+e3x-17-2=15-lnx-e3∴p(x)=-(2)当0<x<7时,p(x)=-13(x-6)2+∴当x=6时,p(x)的最大值