新教材人教b版必修第二册6.1.1向量的概念作业

向量的概念(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列说法正确的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))就是eq\o(AB,\s\up6(→))所在的直线平行于eq\o(CD,\s\up6(→))所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．与任一向量都平行的向量是零向量D．共线向量是在一条直线上的向量【解析】选C.对于A：向量eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))时，eq\o(AB,\s\up6(→))所在的直线与eq\o(CD,\s\up6(→))所在的直线可能重合，故A不正确；对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故B不正确；对于C：与任一向量都平行的向量只有零向量，故C正确；对于D：非零的共线向量是方向相同或相反的向量，可以在同一直线上，也可不在同一直线上，故D不正确．2．一个人先向东行进了5千米，而后又向西行进了3千米，那么这个人总共()A．向东行进了8千米B．向东行进了2千米C．向东行进了5千米D．向西行进了3千米【解析】选B.记向东方向为正，则向东行进了5千米为＋5千米，向西行进了3千米为－3千米，则＋5＋(－3)＝＋2，表示向东行进了2千米．【补偿训练】如图，在矩形ABCD中，可以用一条有向线段表示的向量是()A.eq\o(DA,\s\up6(→))和eq\o(BC,\s\up6(→))B．eq\o(DC,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))C．eq\o(DC,\s\up6(→))和eq\o(BC,\s\up6(→))D．eq\o(DC,\s\up6(→))和eq\o(DA,\s\up6(→))【解析】选B.eq\o(DC,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一条有向线段表示．3．在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有()A.一组B．二组C．三组D．四组【解析】选A.由相等向量的定义可知，只有一组向量相等，即eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→)).【补偿训练】如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量eq\o(OA,\s\up6(→))共线的向量个数有()A．2个B．3个C．6个D．9个【解析】eq\o(OA,\s\up6(→))共线的向量有eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，共9个．4．设a，b为非零向量，则“a∥b”是“a与b方向相同”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】a，b为非零向量，所以a∥b时，a与b方向相同或相反，因此“a∥b”是“a与b方向相同”的必要而不充分条件．5．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝()A．1B．eq\r(3)C．2D．2eq\r(3)【解析】AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)AB△ABO中，易得|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，则|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).6．给出下列命题①向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；⑤向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中真命题的个数为()A．6B．4C．2D．0【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等即|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|，所以①正确，因为向量与向量平行，则两个向量的方向相同或相反或是有一个是零向量，所以②不正确，因为两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同，所以③正确，因为两个有共同终点的向量，不一定是共线向量，这样的向量起点可以在以终点为圆心的圆上，所以④不正确，因为向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，点A，B，C，D不一定在同一条直线上，所以⑤不正确，因为有向线段可以表示向量，向量可以用有向线段来表示，所以⑥不正确．二、填空题(每小题5分，共10分)7．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝________.【解析】因为正方形的对角线长为2eq\r(2)，所以|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\r(2).答案：eq\r(2)【补偿训练】如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为eq\o(AD,\s\up6(→))(其中D在边BC上运动)，则向量eq\o(AD,\s\up6(→))长度的最小值为________．【解析】结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正△ABC中，有向线段AD长度最小时，线段AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为eq\f(5\r(3),2).答案：eq\f(5\r(3),2)8．图中，小正方形的边长为1，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝__________，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝__________，|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝__________．【解析】由题意可知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2).|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(52＋12)＝eq\r(26).|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋（－2）2)＝2eq\r(2).答案：3eq\r(2)eq\r(26)2eq\r(2)【补偿训练】如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，那么以图中各点为起点或终点的向量中：(1)与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的向量有________．(2)与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量有________．(3)与eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有________．【解析】(1)与已知向量在同一直线上或平行的向量都是它的共线向量，根据题意，与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的向量有eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).(2)与已知向量相等的向量与已知向量方向相同、长度相等，于是与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→)).(3)向量的模相等，只需长度相等，与方向无关，根据正方形和等腰直角三角形的性质，可知与eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)).答案：(1)eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))(2)eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))(3)eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，(1)与向量eq\o(AB,\s\up6(→))平行且模为eq\r(2)的向量共有几个？(2)与向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同且模为3eq\r(2)的向量共有几个？【解析】(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量都和eq\o(AB,\s\up6(→))平行且模为eq\r(2).因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个．(2)易知与向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同且模为3eq\r(2)的向量共有2个．【补偿训练】如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(5).(1)画出所有的向量eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)求|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最大值与最小值．【解析】(1)画出所有的向量eq\o(AC,\s\up6(→))，如图所示．(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最小值eq\r(12＋22)＝eq\r(5)；②当点C位于点C5或C6时，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最大值eq\r(42＋52)＝eq\r(41).所以|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最大值为eq\r(41)，最小值为eq\r(5).10．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10eq\r(2)米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)求eq\o(AD,\s\up6(→))的模．【解析】(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，如图所示：(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq\r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq\r(52＋102)＝5eq\r(5)(米)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))))＝5eq\r(5)米．【补偿训练】如图已知函数y＝x的图像l与直线m平行，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(2),2)))，B(x，y)是m上的点．求(1)x，y为何值时，eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.(2)x，y为何值时，eq\o(AB,\s\up6(→))为单位向量．【解析】(1)要使eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，当且仅当点A与点B重合，于是eq\