新教材人教b版必修第一册3.1.2第1课时函数单调性的定义与证明函数的最值课件

第三章函数的单调性第1课时函数单调性的定义与证明、函数的最值学习目标XUEXIMUBIAO1.理解函数的单调性的定义，能运用函数图像理解和研究函数的

单调性.2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些

具体函数的单调区间.3.理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，

求一些简单函数的最值.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE增函数减函数条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D：如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)结论y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)知识点一增函数与减函数的定义图像思考

在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”？答案

不能.如果函数y＝f(x)在I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在I上具有

(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).单调性知识点二函数的单调性与单调区间思考

所有的函数在定义域上都具有单调性吗？答案

不是.

最大值最小值条件一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D都有f(x)

f(x0)都有f(x)

f(x0)结论称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点≤≥知识点三函数的最值统称最大值和最小值统称为_____最大值点和最小值点统称为_______最值最值点1.若函数y＝f(x)在区间[1,3]上是减函数，则函数y＝f(x)的单调递减区间是[1,3].(

)2.若函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3).(

)3.若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y＝f(x)是增函数.(

)4.若f(x)在(－5,1)上是增函数，则f(x)在(－5,1)上的最大值为f(1).(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√××2题型探究PARTTWO证明任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，一、函数单调性的判定与证明因为2＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2>4，x1x2－4>0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)＝x＋

在(2，＋∞)上是增函数.延伸探究若本例的函数不变，试判断f(x)在(0,2)上的单调性.证明：任取x1，x2∈(0,2)，且x1＜x2，因为0＜x1＜x2＜2，所以x1－x2＜0,0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).反思感悟利用定义证明函数单调性的4个步骤跟踪训练1求证：函数f(x)＝

在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数.证明

对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).二、求函数的单调区间例2画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图像，并指出函数的单调区间.解当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，作出函数的图像如图所示，所以函数在(－∞，－1)和[0,1)上是增函数，在[－1,0)和[1，＋∞)上是减函数.反思感悟求函数单调区间的两种方法(1)定义法.即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解.(2)图像法.即先画出图像，根据图像求单调区间.单调递增区间为[2，＋∞).跟踪训练2

作出函数f(x)＝

的图像，并指出函数f(x)的单调区间.递减区间为(－∞，1]和(1,2]，命题角度1利用函数的单调性比较大小三、函数单调性的应用例3已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较f(a2－a＋1)与

又f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，

的大小.反思感悟利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.跟踪训练3

(1)定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有

<0，则A.f(3)<f(2)<f(1) B.f(1)<f(2)<f(3)C.f(2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(2)√则(x2－x1)与[f(x2)－f(x1)]异号，则f(x)在R上是减函数.又3>2>1，则f(3)<f(2)<f(1).(2)若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)C.f(a2＋a)<f(a) D.f(a2＋1)<f(a2)√解析

当a<0时，a>2a，因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f(a)<f(2a)，故A不正确.当0<a<1时，a2<a，因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f(a2)>f(a)，故B不正确.当a＝0时，a2＋a＝a＝0，所以f(a2＋a)＝f(a)，故C不正确.因为a2＋1>a2，函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f(a2＋1)<f(a2).命题角度2利用函数的单调性解不等式例4已知函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围.解∵函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，解得1≤x≤2，

①又∵f(x－2)<f(1－x)，∴x－2<1－x，即x<. ②反思感悟利用函数的单调性解不等式的注意点利用函数的单调性解不等式的实质是单调性的逆用，如果f(x1)<f(x2)，必须注意两点：①两边化为同名函数的不同函数值；②自变量必须化到同一单调区间上，若转化不了，就进行讨论.跟踪训练4

(1)已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围为______.(2)函数f(x)是定义在R上的减函数，其图像过点(－3,2)和(1，－2)，则使|f(x)|<2的自变量x的取值范围是________.(－3,1)解析∵f(x)是定义在R上的减函数，f(－3)＝2，f(1)＝－2，∴当x>－3时，f(x)<2；当x<1时，f(x)>－2，故当－3<x<1时，|f(x)|<2.命题角度3利用单调性求最值(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；解

f(x)在[3,5]上是增函数，证明如下：任取x1，x2∈[3,5]，且x1<x2，因为3≤x1<x2≤5，所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).所以f(x)在[3,5]上为增函数.(2)求函数f(x)的最大值和最小值.解

由(1)知，f(x)在[3,5]上为增函数，反思感悟利用函数单调性求最值的方法(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b).(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值.跟踪训练5已知函数f(x)＝

＋3(x∈[2,4])，求函数f(x)的最大值和最小值.解

设x1，x2是[2,4]上任意两个实数，且x1<x2，因为2≤x1<x2≤4，所以x1－x2<0,1－x1<0,1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在[2,4]上是增函数，所以f(x)的最大值为f(4)＝1，f(x)的最小值为f(2)＝－3.核心素养之逻辑推理HEXINSUYANGZHILUOJITUILI二次函数最值分类讨论问题典例已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最小值.解

由题意得，函数f(x)的对称轴为x＝1，(1)当1≥t＋2，即t≤－1时，f(x)在[t，t＋2]上为减函数，∴f(x)的最小值为f(t＋2)＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.(2)当t≤1<t＋2，即－1<t≤1时，f(x)的最小值为f(1)＝－4.(3)当1<t，即t>1时，f(x)在[t，t＋2]为增函数，∴f(x)的最小值为f(t)＝t2－2t－3.素养提升二次函数在指定区间上的最值主要有三类：轴动区间定、轴定区间动、两者都动.与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素.要注意利用二次函数图像，通过直观想象，进行分类讨论，提升逻辑推理素养.3随堂演练PARTTHREE1.如图是函数y＝f(x)的图像，则此函数的单调递减区间的个数是12345解析由图像，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个.√2.函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数x1，x2，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则函数f(x)在(a，b)上是A.增函数

B.减函数C.不增不减函数

D.既增又减函数12345√即当x1<x2时，f(x1)>f(x2)或当x1>x2时，f(x1)<f(x2).不论哪种情况，都说明函数f(x)在(a，b)上为减函数.3.函数y＝x2－6x的单调递减区间是A.(－∞，2] B.[2，＋∞)C.[3，＋∞) D.(－∞，3]12345√解析

y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故单调递减区间为(－∞，3].12345A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最大值也有最小值D.无最大值也无最小值所以f(x)在[1，＋∞)上有最大值，无最小值.√123455.函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，若函数f(x)在区间[－4，－2]上单调递减，在区间[－2,6]上单调递增，且f(－4)<f(6)，则函数f(x)的最小值是______，最大值是____.解析

作出符合条件的函数的简图(图略)，可知最小值为f(－2)，最大值为f(6).f(－2)f(6)课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：(1)增函数、减函数的定义.(2)函数的单调区间的求法.(3)单调性的应用.2.方法归纳：数形结合法.3.常见误区：函数的单调区间误用并集.4课时对点练PARTFOUR1.如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是A.函数在区间[－5，－3]上单调递增B.函数在区间[1,4]上单调递增C.函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D.函数在区间[－5,5]上没有单调性基础巩固1345678910111213141516解析单调区间不能用“∪”连接.√22.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是A.y＝3－x

B.y＝x2＋1C.y＝

D.y＝－|x＋1|1345678910111213141516解析

y＝x2＋1在(0,2)上是增函数.2√3.函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的单调递增区间分别是A.(－∞，0]，(－∞，1] B.(－∞，0]，(1，＋∞)C.[0，＋∞)，(－∞，1]

D.[0，＋∞)，[1，＋∞)1345678910111213141516解析

分别作出f(x)与g(x)的图像得，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在(－∞，1]上单调递增，选C.2√4.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为A.－1 1345678910111213141516解析因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以函数f(x)图像的对称轴为x＝2.所以f(x)在[0,1]上单调递增.又因为f(x)在[0,1]上的最小值为－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2.所以f(x)的最大值为f(1)＝－1＋4－2＝1.2√134567891011121314151625.(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是A.>0

B.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)

D.f(x1)>f(x2)√√解析

由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于选项C，D，因为x1，x2的大小关系无法判断，所以f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断，故C，D不正确.`6.若f(x)在R上单调递减，且f(x－2)<f(3)，则x的取值范围是__________.13456789101112131415162(5，＋∞)解析函数的定义域为R，由条件可知，x－2>3，解得x>5.134567891011121314151627.若二次函数f(x)＝x2－2ax＋m在(－∞，2]上是减函数，则a的取值范围是_________.[2，＋∞)解析

题中二次函数图像的对称轴为x＝a，由二次函数的图像，知函数在(－∞，a]上单调递减，∴a≥2.13456789101112131415168.已知函数f(x)＝

则f(x)的单调递减区间是_________，单解析因为当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是[1，＋∞).2(－∞，1)调递增区间是__________.[1，＋∞)1345678910111213141516(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；2解f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x1<x2，因为－1<x1<x2⇒x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数.1345678910111213141516(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值.2解由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增，134567891011121314151610.求函数f(x)＝x＋

(x>0)的单调区间，并指出函数的最小值.213456789101112131415162解

设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>0.由于x1x2－9的符号不能确定，因此需要对x1，x2的取值进行讨论.当x1，x2∈(0,3]时，有x1x2－9<0，1345678910111213141516∴f(x)在区间(0,3]上是减函数；当x1，x2∈[3，＋∞)时，有x1x2－9>0，2∴f(x)在区间[3，＋∞)上是增函数.故f(x)的最小值为f(3)＝6.11.已知函数f(x)＝

是R上的减函数，则实数a的取值范综合运用13456789101112131415162围是A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2]√解得0<a≤2.134567891011121314151612.(多选)若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值可以是A.2 B.－2√解析

依题意，当a>0时，y＝ax＋1在x＝2处取得最大值，在x＝1处取得最小值，所以2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2.当a<0时，y＝ax＋1在x＝1处取得最大值，在x＝2处取得最小值，所以a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2.2√134567891011121314151613.设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)解析令y＝－2，f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1，∴不等式f(x)＋f(－2)>1，即为f(－2x)